高中数学函数定义域值域解题方法纳中学教育高考_中学教育-中学课件.pdf

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1、 2019-8-5 函数的三要素：对应法则、定义域、值域 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？13)5)(3(1xxxy52xy解：不是同一函数，定义域不同 2。111xxy)1)(1(2xxy解：不是同一函数，定义域不同 3。xxf)(2)(xxg解：不是同一函数，值域不同 4xxf)(33)(xxF解：是同一函数 521)52()(xxf52)(2 xxf解：不是同一函数，定义域、值域都不同 关于复合函数 设 f(x)=2x 3 g(x)=x2+2 则称 fg(x)（或 gf(x)）为复合函数。fg(x)=2(x2+2)3

2、=2x2+1 gf(x)=(2x 3)2+2=4x2 12x+11 例：已知：f(x)=x2 x+3 求：f(x1)f(x+1)解：f(x1)=(x1)2x1+3 f(x+1)=(x+1)2(x+1)+3=x2+x+3 1.函数定义域的求法 分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数tan.(,)2yxxRxkk且 余切函数cotyx,xRxkk且 反三角函数的定义域(有些地方不考反三角,可以不理)函数 yarcsinx的定义域是 1,1，值域是,2 2，函数 yarccosx的定义域是 1,1，值域

3、是0,，函数 yarctgx的定义域是 R，值域是(,)2 2，函数 yarcctgx的定义域是 R，值域是(0,).2019-8-5 注意，1.复合函数的定义域。如：已知函数()f x的定义域为（1，3），则函数()(1)(2)F xf xfx 的定义域。1(1,3)2(1,3)xx 2.函数()f x的定义域为(,)a b,函数()g x的定义域为(,)m n,则函数()f g x的定义域为()(,)(,)g xa bxm n，解不等式，最后结果才是 3.这里最容易犯错的地方在这里：已知函数(1)f x 的定义域为(1,3),求函数()f x的定义域；或者说，已知函数(1)f x 的定义域

4、为(3,4),则函数(21)fx 的定义域为_?一、复合函数的构成 设()ug x是A到B的函数，()yf u是B到C上的函数，且BB，当u取遍B中的元素时，y取遍C，那么()yf g x就是A到C上的函数。此函数称为由外函数()yf x和内函数()ug x复合而成的复合函数。说明：复合函数的定义域，就是复合函数()yf g x中x的取值范围。x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为()g x的值域。)(xgf与)(xfg表示不同的复合函数。例 2：若函数)(xf的定义域是0，1，求)21(xf的定义域；若)12(xf的定义域是-1，1，求函数)(xf的定义域；已知)3(xf定义域是5

5、,4，求)32(xf定义域 要点 1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的 解答：函数)21(xf是由 A到 B上的函数xu21与 B到 C上的函数)(ufy 复合而成的函数 函数)(xf的定义域是0，1，B=0,1，即函数xu21的值域为0，1 1210 x，021x，即210 x，函数)21(xf的定义域0，21 个函数是否是同一函数为什么解不是同一函数定义域不同解不是同一函数定义域不同解不是同一函数值域不同解是同一函数关于复合函数解不是同一函数定义域值域都不同设则称或为复合函数例已知求解函数定义域的求法分式中的数大于零且正切函数且余切函数反三角函

6、数的定义域有些地方不考反三角可以不理函数的定义域是值域是函数的定义域是值域是函数的定义域是值域是函数的定义域是值域是注意复合函数的定义域如已知函数的定义域为则函数的定的定义域或者说已知函数的定义域为解不等式最后结果才是则函数的定义域为一复合函数的构成设是到的函数是到上的函数且当取遍中的元素时取遍那么就是到上的函数此函数称为由外函数和内函数复合而成的复合函数说明复合函 2019-8-5 函数)12(xf是由 A到 B上的函数12 xu与 B到 C上的函数)(ufy 复合而成的函数)12(xf的定义域是-1，1，A=-1,1，即-11x，1123x,即12 xu的值域是-3，1，)(xfy 的定义

7、域是-3，1 要点 2：若已知)(xf的定义域为A，则)(xgf的定义域就是不等式Axg)(的x的集合；若已知)(xgf的定义域为A，则)(xf的定义域就是函数)(xg)(Ax的值域。函数)3(xf是由 A到 B上的函数3xu与 B到 C上的函数)(ufy 复合而成的函数)3(xf的定义域是-4，5),A=-4,5)即54x，831x即3xu的值域 B=-1，8）又)32(xf是由A到B上的函数32 xu与 B到 C上的函数)(ufy 复合而成的函数，而BB,从而32 xu的值域)8,1B8321x,1122 x2111x)32(xf的定义域是1，211）例 4：已知函数xxxf1)(,)1(

8、x 求)(xf的值域。分析：令1)(xxu，)1(x；则有1)(2uuug，)0(u 复合函数)(xf是由1)(xxu与1)(2uuug复合而成，而1)(2uuug，)0(u的值域即)(xf的值域，但1)(2uuug的本身定义域为R,其值域则不等于复合函数)(xf的值域了。2求有关复合函数的解析式，例 6已知,1)(2xxf求)1(xf；已知1)1()1(2xxf，求)(xf 例 7已知xxxf1)1(，求)(xf；已知221)1(xxxxf，求)1(xf 要点 3：个函数是否是同一函数为什么解不是同一函数定义域不同解不是同一函数定义域不同解不是同一函数值域不同解是同一函数关于复合函数解不是同

9、一函数定义域值域都不同设则称或为复合函数例已知求解函数定义域的求法分式中的数大于零且正切函数且余切函数反三角函数的定义域有些地方不考反三角可以不理函数的定义域是值域是函数的定义域是值域是函数的定义域是值域是函数的定义域是值域是注意复合函数的定义域如已知函数的定义域为则函数的定的定义域或者说已知函数的定义域为解不等式最后结果才是则函数的定义域为一复合函数的构成设是到的函数是到上的函数且当取遍中的元素时取遍那么就是到上的函数此函数称为由外函数和内函数复合而成的复合函数说明复合函 2019-8-5 已知)(xf求复合函数)(xgf的解析式，直接把)(xf中的x换成)(xg即可。已知)(xgf求)(x

10、f的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法就是在)(xgf中把关于变量x的表达式先凑成)(xg整体的表达式，再直接把)(xg换成x而得)(xf。换元法就是先设txg)(，从中解出x（即用t表示x），再把x（关于t的式子）直接代入)(xgf中消去x得到)(tf，最后把)(tf中的t直接换成x即得)(xf，这种代换遵循了同一函数的原则。例 8已知)(xf是一次函数，满足172)1(2)1(3xxfxf，求)(xf；已知xxfxf4)1(2)(3，求)(xf 要点 4：当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法求函数的解析式。已知)(xf满

11、足某个等式，这个等式除)(xf是未知量外，还出现其他未知量，如)(xf、)1(xf等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出)(xf。三、总结：复合函数的构成；设函数)(ufy，)(xgu，则我们称)(xgfy 是由外函数)(ufy 和内函数)(xgu 复合而成的复合函数。其中x被称为直接变量，u被称为中间变量。复合函数中直接变量x的取值范围叫做复合函数的定义域，中间变量u的取值范围，即是)(xg的值域，是外函数)(ufy 的定义域。有关复合函数的定义域求法及解析式求法：定义域求法：求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式（由bxga)(解x）；求外函数的定义域只要求中间

12、变量的值域范围（由bxa求)(xg的值域）。已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域，必须先求出外函数的定义域。特别强调，此时求出的外函数的定义域一定是前一个复合函数的内函数的值域，例 2（3）反映明显。解析式求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法 2.函数值域的求法（1）、直接观察法 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,个函数是否是同一函数为什么解不是同一函数定义域不同解不是同一函数定义域不同解不是同一函数值域不同解是同一函数关于复合函数解不是同一函数定义域值域都不同设则称或为复合函数例已知求解函数定义域的求法分式中的数大于零且正切函数且余

13、切函数反三角函数的定义域有些地方不考反三角可以不理函数的定义域是值域是函数的定义域是值域是函数的定义域是值域是函数的定义域是值域是注意复合函数的定义域如已知函数的定义域为则函数的定的定义域或者说已知函数的定义域为解不等式最后结果才是则函数的定义域为一复合函数的构成设是到的函数是到上的函数且当取遍中的元素时取遍那么就是到上的函数此函数称为由外函数和内函数复合而成的复合函数说明复合函 2019-8-5 其值域可通过观察直接得到。例求函数1,1,2yxx的值域 例 2.求函数x3y的值域。解：0 x 3x3,0 x故函数的值域是：3,（2）、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例 3.求

14、函数 2,1x,5x2xy2的值域。解：将函数配方得：4)1x(y2 2,1x 由二次函数的性质可知：当 x=1 时，4ymin，当1x时，8ymax故函数的值域是：4，8（3）、根判别式法 对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简 如:例 4.求函数22x1xx1y的值域。解：原函数化为关于 x 的一元二次方程0 x)1y(x)1y(2（1）当1y 时，Rx0)1y)(1y(4)1(2解得：23y21（2）当 y=1 时，0 x，而23,211故函数的值域为23,21 4、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)个函数是否是同一函

15、数为什么解不是同一函数定义域不同解不是同一函数定义域不同解不是同一函数值域不同解是同一函数关于复合函数解不是同一函数定义域值域都不同设则称或为复合函数例已知求解函数定义域的求法分式中的数大于零且正切函数且余切函数反三角函数的定义域有些地方不考反三角可以不理函数的定义域是值域是函数的定义域是值域是函数的定义域是值域是函数的定义域是值域是注意复合函数的定义域如已知函数的定义域为则函数的定的定义域或者说已知函数的定义域为解不等式最后结果才是则函数的定义域为一复合函数的构成设是到的函数是到上的函数且当取遍中的元素时取遍那么就是到上的函数此函数称为由外函数和内函数复合而成的复合函数说明复合函 2019-

16、8-5 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例求函数3456xyx值域。346456345635xyyxyyxxxy,分母不等于 0,即35y 5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例.求函数3xsinxcosy的值域。解：由原函数式可得：y3xcosxsiny，可化为：y3)x(xsin1y2 即1yy3)x(xsin2Rx 1,1)x(xsin即11yy312 解得：42y42故函数的值域为42,42 6.倒数法 有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，

17、你会发现另一番境况 例求函数23xyx的值域 7.函数单调性法 例.求函数1x1xy的值域。解：原函数可化为：1x1x2y 个函数是否是同一函数为什么解不是同一函数定义域不同解不是同一函数定义域不同解不是同一函数值域不同解是同一函数关于复合函数解不是同一函数定义域值域都不同设则称或为复合函数例已知求解函数定义域的求法分式中的数大于零且正切函数且余切函数反三角函数的定义域有些地方不考反三角可以不理函数的定义域是值域是函数的定义域是值域是函数的定义域是值域是函数的定义域是值域是注意复合函数的定义域如已知函数的定义域为则函数的定的定义域或者说已知函数的定义域为解不等式最后结果才是则函数的定义域为一复

18、合函数的构成设是到的函数是到上的函数且当取遍中的元素时取遍那么就是到上的函数此函数称为由外函数和内函数复合而成的复合函数说明复合函 2019-8-5 令1xy,1xy21，显然21y,y在,1 上为无上界的增函数 所以1yy，2y在,1 上也为无上界的增函数 所以当 x=1 时，21yyy有最小值2，原函数有最大值222 显然0y，故原函数的值域为2,0(7.换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，例 11.求函数1xxy的值域。解：令t1x，)0t(则1tx243)21t(1tty22 又0t，由二次函数的性质可知当0t 时，1ymin

19、当0t 时，y 故函数的值域为),1 例 14.求函数)1x)(cos1x(siny，2,12x的值域。解：)1x)(cos1x(siny1xcosxsinxcosxsin 令txcosxsin，则)1t(21xcosxsin222)1t(211t)1t(21y 由)4/xsin(2xcosxsint且2,12x 可得：2t22当2t 时，223ymax，当22t 时，2243y 个函数是否是同一函数为什么解不是同一函数定义域不同解不是同一函数定义域不同解不是同一函数值域不同解是同一函数关于复合函数解不是同一函数定义域值域都不同设则称或为复合函数例已知求解函数定义域的求法分式中的数大于零且正切

20、函数且余切函数反三角函数的定义域有些地方不考反三角可以不理函数的定义域是值域是函数的定义域是值域是函数的定义域是值域是函数的定义域是值域是注意复合函数的定义域如已知函数的定义域为则函数的定的定义域或者说已知函数的定义域为解不等式最后结果才是则函数的定义域为一复合函数的构成设是到的函数是到上的函数且当取遍中的元素时取遍那么就是到上的函数此函数称为由外函数和内函数复合而成的复合函数说明复合函 2019-8-5 故所求函数的值域为223,2243。8.数形结合法 例 17.求函数5x4x13x6xy22的值域。解：原函数可变形为：上式可看成 x 轴上的点)0,x(P到两定点)1,2(B),2,3(A

21、的距离之和，由图可知当点 P为线段与 x 轴的交点时，43)12()23(|AB|y22min，故所求函数的值域为,43 10.一一映射法 原理：因为)0c(dcxbaxy在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以 求另一个变量范围。例 21.求函数1x2x31y的值域。解：定义域为21x21x|x或由1x2x31y得3y2y1x 故213y2y1x或213y2y1x解得23y23y或 故函数的值域为,2323,多种方法综合运用 总之，在具体求某个函数的值域时，个函数是否是同一函数为什么解不是同一函数定义域不同解不是同一函数定义域不同解不是同一函数值域不同解

22、是同一函数关于复合函数解不是同一函数定义域值域都不同设则称或为复合函数例已知求解函数定义域的求法分式中的数大于零且正切函数且余切函数反三角函数的定义域有些地方不考反三角可以不理函数的定义域是值域是函数的定义域是值域是函数的定义域是值域是函数的定义域是值域是注意复合函数的定义域如已知函数的定义域为则函数的定的定义域或者说已知函数的定义域为解不等式最后结果才是则函数的定义域为一复合函数的构成设是到的函数是到上的函数且当取遍中的元素时取遍那么就是到上的函数此函数称为由外函数和内函数复合而成的复合函数说明复合函 2019-8-5 首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法

23、，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。例.求函数3x2xy的值域。解：令)0t(2xt，则1t3x2（1）当0t 时，21t1t11tty2，当且仅当 t=1，即1x时取等号，所以21y0（2）当 t=0 时，y=0。综上所述，函数的值域为：21,0 注：先换元，后用不等式法 个函数是否是同一函数为什么解不是同一函数定义域不同解不是同一函数定义域不同解不是同一函数值域不同解是同一函数关于复合函数解不是同一函数定义域值域都不同设则称或为复合函数例已知求解函数定义域的求法分式中的数大于零且正切函数且余切函数反三角函数的定义域有些地方不考反三角可以不理函数的定义域是值域是函数的定义域是值域是函数的定义域是值域是函数的定义域是值域是注意复合函数的定义域如已知函数的定义域为则函数的定的定义域或者说已知函数的定义域为解不等式最后结果才是则函数的定义域为一复合函数的构成设是到的函数是到上的函数且当取遍中的元素时取遍那么就是到上的函数此函数称为由外函数和内函数复合而成的复合函数说明复合函