数形结合的思想方法高考题选讲资格考试医药师资格考试_中学教育-高考.pdf

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1、数形结合的思想方法(2)-高考题选讲 数形结合思想是一种很重要的数学思想，数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物，华罗庚先生说过：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞.数缺形时少直观，形少数时难入微.”把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想.数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来.在使用过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因

2、此，数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化.考试中心对考试大纲的说明中强调：“在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以由 形 到 数 的转化为主.”1.注重图形的内涵与拓展，突出对数字直觉能力的考查 【例 1】图 1 有面积关系则由图 2 有体积关系：_.解：【点评】本题注重考查图形分析能力.思维方式上从平面向空间拓展，面积与体积类比，直观类比与猜想并举

3、.体现了高考题以能力立意考查注重素质的命题原则.【例 2】如图所示，已知椭圆=1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上，若 F1，F2，P是一个直角三角形的三个顶点，则点 P 到 x 轴的距离为（）.解：以为圆心以1为半径画圆，可知此圆与椭圆无交点，则12P 中12（或21）为直角，如此求出点坐标即得 yp=，故选.【点评】本题以作图直观判断为突破口，直觉与逻辑推理互动，化解析几何问题为平面几何问题，化计算为判断，在理性的高度认识问题.【例】某城市各类土地租价 y（万元）与该地段和市中心的距离 x（km）关系如图所示.其中 l1表示商业用地，l2表示工业用地，l3表示居住用地.要使

4、各类用地租金收入最高，应将工业用地划在（）.与市中心距离分别为 3km 和 5km 的圆环型区域上 .与市中心距离分别为 1km 和 4km 的圆环型区域上 .与市中心距离为km 的区域外 .与市中心距离为 5km 的区域内 解：由函数 y 的实际意义知：在区间（，）上，即在与市中心距离分别为km 和km 的圆环型区域上，工业用地的租金大于商业用地的租金和居住用地的租金，为了获取最高的租金，因此这个区域应租用给工业，故选 B.【点评】这道题考查的是阅读理解能力，提醒我们在日常的学习中，要注意训练直觉思维，养成整体观察、检索信息、把握问题实质的良好习惯.2.注重绘图，突出对动手能力和探究性学习的

5、考查 【例】设奇函数 f（x）定义域为，若当 x，时，f（x）图象如下图，则不等式 f（x）0 的解集是_.解：由奇函数的图象关于原点对称，完成 f（x）在定义域内的图象，再由 f（x）0 找出使 f（x）图象在 x 轴下方的区域，从而得到不等式 f（x）0，（x，y）xy-n0，那么点（，）（B）的充要条件是（）.m-1，n5 .m-1，n5 .m5 .m-1，n5 解：先假定点（，）在直线 2x-y+m=0 和直线 x+y-n=0上，则 m=-1，n=5.再确定两个不等式 2x-y-10和 x+y-50所共同确定的区域，平移两直线得到答案.【点评】此题考查了集合、二元一次不等式表示的区域、

6、充要条件等知识.以运动、变化、联系的观点考虑问题，变静态思维方式为动态思维方式，强调辨证思维能力.3.注重对思维的灵活性和创造性的考查【例】已知点是椭圆上的动点，1，分别是左、右焦点，为原点，则 的取值范围是（）.形的抽象研究才产生了数学这门学科才能使人们能够从不同侧面认识事物华罗庚先生说过数与形本是两依倚焉能分作两边飞数缺形时少直观形少数时难入微把数量关系的研究转化为图形性质的研究或者把图形性质的研究转化为数量学语言与直观的图形结合起来使抽象思维与形象思维结合起来在使用过程中由形到数的转化往往比较明显而由数到形的转化却需要转化的意识因此数形结合思想的使用往往偏重于由数到形的转化考试中心对考试

7、大纲的说明中强调在化为直观的几何图形问题来解决的意识而在解答题中考虑到推理论证的严密性对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法解答题中对数形结合思想的考查以由形到数的转化为主注重图形的内涵与拓展突出对数 解：此题的一种解法是：在1中，根据中线定理得：PF1+PF22P+2F1，再由椭圆定义，得到（PF1-PF）P，由 2 P2得答案.另一种解法是数形结合，根据点所处的位置对取值的影响来判断出结论.逐渐移动点到长轴端点，P 值逐渐增大，逐渐接近，当移动点到短轴端点时 PF1PF，取最小值 0.从而判断出答案为.【点评】解法二是采用极端性原则变静态思维方式为动态思维方式，把数与形

8、分别视为运动事物在某一瞬间的取值或某一瞬间的相对位置.运用动态思维方式处理、研究问题，揭示了问题的本质，体现了思维的灵活性.4.注重方法的通用性、应用性，突出能力考查 【例 7】电信局为了满足客户的不同需求，制定了 A，B 两种话费计算方案.这两种方案应付话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如下图所示（MNCD）.（1）若通话时间为 2 小时，按方案 A，B 各付话费多少元？（2）方案 B 从 500 钟以后，每分钟收费多少元？（3）通话时间在什么范围内方案 B 才会比方案 A 优惠？解：由 M（60，98），C（500，168），N（500，230）.MNCD.设这两方案的应付话费与通话时

9、间的函数关系式分别为 fA（x），fB（x），（1）通话两小时的费用分别是 116 元和 168 元.（2）由 fB（n+1）-fB（n）=0.3（n500）或由直线 CD 的斜率的实际意义知方案 B 从 500 分钟以后每分钟收费 0.3 元.（3）由图知：当 0 x60 时 fA（x）500 时 fA（x）fB（x）；当 60fB形的抽象研究才产生了数学这门学科才能使人们能够从不同侧面认识事物华罗庚先生说过数与形本是两依倚焉能分作两边飞数缺形时少直观形少数时难入微把数量关系的研究转化为图形性质的研究或者把图形性质的研究转化为数量学语言与直观的图形结合起来使抽象思维与形象思维结合起来在使用过

10、程中由形到数的转化往往比较明显而由数到形的转化却需要转化的意识因此数形结合思想的使用往往偏重于由数到形的转化考试中心对考试大纲的说明中强调在化为直观的几何图形问题来解决的意识而在解答题中考虑到推理论证的严密性对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法解答题中对数形结合思想的考查以由形到数的转化为主注重图形的内涵与拓展突出对数（x）得 x，即通话时间为（，+）时方案 B 较优惠.【评析】此题在实际问题中融入函数，直线等知识，考查了阅读理解能力，体现了在知识应用过程中对能力的考查.下面就高考中出现的一些相关题进行点评【例 8】.若方程 lg(x23xm)lg(3 x)在 x(0,3

11、)内有唯一解，求实数 m的取值范围。【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。【解】原方程变形为 30332 xxxmx 即：30212 xxm()设曲线 y1(x 2)2,x(0,3)和直线 y21m，图像如图所示。由图可知：当 1m 0 时，有唯一解，m 1;当 11m4时，有唯一解，即3m 0,m 1 或30),椭圆中心 D(2p2,0)，焦点在 x 轴上，长半轴为 2，短半轴为 1，它的左顶点为 A。问 p 在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点 A的距离等于该点到直线 L的距离？【分析】由抛物线定义，

12、可将问题转化成：p 为何值时，以 A为焦点、L 为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。【解】由已知得：a2，b1,A(p2,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有：ypxxpy22222241()，消 y 得：x2(4 7p)x(2p p24)0 所以1664p48p20,即 6p28p20，解得：p1。结合范围(p2,4+p2)内两根，设 f(x)x2(4 7p)x(2p p24)，所以p2472 p4+p2即 p0、f(4+p2)0 即 p432。形的抽象研究才产生了数学这门学科才能使人们能够从不同侧面认识事物华罗庚先生说过数与形本是两依倚焉能分作两边

13、飞数缺形时少直观形少数时难入微把数量关系的研究转化为图形性质的研究或者把图形性质的研究转化为数量学语言与直观的图形结合起来使抽象思维与形象思维结合起来在使用过程中由形到数的转化往往比较明显而由数到形的转化却需要转化的意识因此数形结合思想的使用往往偏重于由数到形的转化考试中心对考试大纲的说明中强调在化为直观的几何图形问题来解决的意识而在解答题中考虑到推理论证的严密性对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法解答题中对数形结合思想的考查以由形到数的转化为主注重图形的内涵与拓展突出对数结合以上，所以432p13。【注】本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题

14、。一般地，当给出方程的解的情况求参数的范围时可以考虑应用了“判别式法”，其中特别要注意解的范围。另外，“定义法”、“数形结合法”、“转化思想”、“方程思想”等知识都在本题进行了综合运用。【例 10】.设 a、b 是两个实数，A(x,y)|xn，ynab（nZ），B(x,y)|xm，y3m215 (m Z)，C(x,y)|x2y2144，讨论是否，使得 AB与(a,b)C同时成立。【分析】集合 A、B 都是不连续的点集，“存在 a、b，使得 AB”的含意就是“存在 a、b 使得nab3n215(n Z)有解（AB时 xnm）。再抓住主参数 a、b，则此问题的几何意义是：动点(a,b)在直线 L：

15、nxy3n215 上，且直线与圆 x2y2144 有公共点，但原点到直线 L的距离12。【解】由 AB得：nab3n215;设动点(a,b)在直线 L：nxy3n215 上，且直线与圆 x2y2144 有公共点，所以圆心到直线距离 d|315122nn3(n21412n)12 n 为整数 上式不能取等号，故 a、b 不存在。【注】集合转化为点集（即曲线），而用几何方法进行研究。此题也属探索性问题用数形结合法解，其中还体现了主元思想、方程思想，并体现了对有公共点问题的恰当处理方法。本题直接运用代数方法进行解答的思路是：由 AB得：nab3n215,即 b3n215an （式）；由(a,b)C得，

16、a2b2144（式）；把式代入式，得关于 a 的不等式：(1 n2)a22n(3n215)a(3n215)21440 （式）,它的判别式4n2(3n215)24(1 n2)(3n215)2144 36(n23)2 因为 n 是整数，所以 n230,因而0,故式不可能有实数解。所以不存在 a、b，使得 AB与(a,b)C同时成立【例 11】已知 f（x）=ax+b，2a2+6b2=3，证明对任意 x，恒有 f（x）.【点拨】从等式 2a2+6b2=3 联想到几何图形：椭圆.于是一个好解法出现了.形的抽象研究才产生了数学这门学科才能使人们能够从不同侧面认识事物华罗庚先生说过数与形本是两依倚焉能分作

17、两边飞数缺形时少直观形少数时难入微把数量关系的研究转化为图形性质的研究或者把图形性质的研究转化为数量学语言与直观的图形结合起来使抽象思维与形象思维结合起来在使用过程中由形到数的转化往往比较明显而由数到形的转化却需要转化的意识因此数形结合思想的使用往往偏重于由数到形的转化考试中心对考试大纲的说明中强调在化为直观的几何图形问题来解决的意识而在解答题中考虑到推理论证的严密性对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法解答题中对数形结合思想的考查以由形到数的转化为主注重图形的内涵与拓展突出对数 这是本题的一个优美解，从等式的外形联想到构造一个几何图形，思维在数和形的天地里驰骋.【例 12

18、】设 p=（log2x）2（t-2）log2x+1-t，当 t，时恒有 p0，求 x 的范围.【点拨】初读，无论如何与图形挂不起钩来，但 t 的范围不是确定了吗？而且发现 p 是关于 t 的一次函数.这个发现好极了，一次函数的图象太简单了，于是按 t 降幂排列：p=f（t）=（log2x-1）t+log22x-2log2x+1，t，时 p0 恒成立（如图 2），f（）0 且 f（）0，x8 或 0 x.简捷吧？数与形和谐地统一，使得问题真正化繁为简了.【例 13】设 x1，求点（x+，x-）与点（，）之间的距离的最小值.【点拨】是个动点，这个动点在坐标平面上的轨迹图形是什么呢？令 z=x+，y

19、=x-，则 y2-z2=-4（z2）.这个表达式太熟悉了，它的图象是双曲线的一支.用不着画出图形来，在脑子里做想像，我们准确地判断min=1.【点拨】机敏的读者一下子发现了一个熟悉的图形：椭圆.这样，思路纳入了解析几何的轨道，下面的解法，当然与解析几何紧密地联系在一起了.如图所示，设椭圆的长轴为 2a，焦距为 2c，【例 14】形的抽象研究才产生了数学这门学科才能使人们能够从不同侧面认识事物华罗庚先生说过数与形本是两依倚焉能分作两边飞数缺形时少直观形少数时难入微把数量关系的研究转化为图形性质的研究或者把图形性质的研究转化为数量学语言与直观的图形结合起来使抽象思维与形象思维结合起来在使用过程中由

20、形到数的转化往往比较明显而由数到形的转化却需要转化的意识因此数形结合思想的使用往往偏重于由数到形的转化考试中心对考试大纲的说明中强调在化为直观的几何图形问题来解决的意识而在解答题中考虑到推理论证的严密性对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法解答题中对数形结合思想的考查以由形到数的转化为主注重图形的内涵与拓展突出对数 丰富的想像，是数向形转化的前提，外形的启发，是构造图象的直接提示.数形结合，既有它的优越性又有其局限性，它决非放之四海而皆准，只有那些因为数形结合而使得解答简捷的问题，我们才选用.【点拨】读完题目与任何一个图形似乎很难联系起来，我们在对已知条件的分析中，去寻觅解

21、题的灵感.a2a-b，即为 ba-a2.要证那么 a 与 k 如何取得联系呢？今这样一来，一个二次函数的图形出现了，它对解题有帮助吗？二次函数 g（a）的图象的对称轴为 a=，而 k2，则 g（a）在 0a上单调递增，又 bg（a），在分析已知条件时找到了一个能够帮助我们解决问题的图形，而正是这个图形的启示，以后的思路畅通无阻了.数形结合，发生在解题过程中的任何时刻，我们绝不是刻意地去追求或精心地去构造直观的几何图形，而这个在解题时十分有用的直观图往往总是在对问题透彻了解之后突然出现的，这就是解题中的灵感.【例 15】形的抽象研究才产生了数学这门学科才能使人们能够从不同侧面认识事物华罗庚先生说过数与形本是两依倚焉能分作两边飞数缺形时少直观形少数时难入微把数量关系的研究转化为图形性质的研究或者把图形性质的研究转化为数量学语言与直观的图形结合起来使抽象思维与形象思维结合起来在使用过程中由形到数的转化往往比较明显而由数到形的转化却需要转化的意识因此数形结合思想的使用往往偏重于由数到形的转化考试中心对考试大纲的说明中强调在化为直观的几何图形问题来解决的意识而在解答题中考虑到推理论证的严密性对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法解答题中对数形结合思想的考查以由形到数的转化为主注重图形的内涵与拓展突出对数