数学经典例题集锦：数列中学教育高考_中学教育-高考.pdf

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1、数列题目精选精编【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质 1.研究通项的性质 例题 1.已知数列满足.（1）求；（2）证明：.解：（1）.（2）证明：由已知，故，所以证得.例题 2.数列的前项和记为（）求的通项公式；（）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求.解：（）由可得，两式相减得：，又 故是首项为 1，公比为 3 的等比数列 （）设的公比为，由得，可得，可得 故可设，又，由题意可得，解得 等差数列的各项为正，例题 3.已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且 对任意的都成立，数列是等差数列.求数列与的通项公式；是否存在，使得，请说明理由.点拨：（1）左边相当于是数列前

2、n项和的形式，可以联想到已知求的方法，当时，.（2）把看作一个函数，利用函数的思想方法来研究的取值情况.解：（1）已知）时，）得，求得，在中令，可得得，所以 N*）.由题意，所以，数列的公差为，）.（2），当时，单调递增，且，所以时，又，所以，不存在，使得.例题 4.设各项均为正数的数列an和bn满足：an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列，且 a1=1，b1=2，a2=3，求通项 an，bn 解：依题意得：2bn+1=an+1+an+2 a2n+1=bnbn+1 an、bn为正数，由得，代入并同除以得：，为等差数列 b1=2，a2=3，当 n2 时，又 a1=1，

3、当 n=1 时成立，2.研究前 n 项和的性质 例题 5.已知等比数列的前项和为，且.（1）求、的值及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）时，.而为等比数列，得，又，得，从而.又.（2），），得，.例题 6.数列是首项为 1000，公比为的等比数列，数列满足 ，（1）求数列的前项和的最大值；（2）求数列的前项和.解：（1）由题意：，数列是首项为 3，公差为的等差数列，由，得，数列的前项和的最大值为.（2）由（1）当时，当时，当时，当时，.例题 7.已知递增的等比数列 满足，且是，的等差中项.（1）求 的通项公式；（2）若，求使成立的的最小值.解：（1）设等比数列的公比为q（q1

4、），由 a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2 或a1=32，q=（舍）an=22（n1）=2n（2），Sn=（12+222+323+n2n）2Sn=（122+223+n2n+1），Sn=2+22+23+2nn2n+1=（n1）2n+12，若Sn+n 2n+130 成立，则 2n+132，故n4，n的最小值为 5.例题 8.已知数列的前n项和为Sn，且成等差数列，.函数.（I）求数列的通项公式；（II）设数列满足，记数列的前n项和为Tn，试比较 的大小.解：（I）成等差数列，当时，.得：，当n=1时，由得，又 是以 1 为首项 3 为公比的

5、等比数列，（II），比较的大小，只需比较与 312 的大小即可.当时，当时，当时，.3.研究生成数列的性质 例题 9.（I）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数；（II）设、是公比不相等的两个等比数列，证明数列不是等比数列.解：（）因为cn+1pcn是等比数列，故有（cn+1pcn）2=（cn+2pcn+1）（cnpcn1），将cn=2n3n代入上式，得 2n1+3n1p（2n3n）2=2n2+3n2p（2n+13n+1）2n+3np（2n13n1），即（2p）2n+（3p）3n2=（2p）2n+1+（3p）3n+1（2p）2n1+（3p）3n1，整理得（2p）（3p）2n3n=0，解得p

6、=2 或p=3.（）设an、bn的公比分别为p、q，pq，cn=an+bn.为证cn不是等比数列只需证c1c3.事实上，=（a1pb1q）2=p2q22a1b1pq，c1c3=（a1b1）（a1 p2b1q2）=p2q2a1b1（p2q2）.由于pq，p2q22pq，又a1、b1不为零，因此c1c3，故cn不是等比数列.例题 10.n2（n 4）个正数排成 n 行 n 列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知 a24=1，求 S=a11+a22+a33+ann 解：设数列 的公差为 d，数列（i=1，2，3，n）的公比为 q 则=a11+（k1）d，akk=a1

7、1+（k1）dqk1 依题意得：，解得：a11=d=q=又 n2个数都是正数，a11=d=q=，akk=，两式相减得：例题 11.已知函数的图象经过点和，记（1）求数列的通项公式；（2）设，若，求的最小值；（3）求使不等式对一切均成立的最大实数.解：（1）由题意得，解得，（2）由（1）得，得.，设，则由 得随的增大而减小 时，又恒成立，（3）由题意得恒成立 记，则 是随的增大而增大 的最小值为，即.（二）证明等差与等比数列 1.转化为等差等比数列.例题 12.数列中，且满足，.求数列的通项公式；设，求；设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解：

8、（1）由题意，为等差数列，设公差为，由题意得，.（2）若，时，故 （3），若对任意成立，即对任意成立，的最小值是，的最大整数值是 7.即存在最大整数使对任意，均有 例题 13.已知等比数列与数列满足 N*.（1）判断是何种数列，并给出证明；（2）若.解：（1）设的公比为q，。所以是以为公差的等差数列.（2）所以由等差数列性质可得 2.由简单递推关系证明等差等比数列 例题 14.已知数列和满足：，（），且是以为公比的等比数列.（I）证明：；（II）若，证明：数列是等比数列；（III）求和：.解法 1：（I）证：由，有，.（II）证：，.是首项为 5，公比为的等比数列.（III）解：由（II）得，

9、于是 .当时，.当时，.故 解法 2：（I）同解法 1（I）.（II）证：，又，是首项为 5，公比为的等比数列.（III）由解法 1 中（II）的类似方法得，.例题 15.设数列（1）证明：数列是等比数列；（2）设数列的公比，数列满足，bn=f（bn1）（nN*，n2），求数列的通项公式；（3）设，求数列的前n项和n.（1）证明：由 相减得：数列是等比数列（2）解：是首项为，公差为 1 的等差数列，.（3）解：时 得：所以：.例题 16.的各个顶点分别为，设为线段的中点，为线段OC的中点，为线段的中点.对每一个正整数为线段的中点.令的坐标为，.（1）求及；（2）证明：（3）记，证明：是等比数列

10、.（1）解：因为y1=y2=y4=1，y3=，y5=，所以 得a1=a2=a3=2.又由，对任意的正整数n有 an+1=an 恒成立，且a1=2，所以an为常数数列，an=2，（n为正整数）（2）证明：根据，及=an=2，易证得yn+4=1（3）证明：因为bn+1=（1）（1）=，又由b1=1y4=，所以bn是首项为，公比为的等比数列.【模拟试题】一、填空题 1.在等差数列a中，已知 a=2，a+a=13，则 a+a+a 等于=.2.已知数列的通项，则其前项和 .3.首项为24 的等差数列，从第 10 项开始为正，则公差的取值范围是 .4.在等比数列中，和 是二次方程 的两个根，则 的值为 .

11、5.等差数列an中，a1=1，a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100，则 n=.6.等差数列an的前 m项和为 30，前 2m项的和为 100，求它的前 3m项的和为_ 7.已知两个等差数列和的前项和分别为 A和，且，=，若为正整数，n 的取值个数为_。8.已知数列对于任意，有，若，则.9.记数列所有项的和为，第二项及以后各项的和为，第三项及以后各项的和为，第项及以后各项的和为，若，则等于 .10.等差数列共有项，其中奇数项之和为 319，偶数项之和为 290，则其中间项为_.11.等差数列中，若且，则的值为 .12.设为等差数列的前项和.已知，则等于 .13.已知函数定义在正整数集上

12、，且对于任意的正整数，都有，且，则_ _.14.三个数成等比数列，且，则b的取值范围是 .15.等差数列中，前项和为，首项.（1）若，求（2）设，求使不等式的最小正整数的值.点拨：在等差数列中知道其中三个就可以求出另外一个，由已知可以求出首项与公差，把分别用首项与公差，表示即可.对于求和公式，采用哪一个都可以，但是很多题目要视具体情况确定采用哪一个可能更简单一些.例如：已知判断的正负.问题 2 在思考时要注意加了绝对值时负项变正时，新的数列首项是多少，一共有多少项.16.等差数列 的前项和为，.（I）求数列 的通项与前项和为；（II）设（），求证：数列 中任意不同的三项都不可能成为等比数列.1

13、7.在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数n，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列.求点的坐标；设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，设与抛物线相切于的直线的斜率为，求：.设，等差数列 的任一项，其中是中的最大数，求 的通项公式.18.已知数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足（nN*），证明：是等差数列.【试题答案】1.42 2.3.4.5.10 6.210 7.8.5；5 个 解法一：点拨 利用等差数列的求和公式及等差数列的性质“若，则”解析：=解法 2：点拨 利用“若 为等差数列，那么”这个结论，根据条件 找出和的通项.解

14、析：可设，则，则=由上面的解法 2 可知=，显然只需使为正整数即可，故，共 5 个.点评：对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握，根据具体的情况能够灵活应用.反思：解法 2 中，若是填空题，比例常数 k 可以直接设为 1.8.4 9.解：.10.解：依题意，中间项为，于是有解得.11.解：由题设得，而，又，.12.解：，.。13.解：由知函数当从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一个等差数列，形成一个首项为 2，公差为 4 的等差数列，.14.解：设，则有.当时，而，；当时，即，而，则，故.15.解：（1）由，得：，又由.即，得到.（2）由 若5，则，不合题意 故5，即，所以15，使不等式成立的最小正整数的值为 15 16.解答：（I）由已知得，故.（）由（）得.假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则.即.，.与矛盾.17.解：（1）（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：把代入上式，得，的方程为：.，=.（3），T 中最大数.设公差为，则，由此得 18.（1）解：是以为首项，2 为公比的等比数列.即.（2）证：，得 即 ，得 即 是等差数列.