全国各地中考试题压轴题讲座三函数及图像与几何问题中学教育竞赛题_中学教育-中考.pdf
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1、学习必备 欢迎下载 2011年全国各地中考试题压轴题精选讲座三 函数及图像与几何问题 【知识纵横】函数(本节主要指一次函数、反比例函数)及图像与几何问题,是以函数为背景探求几何性质,这类题很重要点是利用函数的性质,解决几个主要点的坐标问题,使几何知识和函数知识有机而自然结合起来,这样,才能突破难点。但在解这类题目时,要注意方程的解与坐标关系,及坐标值与线段长度关系。【典型例题】【例 1】(山东济宁)如图,第一象限内半径为 2 的C 与y轴相切于点 A,作直径 AD,过点 D 作C 的切线 l 交x轴于点 B,P 为直线 l 上一动点,已知直线 PA的解析式为:y=kx+3。(1)设点 P 的纵
2、坐标为 p,写出 p 随 k 变化的函数关系式。(2)设C 与 PA 交于点 M,与 AB 交于点 N,则不论动点 P 处于直线 l 上(除点 B 以外)的什么位置时,都有AMN ABP。请你对于点 P 处于图中位置时的两三角形相似给予证明;(3)是否存在使AMN 的面积等于3225的 k 值?若存在,请求出符合的 k 值;若不存在,请说明理由。【思路点拨】(1)将 P 的坐标代入y=kx+3 即可。(2)要证 AMNABP,只要证 ABD AMN 即可。(3)根据(2)的结论,由相似三角形 AMN 和 ABP 的面积比,分点 P 在B 点上下方两种情况求解。学习必备 欢迎下载 【例 2】(湖
3、南怀化)在矩形 AOBC 中,OB=6,OA=4,分別以 OB,OA 所在直线为x轴和y轴,建立如图所示的平面直角坐标系 F 是 BC 上的一个动点(不与 B、C 重合),过 F 点的反比例函数(0)kykx的图象与AC 边交于点 E(1)求证:AEAO=BFBO;(2)若点 E 的坐标为(2,4),求经过 O、E、F 三点的抛物线的解析式;(3)是否存在这样的点 F,使得将CEF 沿 EF 对折后,C 点恰好落在 OB 上?若存在,求出此时的 OF 的长:若不存在,请说明理由【思路点拨】(1)根据反比例函数的性质得出xyk,即可得出 AE AO=BF BO。(2)利用 E 点坐标首先求出 B
4、F=43,再利用待定系数法求二次函数解析式即可。数反比例函数及图像与几何问题是以函数为背景探求几何性质这类题很重要点是利用函数的性质解决几个主要点的坐标问题使几何知识和函数知识有机而自然结合起来这样才能突破难点但在解这类题目时要注意方程的解与坐标关系点为直线上一动点已知直线的解析式为设点的纵坐标为写出随变化的函数关系式设与交于点与交于点则不论动点处于直线上除点以外的什么置时都有请你对于点处于图中置时的两三角形相似给予证明是否存在使的面积等于请说明理面积比分点在点上下方两种情况求解学习必备欢迎下载例湖南怀化在矩形中分別以所在直线为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系是上的一个动点不与重合过点的反比
5、例函数边交于点求证的图象与若点的坐标为求经过三点的抛物学习必备 欢迎下载 【例 3】(湖南娄底)在等腰梯形 ABCD 中,ADBC,且 AD=2,以 CD 为直径作O1,交 BC 于点 E,过点 E 作 EFAB 于 F,建立如图所示的平面直角坐标系,已知 A,B 两点的坐标分别为 A(0,23),B(2,0)(1)求 C,D 两点的坐标(2)求证:EF 为O1的切线(3)探究:如图,线段 CD 上是否存在点 P,使得线段 PC 的长度与 P 点到y轴的距离相等?如果存在,请找出 P 点的坐标;如果不存在,请说明理由 【思路点拨】(1)连接 DE。(2)连接 O1E,可证 O1E AB,再由
6、EF AB,证明 O1E EF即可。(3)过 P 作 PMy轴于 M,作 PNx轴于 N,再利用锐角三角函数定义求解。数反比例函数及图像与几何问题是以函数为背景探求几何性质这类题很重要点是利用函数的性质解决几个主要点的坐标问题使几何知识和函数知识有机而自然结合起来这样才能突破难点但在解这类题目时要注意方程的解与坐标关系点为直线上一动点已知直线的解析式为设点的纵坐标为写出随变化的函数关系式设与交于点与交于点则不论动点处于直线上除点以外的什么置时都有请你对于点处于图中置时的两三角形相似给予证明是否存在使的面积等于请说明理面积比分点在点上下方两种情况求解学习必备欢迎下载例湖南怀化在矩形中分別以所在直
7、线为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系是上的一个动点不与重合过点的反比例函数边交于点求证的图象与若点的坐标为求经过三点的抛物学习必备 欢迎下载 【例 4】(浙江金华、丽水)如图,在平面直角坐标系中,点 A(10,0),以 OA 为直径在第一象限内作半圆 C,点 B 是该半圆周上一动点,连接 OB、AB,并延长 AB 至点 D,使DB=AB,过点 D 作x轴垂线,分别交x轴、直线 OB 于点 E、F,点 E 为垂足,连接 CF(1)当AOB=30 时,求弧 AB 的长度;(2)当 DE=8 时,求线段 EF 的长;(3)在点 B 运动过程中,是否存在以点 E、C、F 为顶点的三角形与AOB 相似
8、,若存在,请求出此时点 E 的坐标;若不存在,请说明理由【思路点拨】(1)连接 BC。(2)连接 OD,证明 OEF DEA,再利用相似比求 EF。(3)当以点 E、C、F 为顶点的三角形与 AOB 相似时,分为当交点 E 在 O,C 之间时,当交点 E 在点 C 的右侧时,当交点 E 在点 O 的左侧时三种情况,分别求出 E点坐标。数反比例函数及图像与几何问题是以函数为背景探求几何性质这类题很重要点是利用函数的性质解决几个主要点的坐标问题使几何知识和函数知识有机而自然结合起来这样才能突破难点但在解这类题目时要注意方程的解与坐标关系点为直线上一动点已知直线的解析式为设点的纵坐标为写出随变化的函
9、数关系式设与交于点与交于点则不论动点处于直线上除点以外的什么置时都有请你对于点处于图中置时的两三角形相似给予证明是否存在使的面积等于请说明理面积比分点在点上下方两种情况求解学习必备欢迎下载例湖南怀化在矩形中分別以所在直线为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系是上的一个动点不与重合过点的反比例函数边交于点求证的图象与若点的坐标为求经过三点的抛物学习必备 欢迎下载 【学力训练】1、(福建泉州)如图 1,在第一象限内,直线 y=mx 与过点 B(0,1)且平行于 x 轴的直线 l 相交于点 A,半径为 r 的Q 与直线 y=mx、x 轴分别相切于点 T、E,且与直线 l 分别交于不同的 M、N 两点(
10、1)当点 A 的坐标为(33,p)时,填空:p=_,m=_,AOE=_ 如图 2,连接 QT、QE,QE 交 MN 于点 F,当 r=2 时,试说明:以 T、M、E、N 为顶点的四边形是等腰梯形;(2)在图 1 中,连接 EQ 并延长交Q 于点 D,试探索:对 m、r 的不同取值,经过 M、D、N 三点的抛物线 y=ax2+bx+c,a 的值会变化吗?若不变,求出 a 的值;若变化请说明理由。数反比例函数及图像与几何问题是以函数为背景探求几何性质这类题很重要点是利用函数的性质解决几个主要点的坐标问题使几何知识和函数知识有机而自然结合起来这样才能突破难点但在解这类题目时要注意方程的解与坐标关系点
11、为直线上一动点已知直线的解析式为设点的纵坐标为写出随变化的函数关系式设与交于点与交于点则不论动点处于直线上除点以外的什么置时都有请你对于点处于图中置时的两三角形相似给予证明是否存在使的面积等于请说明理面积比分点在点上下方两种情况求解学习必备欢迎下载例湖南怀化在矩形中分別以所在直线为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系是上的一个动点不与重合过点的反比例函数边交于点求证的图象与若点的坐标为求经过三点的抛物学习必备 欢迎下载 2、(浙江湖州)已知:在矩形AOBC中,4OB,3OA 分别以OBOA,所在直线为x轴和y轴,建立如图所示的平面直角坐标系F是边BC上的一个动点(不与BC,重合),过F点的反比例
12、函数(0)kykx的图象与AC边交于点E(1)求证:AOE与BOF的面积相等;(2)记OEFECFSSS,求当k为何值时,S有最大值,最大值为多少?(3)请探索:是否存在这样的点F,使得将CEF沿EF对折后,C点恰好落在OB上?若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由 数反比例函数及图像与几何问题是以函数为背景探求几何性质这类题很重要点是利用函数的性质解决几个主要点的坐标问题使几何知识和函数知识有机而自然结合起来这样才能突破难点但在解这类题目时要注意方程的解与坐标关系点为直线上一动点已知直线的解析式为设点的纵坐标为写出随变化的函数关系式设与交于点与交于点则不论动点处于直线上除点以外的什么置
13、时都有请你对于点处于图中置时的两三角形相似给予证明是否存在使的面积等于请说明理面积比分点在点上下方两种情况求解学习必备欢迎下载例湖南怀化在矩形中分別以所在直线为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系是上的一个动点不与重合过点的反比例函数边交于点求证的图象与若点的坐标为求经过三点的抛物学习必备 欢迎下载 3、(浙江嘉兴)如图,直角坐标系中,已知两点(0 0)(2 0)OA,点B在第一象限且OAB为正三角形,OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C,过点C的圆的切线交x轴于点D(1)求BC,两点的坐标;(2)求直线CD的函数解析式;(3)设EF,分别是线段ABAD,上的两个动点,且EF 平分四边形ABCD的
14、周长试探究:AEF的最大面积?数反比例函数及图像与几何问题是以函数为背景探求几何性质这类题很重要点是利用函数的性质解决几个主要点的坐标问题使几何知识和函数知识有机而自然结合起来这样才能突破难点但在解这类题目时要注意方程的解与坐标关系点为直线上一动点已知直线的解析式为设点的纵坐标为写出随变化的函数关系式设与交于点与交于点则不论动点处于直线上除点以外的什么置时都有请你对于点处于图中置时的两三角形相似给予证明是否存在使的面积等于请说明理面积比分点在点上下方两种情况求解学习必备欢迎下载例湖南怀化在矩形中分別以所在直线为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系是上的一个动点不与重合过点的反比例函数边交于点求证
15、的图象与若点的坐标为求经过三点的抛物学习必备 欢迎下载 4、(08杭州市)在直角梯形ABCD中,90C ,高6CDcm(如图 1)。动点,P Q同时从点B出发,点P沿,BA AD DC运动到点C停止,点Q沿BC运动到点C停止,两点运动时的速度都是1/cm s。而当点P到达点A时,点Q正好到达点C。设,P Q同时从点B出发,经过的时间为 t s时,BPQ的面积为 2y cm(如图 2)。分别以,t y为横、纵坐标建立直角坐标系,已知点P在AD边上从A到D运动时,y与t的函数图象是图 3 中的线段MN。(1)分别求出梯形中,BA AD的长度;(2)写出图 3 中,M N两点的坐标;(3)分别写出点
16、P在BA边上和DC边上运动时,y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围),并在图 3 中补全整个运动中y关于t的函数关系的大致图象。函数及图像与几何问题的参考答案【典型例题】【例 1】(山东济宁)解:(1)y 轴和直线 l 都是C 的切线,OAAD BDAD。又 OAOB,AOB=OAD=ADB=90。四边形 OADB 是矩形。C 的半径为 2,AD=OB=4。点 P 在直线 l 上,点 P 的坐标为(4,p)。又点 P 也在直线 AP 上,p=4k+3。(2)连接 DN。AD 是C 的直径,AND=90。AND=90 DAN,ABD=90 DAN,CBAD(图 1)CBADPQ(图 2)Oy
17、t30(图 3)数反比例函数及图像与几何问题是以函数为背景探求几何性质这类题很重要点是利用函数的性质解决几个主要点的坐标问题使几何知识和函数知识有机而自然结合起来这样才能突破难点但在解这类题目时要注意方程的解与坐标关系点为直线上一动点已知直线的解析式为设点的纵坐标为写出随变化的函数关系式设与交于点与交于点则不论动点处于直线上除点以外的什么置时都有请你对于点处于图中置时的两三角形相似给予证明是否存在使的面积等于请说明理面积比分点在点上下方两种情况求解学习必备欢迎下载例湖南怀化在矩形中分別以所在直线为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系是上的一个动点不与重合过点的反比例函数边交于点求证的图象与若点的
18、坐标为求经过三点的抛物学习必备 欢迎下载 AND=ABD 。又ADN=AMN,ABD=AMN。MAN=BAP AMN ABP。(3)存在。理由如下:把x=0 代入y=kx+3,得 y=3,即 OA=BD=3。AB=2222ADBD435。SABD=12AB DN=12AD DB,DN=AD DBAB=4 31255。AN2=AD2DN2=22122564()525。AMN ABP,2AMNABPSAN()APS 即22ABPAMNABP2ANANS()APAPSS。当点 P 在 B 点上方时,AP2=AD2PD2=AD2(PBBD)2=42(4k33)2=16(k21),或 AP2=AD2PD
19、2=AD2(BD PB)2=42(34k3)2=16(k21),SABP=12PB AD=12(4k3)4=2(4k3),2ABPAMN222AN2562(43)32(43)32SAP25 16(1)25(1)25Skkkk。整理得 k24k2=0,解得 k1=26,k2=26。当点 P 在 B 点下方时,AP2=AD2PD2=42(34k3)2=16(k21),SABP=12PB AD=12(4k3)4=2(4k3),2ABPAMN22AN2562(43)32SAP25 16(1)25Skk。整理得 k2+1=(4k3),解得 k=2。综合以上所得,当 k=26或 k=2 时,AMN 的面积
20、等于3225。【例 2】(湖南怀化)解:(1)证明:E,F 点都在反比例函数图象上,数反比例函数及图像与几何问题是以函数为背景探求几何性质这类题很重要点是利用函数的性质解决几个主要点的坐标问题使几何知识和函数知识有机而自然结合起来这样才能突破难点但在解这类题目时要注意方程的解与坐标关系点为直线上一动点已知直线的解析式为设点的纵坐标为写出随变化的函数关系式设与交于点与交于点则不论动点处于直线上除点以外的什么置时都有请你对于点处于图中置时的两三角形相似给予证明是否存在使的面积等于请说明理面积比分点在点上下方两种情况求解学习必备欢迎下载例湖南怀化在矩形中分別以所在直线为轴和轴建立如图所示的平面直角坐
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