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1、学习必备 欢迎下载 公务员考试常用数学公式汇总(完整版)一、基础代数公式 1.平方差公式：（ab）（ab）a2b2 2.完全平方公式：（ab）2a22abb2 完全立方公式：（ab）3=（ab）(a2ab+b2)3.同底数幂相乘:amanam n（m、n 为正整数，a0）同底数幂相除：amanam n（m、n 为正整数，a0）a01（a0）a-ppa1（a0，p 为正整数）4.等差数列：（1）sn 2)(1naanna1+21n(n-1)d；（2）ana1（n1）d；（3）n daan11；（4）若 a,A,b 成等差数列，则：2Aa+b；（5）若 m+n=k+i，则：am+an=ak+ai；

2、（其中：n 为项数，a1为首项，an为末项，d 为公差，sn为等差数列前 n 项的和）5.等比数列：（1）ana1q1；（2）sn qqan11 1）（q1）（3）若 a,G,b 成等比数列，则：G2ab；（4）若 m+n=k+i，则：aman=akai；（5）am-an=(m-n)d（6）nmaaq(m-n)（其中：n 为项数，a1为首项，an为末项，q 为公比，sn为等比数列前 n 项的和）6.一元二次方程求根公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)其中：x1=aacbb242；x2=aacbb242（b2-4ac0）根与系数的关系：x1+x2=-ab，x1x2=ac 二、基础几

3、何公式 1.三角形：不在同一直线上的三点可以构成一个三角形；三角形内角和等于 180；三角形中任两 边之和大于第三边、任两边之差小于第三边；（1）角平分线：三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。（2）三角形的中线：连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。（3）三角形的高：三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高。（4）三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。（5）内心：角平分线的交点叫做内心；内心到三角形三边的距离相等。重心：中线的交点叫做重心；重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之

4、一。垂线：高线的交点叫做垂线；三角形的一个顶点与垂心连线必垂直于对边。外心：三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的学习必备 欢迎下载 外心。外心到三角形的三个顶点的距离相等。直角三角形：有一个角为 90 度的三角形，就是直角三角形。直角三角形的性质：（1）直角三角形两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）直角三角形中，如果有一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是 30；（5）直角三角形中，c2a2b2（其中：a、b 为两直角边长，c 为斜边长）；（6）直角三角形的外接圆半径

5、，同时也是斜边上的中线；直角三角形的判定：（1）有一个角为 90；（2）边上的中线等于这条边长的一半；（3）若 c2a2b2，则以 a、b、c 为边的三角形是直角三角形；2.面积公式：正方形边长边长；长方形 长宽；三角形21 底高；梯形 2高（上底下底）；圆形 R2 平行四边形底高 扇形 0360nR2 正方体6边长边长 长方体2（长宽宽高长高）；圆柱体2r22rh；球的表面积4R2 3.体积公式 正方体边长边长边长；长方体长宽高；圆柱体底面积高Shr2h 圆锥 31r2h 球 334R 4.与圆有关的公式 设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：（1）dr：点在圆内（即圆的内部是到圆心

6、的距离小于半径的点的集合）；（2）dr：点在圆上（即圆上部分是到圆心的距离等于半径的点的集合）；（3）dr：点在圆外（即圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合）；线与圆的位置关系的性质和判定：如果O的半径为 r，圆心 O到直线l的距离为 d，那么：（1）直线l与O相交：dr；（2）直线l与O相切：dr；（3）直线l与O相离：dr；圆与圆的位置关系的性质和判定：设两圆半径分别为 R和 r，圆心距为 d，那么：（1）两圆外离：rRd；（2）两圆外切：rRd；（3）两圆相交：rRdrR（rR）；（4）两圆内切：rRd（rR）；底数幂相乘为正整数同底数幂相除为正整数为正整数等差数列若成等差数列则若则

7、其中为项数为首项为末项为公差等差数列前项的和等比数列为若成等比数列则若则其中为项数等比数列前项的和一元二次方程求根公式为首项为末项于三角形中任两边之和大于第三边任两边之差小于第三边角平分线三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角的平分线三角形的中线连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三两边中点的线段叫做三角形的中位线内心角平分线的交点叫做内心内心到三角形三边的距离相等重心中线的交点叫做重心重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一垂线高线的交点叫做垂线三角形的一个顶点与垂心连线必垂直学习必备 欢迎下载（5）两圆内含：rRd（rR）圆周长公式：C2R

8、d（其中 R为圆半径，d 为圆直径，3.141592610）；n的圆心角所对的弧长l的计算公式：l180Rn；扇形的面积：（1）S扇360nR2；（2）S扇21l R；若圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则它的侧面积：S侧rl；圆锥的体积：V31Sh31r2h。三、其他常用知识 1 2X、3X、7X、8X的尾数都是以 4 为周期进行变化的；4X、9X的尾数都是以 2 为周期进行变化的；另外 5X和 6X的尾数恒为 5 和 6，其中 x 属于自然数。2 对任意两数 a、b，如果 ab0，则 ab；如果 ab0，则 ab；如果 ab0，则 ab。当 a、b 为任意两正数时，如果 a/b 1，则

9、ab；如果 a/b 1，则 ab；如果 a/b 1，则 ab。当 a、b 为任意两负数时，如果 a/b 1，则 ab；如果 a/b 1，则 ab；如果 a/b 1，则 ab。对任意两数 a、b，当很难直接用作差法或者作商法比较大小时，我们通常选取中间值 C，如果 aC，且 Cb，则我们说 ab。3 工程问题：工作量工作效率工作时间；工作效率工作量工作时间；工作时间工作量工作效率；总工作量各分工作量之和；注：在解决实际问题时，常设总工作量为 1。4 方阵问题：（1）实心方阵：方阵总人数（最外层每边人数）2 最外层人数（最外层每边人数1）4（2）空心方阵：中空方阵的人数（最外层每边人数）2-（最外

10、层每边人数-2层数）2（最外层每边人数-层数）层数4=中空方阵的人数。例：有一个 3 层的中空方阵，最外层有 10 人，问全阵有多少人？解：（103）3484（人）5 利润问题：（1）利润销售价（卖出价）成本；利润率成本利润成本销售价成本成本销售价1；销售价成本（1利润率）；成本利润率销售价1。（2）单利问题 利息本金利率时期；本利和本金利息本金（1+利率时期）；本金本利和（1+利率时期）。年利率12=月利率；月利率12=年利率。例：某人存款 2400 元，存期 3 年，月利率为 102（即月利 1 分零 2 毫），三年到期后，本利和共是多少元？”解：用月利率求。3 年=12 月3=36 个月

11、 2400（1+10236）=2400 13672=328128（元）6 排列数公式：Pmnn（n1）（n2）（nm 1），（mn）组合数公式：CmnPmnPmm（规定0nC1）。“装错信封”问题：D10，D21，D32，D49，D544，底数幂相乘为正整数同底数幂相除为正整数为正整数等差数列若成等差数列则若则其中为项数为首项为末项为公差等差数列前项的和等比数列为若成等比数列则若则其中为项数等比数列前项的和一元二次方程求根公式为首项为末项于三角形中任两边之和大于第三边任两边之差小于第三边角平分线三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角的平分线三角形的中

12、线连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三两边中点的线段叫做三角形的中位线内心角平分线的交点叫做内心内心到三角形三边的距离相等重心中线的交点叫做重心重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一垂线高线的交点叫做垂线三角形的一个顶点与垂心连线必垂直学习必备 欢迎下载 D6265，7.年龄问题：关键是年龄差不变；几年后年龄大小年龄差倍数差小年龄 几年前年龄小年龄大小年龄差倍数差 8.日期问题：闰年是 366 天，平年是 365 天，其中：1、3、5、7、8、10、12 月都是 31 天，4、6、9、11 是 30 天，闰年时候2 月份 29 天，平年 2 月份是 28 天。9.植树问题 （1）线形

13、植树：棵数总长间隔1 （2）环形植树：棵数总长间隔 （3）楼间植树：棵数总长间隔1 （4）剪绳问题：对折 N次，从中剪 M刀，则被剪成了（2NM 1）段 10.鸡兔同笼问题：鸡数（兔脚数总头数-总脚数）（兔脚数-鸡脚数）（一般将“每”量视为“脚数”）得失问题（鸡兔同笼问题的推广）：不合格品数（1 只合格品得分数产品总数-实得总分数）（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）总产品数-（每只不合格品扣分数总产品数+实得总分数）（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）例：“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记 4 分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除 15 分。某工人生

14、产了 1000 只灯泡，共得 3525 分，问其中有多少个灯泡不合格？”解：（41000-3525）（4+15）=475 19=25（个）11盈亏问题：（1）一次盈，一次亏：（盈+亏）（两次每人分配数的差）=人数（2）两次都有盈：（大盈-小盈）（两次每人分配数的差）=人数（3）两次都是亏：（大亏-小亏）（两次每人分配数的差）=人数（4）一次亏，一次刚好：亏（两次每人分配数的差）=人数（5）一次盈，一次刚好：盈（两次每人分配数的差）=人数 例：“小朋友分桃子，每人 10 个少 9 个，每人 8 个多 7 个。问：有多少个小朋友和多少个桃子？”解（7+9）（10-8）=162=8（个）人数 108

15、-9=80-9=71（个）桃子 12.行程问题：（1）平均速度：平均速度21212vvvv（2）相遇追及：相遇（背离）：路程速度和时间 追及：路程速度差时间（3）流水行船：顺水速度船速水速；逆水速度船速水速。两船相向航行时，甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度 两船同向航行时，后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）速度。（4）火车过桥：列车完全在桥上的时间（桥长车长）列车速度 列车从开始上桥到完全下桥所用的时间（桥长车长）底数幂相乘为正整数同底数幂相除为正整数为正整数等差数列若成等差数列则若则其中为项数为首项为末项为公差等差数列前项的和等比数列为若成等比

16、数列则若则其中为项数等比数列前项的和一元二次方程求根公式为首项为末项于三角形中任两边之和大于第三边任两边之差小于第三边角平分线三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角的平分线三角形的中线连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三两边中点的线段叫做三角形的中位线内心角平分线的交点叫做内心内心到三角形三边的距离相等重心中线的交点叫做重心重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一垂线高线的交点叫做垂线三角形的一个顶点与垂心连线必垂直学习必备 欢迎下载 列车速度（5）多次相遇：相向而行，第一次相遇距离甲地 a 千米，第二次相遇距离乙地 b 千米，则甲乙两地相距

17、 S3a-b（千米）（6）钟表问题：钟面上按“分针”分为 60 小格，时针的转速是分针的121，分针每小时可追及1211 时针与分针一昼夜重合 22 次，垂直 44 次，成 180o22 次。时分秒重叠 2 次 13容斥原理：AB=BA+BA A+B+C=CBA+BA+CA+CB-CBA 其中，CBAE 14牛吃草问题：原有草量（牛数每天长草量）天数，其中：一般设每天长草量为 X 2012 国家公务员考试行测备考数量关系万能解法：文氏图 数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。另外，由于使用了

18、数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。纵观近几年公务员考试真题，无论是国考还是地方考试，集合问题作为一个热点问题几乎每年都会考到，此类题目的特点是总体难度不大，只要方法得当，一般都很容易求解。下面为大家介绍用数形结合方法解这类题的经典方法：文氏图。一般来说，考试中常考的集合关系主要有下面两种：1.并集 定义：取一个集合，设全集为 I，A、B 是 I 中的两个子集，由所有属于 A 或属于 B 的元素所组成的集合，叫做 A，B 的并集，表示：AB。比如说，现在要挑选一批人去参加篮球比赛。条件 A 是，这些人年龄要在 18 岁以上，条件 B 是，这些人身高要在 180CM以上，那么符合条件

19、的人就是取条件 A 和 B 的并集，就是两个条件都符合的人：18 岁以上且身高在 180CM 以上。2.交集 定义：（交就是取两个集合共同的元素）A 和 B的交集是含有所有既属于 A 又属于 B 的元素，而没有其他元素的集合。A 和 B 的交集写作“AB”。形式上：x 属于 A B当且仅当 x 属于 A 且 x 属于 B。例如：集合1，2，3和2，3，4 的交集为2，3。数字9 不属于素数集合2，3，5，7，11 和奇数集合1，3，5，7，9，11的交集。若两个集合 A 和 B 的交集为空，就是说他们没有公共元素，则他们不相交。（I）取一个集合，设全集为 I，A、B 是 I 中的两个子集，X

20、为 A 和 B 的相交部分，则集合间有如下关系：ABX，ABABX；文氏图如下图。底数幂相乘为正整数同底数幂相除为正整数为正整数等差数列若成等差数列则若则其中为项数为首项为末项为公差等差数列前项的和等比数列为若成等比数列则若则其中为项数等比数列前项的和一元二次方程求根公式为首项为末项于三角形中任两边之和大于第三边任两边之差小于第三边角平分线三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角的平分线三角形的中线连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三两边中点的线段叫做三角形的中位线内心角平分线的交点叫做内心内心到三角形三边的距离相等重心中线的交点叫做重心重心到每

21、边中点的距离等于这边中线的三分之一垂线高线的交点叫做垂线三角形的一个顶点与垂心连线必垂直学习必备 欢迎下载 下面让我们回顾一下历年国考和地方真题，了解一下文氏图的一些应用。例：如下图所示，X、Y、Z 分别是面积为 64、180、160 的三个不同形状的纸片，它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为 290，且 X 与 Y、Y 与 Z、Z 与 X 重叠部分面积分别为 24、70、36，问阴影部分的面积是多少？（）A.15 B.16 C.14 D.18 【答案：B】从题干及提供的图我们可以看出，所求的阴影部分的面积即（II）中的 x，直接套用上述公式，我们可以得到：XYZ64+180+16

22、0，XZ24，XY36，YZ70，则：xXYZXYZXZXYYZ2906418016024703616 从图上可以清楚的看到，所求的阴影部分是 X，Y，Z 这三个图形的公共部分。即图 1 中的 x，由题意有：64180160247036x290，解得 x16。例：旅行社对 120 人的调查显示，喜欢爬山的与不喜欢爬山的人数比为 5：3，喜欢游泳的与不喜欢游泳的人数比为 7：5，两种活动都喜欢的有 43 人，对这两种活动都不喜欢的人数是（）。A.18 B.27 C.28 D.32 【答案：A】欲求两种活动都喜欢的人数，我们可以先求出两种活动都不喜欢的人数。套用（I）中的公式：喜欢爬山的人数为 1

23、20 58 75，可令 A75；喜欢游泳的人数为 120 712 70，可令 B70；两种活动都喜欢的有 43 人，即 AB43，故两项活动至少喜欢一个的人数为 757043102 人，即 AB105，则两种活动都不喜欢的人数为 12010218（人）。例：某外语班的 30 名学生中，有 8 人学习 英语，12 人学习日语，3 人既学英语也学日语，问有多少人既不学英语又没学日语？（）A.12 B.13 C.14 D.15 【答案：B】题中要求的是既不学英语又不学日语的人数，我们可以先求出既学英语又学日语的人数。总人数减去既学英语又学日语的人数即为所求的人数。套用上面的公式可知，即学英语也学日语

24、的人数为 812317，则既不学英语又没学日语的人数是：30（8123）13。底数幂相乘为正整数同底数幂相除为正整数为正整数等差数列若成等差数列则若则其中为项数为首项为末项为公差等差数列前项的和等比数列为若成等比数列则若则其中为项数等比数列前项的和一元二次方程求根公式为首项为末项于三角形中任两边之和大于第三边任两边之差小于第三边角平分线三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角的平分线三角形的中线连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三两边中点的线段叫做三角形的中位线内心角平分线的交点叫做内心内心到三角形三边的距离相等重心中线的交点叫做重心重心到每边中

25、点的距离等于这边中线的三分之一垂线高线的交点叫做垂线三角形的一个顶点与垂心连线必垂直学习必备 欢迎下载 例：电视台向 100 人调查昨天收看电视情况，有 62 人看过2 频道，34 人看过 8 频道，11 人两个频道都看过。问，两个频道都没有看过的有多少人？（）A4 B15 C17 D28 答案：B】本题解法同上，直接套用上述公式求出既看过 2频道又看过 8 频道的人数为 62341185 人，则两个频道都没看过的有 1008515 人。就我自己考试经历而言，其实没有快速方法，唯有多练习，下面的可以参考一下 在排列组合中，有三种特别常用的方法：捆绑法、插空法、插板法。一、捆绑法 精要：所谓捆绑

26、法，指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间顺序。提醒：其首要特点是相邻，其次捆绑法一般都应用在不同物体的排序问题中。二、插空法 精要：所谓插空法，指在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置。提醒：首要特点是不邻，其次是插空法一般应用在排序问题中。三、插板法 精要：所谓插板法，指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比所需分组数目少 1 的板插入元素之间形成分组的解题策略。文总结了数学运算排列组合解题法则，帮助广大备考 2011年江

27、苏公务员考试的考生了解排列组合常见问题及解题方法。一、捆绑法 精要：所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间顺序。提醒：其首要特点是相邻，其次捆绑法一般都应用在不同物体的排序问题中。【例题】有 10 本不同的书：其中数学书 4 本，外语书 3本，语文书 3 本。若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有()种。解析：这是一个排序问题，书本之间是不同的，其中要求数学书和外语书都各自在一起。为快速解决这个问题，先将 4本数学书看做一个元素，将 3 本外语书看做一个元素，然后

28、和剩下的 3 本语文书共 5 个元素进行统一排序，方法数为，然后排在一起的 4 本数学书之间顺序不同也对应最后整个排序不同，所以在 4 本书内部也需要排序，方法数为，同理，外语书排序方法数为。而三者之间是分步过程，故而用乘法原理得。【例题】5 个人站成一排，要求甲乙两人站在一起，有多少种方法?解析：先将甲乙两人看成 1 个人，与剩下的 3 个人一起排列，方法数为，然后甲乙两个人也有顺序要求，方法数为，因此站队方法数为。【练习】一台晚会上有 6 个演唱节目和 4 个舞蹈节目，4底数幂相乘为正整数同底数幂相除为正整数为正整数等差数列若成等差数列则若则其中为项数为首项为末项为公差等差数列前项的和等比

29、数列为若成等比数列则若则其中为项数等比数列前项的和一元二次方程求根公式为首项为末项于三角形中任两边之和大于第三边任两边之差小于第三边角平分线三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角的平分线三角形的中线连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三两边中点的线段叫做三角形的中位线内心角平分线的交点叫做内心内心到三角形三边的距离相等重心中线的交点叫做重心重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一垂线高线的交点叫做垂线三角形的一个顶点与垂心连线必垂直学习必备 欢迎下载 个舞蹈节目要排在一起，有多少不同的安排节目的顺序?注释：运用捆绑法时，一定要注意捆绑起来的整体

30、内部是否存在顺序的要求，有的题目有顺序的要求，有的则没有。如下面的例题。【例题】6 个不同的球放到 5 个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法?解析：按照题意，显然是 2 个球放到其中一个盒子，另外4 个球分别放到 4 个盒子中，因此方法是先从 6 个球中挑出 2个球作为一个整体放到一个盒子中，然后这个整体和剩下的 4个球分别排列放到 5 个盒子中，故方法数是。二、插空法 精要：所谓插空法，指在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置。提醒：首要特点是不邻，其次是插空法一般应用在排序问题中。【例题】若有 A

31、、B、C、D、E 五个人排队，要求 A 和 B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法?解析：题中要求 AB 两人不站在一起，所以可以先将除 A和 B 之外的 3 个人排成一排，方法数为，然后再将 A 和 B 分别插入到其余 3 个人排队所形成的 4 个空中，也就是从 4 个空中挑出两个并排上两个人，其方法数为，因此总方法数。【例题】8 个人排成一队，要求甲乙必须相邻且与丙不相邻，有多少种方法?解析：甲乙相邻，可以捆绑看作一个元素，但这个整体元素又和丙不相邻，所以先不排这个甲乙丙，而是排剩下的 5 个人，方法数为，然后再将甲乙构成的整体元素及丙这两个元素插入到此前 5 人所形成的 6 个空里，方

32、法数为，另外甲乙两个人内部还存在排序要求为。故总方法数为。【练习】5 个男生 3 个女生排成一排，要求女生不能相邻，有多少种方法?注释：将要求不相邻元素插入排好元素时，要注释是否能够插入两端位置。【例题】若有 A、B、C、D、E 五个人排队，要求 A 和 B两个人必须不站在一起，且 A 和 B 不能站在两端，则有多少排队方法?解析：原理同前，也是先排好 C、D、E 三个人，然后将A、B 查到 C、D、E 所形成的两个空中，因为 A、B 不站两端，所以只有两个空可选，方法总数为。注释：对于捆绑法和插空法的区别，可简单记为“相邻问题捆绑法，不邻问题插空法”。三、插板法 精要：所谓插板法，指在解决若

33、干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比所需分组数目少 1 的板插入元素之间形成分组的解题策略。提醒：其首要特点是元素相同，其次是每组至少含有一个元素，一般用于组合问题中。【例题】将 8 个完全相同的球放到 3 个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法?解析：解决这道问题只需要将 8 个球分成三组，然后依次将每一组分别放到一个盒子中即可。因此问题只需要把 8 个球分成三组即可，于是可以讲 8 个球排成一排，然后用两个板查到 8 个球所形成的空里，即可顺利的把 8 个球分成三组。其中第一个板前面的球放到第一个盒子中，第一个板和第二个板之间的球放到第二个盒子中，第二个板后

34、面的球放到第三个盒子中去。因为每个盒子至少放一个球，因此两个板不能放在同底数幂相乘为正整数同底数幂相除为正整数为正整数等差数列若成等差数列则若则其中为项数为首项为末项为公差等差数列前项的和等比数列为若成等比数列则若则其中为项数等比数列前项的和一元二次方程求根公式为首项为末项于三角形中任两边之和大于第三边任两边之差小于第三边角平分线三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角的平分线三角形的中线连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三两边中点的线段叫做三角形的中位线内心角平分线的交点叫做内心内心到三角形三边的距离相等重心中线的交点叫做重心重心到每边中点的距

35、离等于这边中线的三分之一垂线高线的交点叫做垂线三角形的一个顶点与垂心连线必垂直学习必备 欢迎下载 一个空里且板不能放在两端，于是其放板的方法数是。(板也是无区别的)【例题】有 9 颗相同的糖，每天至少吃 1 颗，要 4 天吃完，有多少种吃法?解析：原理同上，只需要用 3 个板插入到 9 颗糖形成的 8个内部空隙，将 9 颗糖分成 4 组且每组数目不少于 1 即可。因而 3 个板互不相邻，其方法数为。【练习】现有 10 个完全相同的篮球全部分给 7 个班级，每班至少 1 个球，问共有多少种不同的分法?注释：每组允许有零个元素时也可以用插板法，其原理不同，注意下题解法的区别。【例题】将 8 个完全

36、相同的球放到 3 个不同的盒子中，一共有多少种方法?解析：此题中没有要求每个盒子中至少放一个球，因此其解法不同于上面的插板法，但仍旧是插入 2 个板，分成三组。但在分组的过程中，允许两块板之间没有球。其考虑思维为插入两块板后，与原来的 8 个球一共 10 个元素。所有方法数实际是这 10 个元素的一个队列，但因为球之间无差别，板之间无差别，所以方法数实际为从 10 个元素所占的 10 个位置中挑 2 个位置放上 2 个板，其余位置全部放球即可。因此方法数为。注释：特别注意插板法与捆绑法、插空法的区别之处在于其元素是相同的。四、具体应用 【例题】一条马路上有编号为 1、2、9 的九盏路灯，现为了

37、节约用电，要将其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种?解析：要关掉 9 盏灯中的 3 盏，但要求相邻的灯不能关闭，因此可以先将要关掉的 3 盏灯拿出来，这样还剩 6 盏灯，现在只需把准备关闭的 3 盏灯插入到亮着的 6 盏灯所形成的空隙之间即可。6 盏灯的内部及两端共有 7 个空，故方法数为。【例题】一条马路的两边各立着 10 盏电灯，现在为了节省用电，决定每边关掉 3 盏，但为了安全，道路起点和终点两边的灯必须是亮的，而且任意一边不能连续关掉两盏。问总共可以有多少总方案?A、120B、320C、400D、420 解析：考虑一侧的关灯方法，10 盏灯关掉

38、3 盏，还剩 7盏，因为两端的灯不能关，表示 3 盏关掉的灯只能插在 7 盏灯形成的 6 个内部空隙中，而不能放在两端，故方法数为，总方法数为。注释：因为两边关掉的种数肯定是一样的(因为两边是同等地位)，而且总的种数是一边的种数乘以另一边的种数，因此关的方案数一定是个平方数，只有 C 符合。排 列 组 合 加法原理：做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1种不同的方法，在第二类办法中有 m2种不同的方法，在第 n 类办法中有 mn种不同的方法那么完成这件事共有 Nm1十 m2十十 mn种不同的方法 乘法原理：做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1种不同的方法，

39、做第二步有 m2种不同的方法，做第 n 步有 mn种不同的方法那么完成这件事共有 Nm1 m2mn种不同的方法 6 排列数公式：Pmnn（n1）（n2）（nm 1），（mn）组合数公式：CmnPmnPmm（规定0nC1）。底数幂相乘为正整数同底数幂相除为正整数为正整数等差数列若成等差数列则若则其中为项数为首项为末项为公差等差数列前项的和等比数列为若成等比数列则若则其中为项数等比数列前项的和一元二次方程求根公式为首项为末项于三角形中任两边之和大于第三边任两边之差小于第三边角平分线三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角的平分线三角形的中线连结三角形一个顶

40、点和它对边中点的线段叫做三两边中点的线段叫做三角形的中位线内心角平分线的交点叫做内心内心到三角形三边的距离相等重心中线的交点叫做重心重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一垂线高线的交点叫做垂线三角形的一个顶点与垂心连线必垂直学习必备 欢迎下载 例 1 5位高中毕业生，准备报考 3 所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解：5 个学生中每人都可以在 3 所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有 3 种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有 33333=35(种)例 2 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少有甲型与乙型电视机各 1 台

41、，则不同的取法共有()A.140种 B.84种 C.70种 D.35种 解：抽出的 3 台电视机中甲型 1 台乙型 2 台的取法有C14C25种；甲型 2 台乙型 1 台的取法有 C24C15种 根据加法原理可得总的取法有 C24C25+C24C15=40+30=70(种)可知此题应选 C.例 3 由数字 1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数，其中小于 50 000 的 偶数共有()A.60个 B.48个 C.36个 D.24个 解 因为要求是偶数，个位数只能是 2 或 4 的排法有 P12；小于 50 000 的五位数，万位只能是 1、3 或 2、4 中剩下的一个的排法有 P13;在

42、首末两位数排定后，中间 3 个位数的排法有P33，得 P13P33P1236(个)由此可知此题应选 C.例 4 将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、2、3、4 的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解：将数字 1 填入第 2 方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 3 种，即 214 3，3142，4123；同样将数字 1 填入第 3 方格，也对应着 3 种填法；将数字 1 填入第4 方格，也对应 3 种填法，因此共有填法为 3P13=9(种).例 5 甲、乙、丙、丁四个公司承包 8 项工程，甲公司承包3 项，乙公司承包 1 项，丙、丁

43、公司各承包 2 项，问共有多少种承包方式?解：甲公司从 8 项工程中选出 3 项工程的方式 C38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有 C15种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有 C24种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的 2 项工程中选出 2 项工程的方式有 C22种.根 据 乘 法 原 理 可 得 承 包 方 式 的 种 数 有C15C24C22=1=1680(种).例 6 由数学 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有().A.210个 B.300个 C.464个 D.600个 解：先考虑

44、可组成无限制条件的六位数有多少个?应有P15P55=600 个.由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半.底数幂相乘为正整数同底数幂相除为正整数为正整数等差数列若成等差数列则若则其中为项数为首项为末项为公差等差数列前项的和等比数列为若成等比数列则若则其中为项数等比数列前项的和一元二次方程求根公式为首项为末项于三角形中任两边之和大于第三边任两边之差小于第三边角平分线三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角的平分线三角形的中线连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三两边中点的线段叫做三角形的中位线内心角平分线的交点叫做内心内心

45、到三角形三边的距离相等重心中线的交点叫做重心重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一垂线高线的交点叫做垂线三角形的一个顶点与垂心连线必垂直学习必备 欢迎下载 有600=300 个符合题设的六位数.应选 B.例 7 以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有().A.70个 B.64个 C.58个 D.52个 解：如图，正方体有 8 个顶点，任取 4 个的组合数为 C48=70个.其中共面四点分 3 类：构成侧面的有 6 组；构成垂直底面的对角面的有 2 组；形如(ADB1C1)的有 4 组.能形成四面体的有 70-6-2-4=58(组)应选 C.例 8 7人并排站成一行，如果甲、乙必须不相邻，那么

46、不同排法的总数是().A.1440 B.3600 C.4320 D.4800 解：7 人的全排列数为 P77.若甲乙必须相邻则不同的排列数为 P22P66.甲乙必须不相邻的排列数为 P77-P22P66=5P66=3600.应选 B.例 9 用 1，2，3，4，四个数字组成的比 1234 大的数共有 个(用具体 数字作答).解：若无限制，则可组成 4!=24 个四位数，其中 1234 不合题设.有 24-1=23个符合题设的数.例 10 用 0，1，2，3，4 这五个数字组成没有重复数字的四位数，那么在这些四位数中，是偶数的总共有().A.120个 B.96个 C.60 个 D.36个 解：末

47、位为 0，则有 P34=24 个偶数.末位不是 0 的偶数有 P12P13P23=36 个.共有 24+36=60个数符合题设.应选 C.公务员行测排列组合问题的七大解题策略（修正版）排列组合问题是历年公务员考试行测的必考题型，并且随着近年公务员考试越来越热门，国考中这部分题型的难度也在逐渐的加大，解题方法也趋于多样化。解答排列组合问题，必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题；同时要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，还要注意讲究一些策略和方法技巧。一、排列和组合的概念 排列：从 n 个不同元素中，任取 m 个元素(这里的被取元素各不相同)按

48、照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。组合：从 n 个不同元素种取出 m 个元素拼成一组，称为从 n 个不同元素取出 m 个元素的一个组合。二、七大解题策略 1.特殊优先法 底数幂相乘为正整数同底数幂相除为正整数为正整数等差数列若成等差数列则若则其中为项数为首项为末项为公差等差数列前项的和等比数列为若成等比数列则若则其中为项数等比数列前项的和一元二次方程求根公式为首项为末项于三角形中任两边之和大于第三边任两边之差小于第三边角平分线三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角的平分线三角形的中线连结三角形一个顶点和它对边中

49、点的线段叫做三两边中点的线段叫做三角形的中位线内心角平分线的交点叫做内心内心到三角形三边的距离相等重心中线的交点叫做重心重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一垂线高线的交点叫做垂线三角形的一个顶点与垂心连线必垂直学习必备 欢迎下载 特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑。对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。例：从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有()(A)280 种(B)240 种(C)180 种(D)96 种 正确答案：【B】解析：由

50、于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有 C(4,1)=4 种不同的选法，再从其余的 5 人中任选 3 人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有 A(5,3)=60 种不同的选法，所以不同的选派方案共有 C(4,1)A(5,3)=240种，所以选 B。2.科学分类法 问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先元素(即组合)后排列。对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生。同时明确分类后的各种情况符合加法原理，要做相加运算。例：某单位邀请 10