一次函数复习课中学教育中考_中学教育-中学课件.pdf
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1、学习好资料 欢迎下载 一次函数复习课 知识点 1 一次函数和正比例函数的概念 若两个变量 x,y 间的关系式可以表示成 y=kx+b(k,b 为常数,k0)的形式,则称 y 是 x 的一次函数(x 为自变量),特别地,当 b=0 时,称 y是 x 的正比例函数.例如:y=2x+3,y=-x+2,y=21x 等都是一次函数,y=21x,y=-x 都是正比例函数.【说明】(1)一次函数的自变量的取值范围是一切实数,但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.(2)一次函数 y=kx+b(k,b 为常数,b0)中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同,即自变量 x 的次数为 1,
2、一次项系数 k 必须是不为零的常数,b 可为任意常数.(3)当 b=0,k0 时,y=kx 仍是一次函数.(4)当 b=0,k=0 时,它不是一次函数.知识点 2 函数的图象 把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步:列表、描点、连线 知识点 3 一次函数的图象 由于一次函数 y=kx+b(k,b 为常数,k0)的图象是一条直线,所以一次函数 y=kx+b 的图象也称为直线 y=kx+b 由于两点确定一条直线,因此在今后作一次函数图象时,只要描出适合关系式的两点,再连成直线即可,一
3、般选取两个特殊点:直线与 y 轴的交点(0,b),直线与 x 轴的交点(-kb,0).但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数 y=kx 的图象时,只要描出点(0,0),(1,k)即可.知识点 4 一次函数 y=kx+b(k,b 为常数,k0)的性质(1)k 的正负决定直线的倾斜方向;k0 时,y 的值随 x 值的增大而增大;kO时,y 的值随 x 值的增大而减小(2)|k|大小决定直线的倾斜程度,即|k|越大,直线与 x 轴相交的锐角度数越大(直线陡),|k|越小,直线与 x 轴相交的锐角度数越小(直线缓);(3)b的正、负决定直线与 y 轴交点的位置;当 b0 时,直线与 y 轴交于正半
4、轴上;当 b0 时,直线与 y 轴交于负半轴上;当 b=0 时,直线经过原点,是正比例函数(4)由于 k,b 的符号不同,直线所经过的象限也不同;学习好资料 欢迎下载 如图 1118(l)所示,当 k0,b0 时,直线经过第一、二、三象限(直线不经过第四象限);如图 1118(2)所示,当 k0,bO 时,直线经过第一、三、四象限(直线不经过第二象限);如图 1118(3)所示,当 kO,b0 时,直线经过第一、二、四象限(直线不经过第三象限);如图 1118(4)所示,当 kO,bO 时,直线经过第二、三、四象限(直线不经过第一象限)(5)由于|k|决定直线与 x 轴相交的锐角的大小,k 相
5、同,说明这两个锐角的大小相等,且它们是同位角,因此,它们是平行的另外,从平移的角度也可以分析,例如:直线 y=x1 可以看作是正比例函数 y=x 向上平移一个单位得到的 知识点 3 正比例函数 y=kx(k0)的性质(1)正比例函数 y=kx 的图象必经过原点;(2)当 k0 时,图象经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大;(3)当 k0 时,图象经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小 知识点 4 点 P(x0,y0)与直线 y=kx+b的图象的关系(1)如果点 P(x0,y0)在直线 y=kx+b 的图象上,那么 x0,y0的值必满足解析式 y=kx+b;(2)如果 x0,y0是满足
6、函数解析式的一对对应值,那么以 x0,y0为坐标的点 P(1,2)必在函数的图象上 例如:点 P(1,2)满足直线 y=x+1,即 x=1 时,y=2,则点 P(1,2)在直线 y=x+l 的图象上;点 P(2,1)不满足解析式 y=x+1,因为当 x=2时,y=3,所以点 P(2,1)不在直线 y=x+l 的图象上 知识点 5 确定正比例函数及一次函数表达式的条件(1)由于正比例函数 y=kx(k0)中只有一个待定系数 k,故只需一个条件(如一对 x,y 的值或一个点)就可求得 k 的值(2)由于一次函数 y=kx+b(k0)中有两个待定系数 k,b,需要两个独立的条件确定两个关于 k,b
7、的方程,求得 k,b 的值,这两个条件通常是两个点或两对 x,y 的值 知识点 6 待定系数法 先设待求函数关系式(其中含有未知常数系数),再根据条件列出方程(或方程组),求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法其中未知系数也叫待定系数例如:函数 y=kx+b中,k,b 就是待定系数的形式则称是的一次函数为自变量特别地当时称是的正比例函数例如等都是一次函数都是正比例函数说明一次函数的自变量的取值范围是一切实数但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定一次函数为常数中的一次和一元一次一次函数当时它不是一次函数知识点函数的图象把一个函数的自变量与所对应的的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直
8、角坐标系内描出它的对应点所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步列表描点连线知识在今后作一次函数图象时只要描出适合关系式的两点再连成直线即可一般选取两个特殊点直线与轴的殊点画正比例函数的图象时只要描出点即可知识点一次函数为常数的性质的正负决定直线的倾斜方向时的值随值的增大而增大时的学习好资料 欢迎下载 数 知识点 7 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤(1)设函数表达式为 y=kx+b;(2)将已知点的坐标代入函数表达式,解方程(组);(3)求出 k 与 b 的值,得到函数表达式 例如:已知一次函数的图象经过点(2,1)和(-1,-3)求此一次函数的关系式 解:设一次函
9、数的关系式为 ykx+b(k0),由题意可知,,3,21bkbk 解.35,34bk 此函数的关系式为 y=3534x【说明】本题是用待定系数法求一次函数的关系式,具体步骤如下:第一步,设(根据题中要求的函数“设”关系式 y=kx+b,其中 k,b 是未知的常量,且 k0);第二步,代(根据题目中的已知条件,列出方程(或方程组),解这个方程(或方程组),求出待定系数 k,b);第三步,求(把求得的 k,b 的值代回到“设”的关系式 y=kx+b 中);第四步,写(写出函数关系式).思想方法小结 (1)函数方法 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系,抽象、升华为函数的模型,进而解决
10、有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系,灵活运用函数方法可以解决许多数学问题 (2)数形结合法 数形结合法是指将数与形结合,分析、研究、解决问题的一种思想方法,数形结合法在解决与函数有关的问题时,能起到事半功倍的作用 知识规律小结 (1)常数 k,b 对直线 y=kx+b(k0)位置的影响 当 b0 时,直线与 y 轴的正半轴相交;当 b=0 时,直线经过原点;当 b0 时,直线与 y 轴的负半轴相交 当 k,b 异号时,即-kb0 时,直线与 x 轴正半轴相交;数的形式则称是的一次函数为自变量特别地当时称是的正比例函数例如等都是一次函数都是正比例函数说明一次函数的自变量的取值范
11、围是一切实数但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定一次函数为常数中的一次和一元一次一次函数当时它不是一次函数知识点函数的图象把一个函数的自变量与所对应的的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步列表描点连线知识在今后作一次函数图象时只要描出适合关系式的两点再连成直线即可一般选取两个特殊点直线与轴的殊点画正比例函数的图象时只要描出点即可知识点一次函数为常数的性质的正负决定直线的倾斜方向时的值随值的增大而增大时的学习好资料 欢迎下载 当 b=0 时,即-kb=0 时,直线经过原点;当 k,b 同号时,即-kb0 时,直线与
12、 x 轴负半轴相交 当 kO,bO时,图象经过第一、二、三象限;当 k0,b=0 时,图象经过第一、三象限;当 bO,bO时,图象经过第一、三、四象限;当 kO,b0 时,图象经过第一、二、四象限;当 kO,b=0 时,图象经过第二、四象限;当 bO,bO时,图象经过第二、三、四象限(2)直线 y=kx+b(k0)与直线 y=kx(k0)的位置关系 直线 y=kx+b(k 0)平行于直线 y=kx(k 0)当 b0 时,把直线 y=kx 向上平移 b 个单位,可得直线 y=kx+b;当 bO时,把直线 y=kx 向下平移|b|个单位,可得直线 y=kx+b(3)直线 b1=k1x+b1与直线
13、y2=k2x+b2(k10,k20)的位置关系 k1k2y1与 y2相交;2121bbkky1与 y2相交于 y 轴上同一点(0,b1)或(0,b2);2121,bbkky1与 y2平行;2121,bbkky1与 y2重合.典例剖析 基本概念题 本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系,以及构成一次函数及正比例函数的条件 例 1 下列函数中,哪些是一次函数?哪些是正比例函数?(1)y=-21x;(2)y=-x2;(3)y=-3-5x;(4)y=-5x2;(5)y=6x-21 (6)y=x(x-4)-x2.分析 本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解 解:(
14、1)(3)(5)(6)是一次函数,(l)(6)是正比例函数 例 2 当 m为何值时,函数 y=-(m-2)x32m+(m-4)是一次函数?数的形式则称是的一次函数为自变量特别地当时称是的正比例函数例如等都是一次函数都是正比例函数说明一次函数的自变量的取值范围是一切实数但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定一次函数为常数中的一次和一元一次一次函数当时它不是一次函数知识点函数的图象把一个函数的自变量与所对应的的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步列表描点连线知识在今后作一次函数图象时只要描出适合关系式的两点再连成直线即
15、可一般选取两个特殊点直线与轴的殊点画正比例函数的图象时只要描出点即可知识点一次函数为常数的性质的正负决定直线的倾斜方向时的值随值的增大而增大时的学习好资料 欢迎下载 分析 某函数是一次函数,除应符合 y=kx+b 外,还要注意条件 k0 解:函数 y=(m-2)x32m+(m-4)是一次函数,,0)2(,132mmm=-2.当 m=-2时,函数 y=(m-2)x32m+(m-4)是一次函数 小结 某函数是一次函数应满足的条件是:一次项(或自变量)的指数为 1,系数不为 0而某函数若是正比例函数,则还需添加一个条件:常数项为 0 基础知识应用题 本节基础知识的应用主要包括:(1)会确定函数关系式
16、及求函数值;(2)会画一次函数(正比例函数)图象及根据图象收集相关的信息;(3)利用一次函数的图象和性质解决实际问题;(4)利用待定系数法求函数的表达式 例 3 一根弹簧长 15cm,它所挂物体的质量不能超过 18kg,并且每挂 1kg 的物体,弹簧就伸长 0 5cm,写出挂上物体后,弹簧的长度 y(cm)与所挂物体的质量 x(kg)之间的函数关系式,写出自变量 x 的取值范围,并判断 y 是否是 x 的一次函数 分析(1)弹簧每挂 1kg 的物体后,伸长 05cm,则挂 xkg 的物体后,弹簧的长度 y 为(l5+05x)cm,即 y=15+05x(2)自变量 x 的取值范围就是使函数关系式
17、有意义的 x 的值,即 0 x18(3)由 y=15+05x 可知,y 是 x 的一次函数 解:(l)y=15+05x(2)自变量 x 的取值范围是 0 x18(3)y 是 x 的一次函数 学生做一做 乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约 600 千米,火车从乌鲁木齐出发,其平均速度为 58 千米时,则火车离库尔勒的距离 s(千米)与行驶时间 t(时)之间的函数关系式是 .老师评一评 研究本题可采用线段图示法,如图 1119 所示 火车从乌鲁木齐出发,t 小时所走路程为 58t 千米,此时,距离库尔勒的距离为 s 千米,故有 58t+s=600,所以,s=600-58t 数的形式则称是的一次函数为自变量
18、特别地当时称是的正比例函数例如等都是一次函数都是正比例函数说明一次函数的自变量的取值范围是一切实数但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定一次函数为常数中的一次和一元一次一次函数当时它不是一次函数知识点函数的图象把一个函数的自变量与所对应的的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步列表描点连线知识在今后作一次函数图象时只要描出适合关系式的两点再连成直线即可一般选取两个特殊点直线与轴的殊点画正比例函数的图象时只要描出点即可知识点一次函数为常数的性质的正负决定直线的倾斜方向时的值随值的增大而增大时的学习好资料 欢迎下载 例
19、4 某物体从上午 7 时至下午 4 时的温度 M()是时间 t(时)的函数:M=t2-5t+100(其中 t=0 表示中午 12 时,t=1 表示下午 1 时),则上午 10 时此物体的温度为 分析 本题给出了函数关系式,欲求函数值,但没有直接给出 t的具体值从题中可以知道,t=0 表示中午 12 时,t=1 表示下午 1 时,则上午 10 时应表示成 t=-2,当 t=-2 时,M=(-2)3-5(-2)+100=102()答案:102 例 5 已知 y-3 与 x 成正比例,且 x=2 时,y=7.(1)写出 y 与 x 之间的函数关系式;(2)当 x=4 时,求 y 的值;(3)当 y=
20、4 时,求 x 的值 分析 由 y-3 与 x 成正比例,则可设 y-3=kx,由 x=2,y=7,可求出k,则可以写出关系式 解:(1)由于 y-3 与 x 成正比例,所以设 y-3=kx 把 x=2,y=7 代入 y-3=kx 中,得 7-32k,k2 y 与 x 之间的函数关系式为 y-3=2x,即 y=2x+3(2)当 x=4 时,y=24+3=11(3)当 y4 时,4=2x+3,x=21.学生做一做 已知 y 与 x+1 成正比例,当 x=5 时,y=12,则 y 关于 x的函数关系式是 .老师评一评 由 y 与 x+1 成正比例,可设 y 与 x 的函数关系式为 y=k(x+1)
21、.再把 x=5,y=12 代入,求出 k 的值,即可得出 y 关于 x 的函数关系式 设 y 关于 x 的函数关系式为 y=k(x+1).当 x=5 时,y=12,12=(5+1)k,k=2 y 关于 x 的函数关系式为 y=2x+2【注意】y 与 x+1 成正比例,表示 y=k(x+1),不要误认为 y=kx+1.例 6 若正比例函数 y=(1-2m)x 的图象经过点 A(x1,y1)和点 B(x2,y2),当 x1x2时,y1y2,则 m的取值范围是()Am O Bm 0 Cm 21 Dm M 分析 本题考查正比例函数的图象和性质,因为当 x1x2时,y1y2,数的形式则称是的一次函数为自
22、变量特别地当时称是的正比例函数例如等都是一次函数都是正比例函数说明一次函数的自变量的取值范围是一切实数但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定一次函数为常数中的一次和一元一次一次函数当时它不是一次函数知识点函数的图象把一个函数的自变量与所对应的的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步列表描点连线知识在今后作一次函数图象时只要描出适合关系式的两点再连成直线即可一般选取两个特殊点直线与轴的殊点画正比例函数的图象时只要描出点即可知识点一次函数为常数的性质的正负决定直线的倾斜方向时的值随值的增大而增大时的学习好资料 欢迎下载
23、说明 y 随 x 的增大而减小,所以 1-2m O,m 21,故正确答案为 D项 学生做一做 某校办工厂现在的年产值是15 万元,计划今后每年增加 2 万元(1)写出年产值y(万元)与年数x(年)之间的函数关系式;(2)画出函数的图象;(3)求 5 年后的产值 老师评一评(1)年产值 y(万元)与年数 x(年)之间的函数关系式为 y=15+2x(2)画函数图象时要特别注意到该函数的自变量取值范围为 x0,因此,函数 y=15+2x 的图象应为一条射线 画函数y=12+5x 的图象如图 1121 所示 (3)当 x=5时,y15+25=25(万元)5 年后的产值是 25 万元 例7 已知一次函数
24、y=kx+b的图象如图1122所示,求函数表达式 分析 从图象上可以看出,它与 x 轴交于点(-1,0),与 y 轴交于点(0,-3),代入关系式中,求出 k 为即可 解:由图象可知,图象经过点(-1,0)和(0,-3)两点,代入到 y=kx+b 中,得,03,0bbk.3,3bk 此函数的表达式为 y=-3x-3.例 8 求图象经过点(2,-1),且与直线 y=2x+1 平行的一次函数的表达式 分析 图象与 y=2x+1 平行的函数的表达式的一次项系数为 2,则可设此表达式为 y=2x+b,再将点(2,-1)代入,求出 b 即可 解:由题意可设所求函数表达式为y=2x+b,图象经过点(2,-
25、1),-l=2 2+b b=-5,所求一次函数的表达式为y=2x-5.数的形式则称是的一次函数为自变量特别地当时称是的正比例函数例如等都是一次函数都是正比例函数说明一次函数的自变量的取值范围是一切实数但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定一次函数为常数中的一次和一元一次一次函数当时它不是一次函数知识点函数的图象把一个函数的自变量与所对应的的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步列表描点连线知识在今后作一次函数图象时只要描出适合关系式的两点再连成直线即可一般选取两个特殊点直线与轴的殊点画正比例函数的图象时只要描出点即可
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