重点高一物理竞赛讲义八——平衡的种类中学教育竞赛题_中学教育-高中教育.pdf

《重点高一物理竞赛讲义八——平衡的种类中学教育竞赛题_中学教育-高中教育.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《重点高一物理竞赛讲义八——平衡的种类中学教育竞赛题_中学教育-高中教育.pdf（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、欢迎共阅 一般物体的平衡问题 物体的平衡又分为随遇平衡、稳定平衡和不稳定平衡三种 一、稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩使物体返回平衡位置，这样的平衡叫做稳定平衡如图 11（a）中位于光滑碗底的小球的平衡状态就是稳定的 二、不稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩能使这种偏离继续增大，这样的平衡叫做不稳定平衡，如图 11(b)中位于光滑的球形顶端的小球，其平衡状态就是不稳定平衡 三、随遇平衡：如果在物体离开平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，它在新的位置上仍处于平衡，这样的平衡叫做随遇平衡，如图 11（c）中位于光滑水平板上的小球的平衡状态就是随遇的 从能量

2、方面来分析：物体系统偏离平衡位置，势能增加者，为稳定平衡；物体系统偏离平衡位置，减少者为不稳定平衡；物体系统偏离平衡位置，不变者，为随遇平衡 如果物体所受的力是重力，则稳定平衡状态对应重力势能的极小值，亦即物体的重心有最低的位置 不稳定平衡状态对应重力势能的极大值，亦即物体的重心有最高的位置 随遇平衡状态对应于重力势能为常值，亦即物体的重心高度不变 类型一、物体平衡种类的问题一般有两种方法解题，一是根据平衡的条件从物体受力或力矩的特征来解题，二是根据物体发生偏离平衡位置后的能量变化来解题。例 1有一玩具跷板，如图 12 所示，试讨论它的稳定性（不考虑杆的质量）分析和解：假定物体偏离平衡位置少许

3、，看其势能变化是处理此类问题的主要手段之一，本题要讨论其稳定性，可假设系统发生偏离平衡位置一个角，则：在平衡位置，系统的重力势能为 当系统偏离平衡位置角时，如图 1 一3 所示，此时系统的重力势能为()coscos()coscoEmg Llmg Ll 故只有当cosLl时，才是稳定平衡 例 2如图 14 所示，均匀杆长为 a，一端靠在光滑竖直墙上，另一端靠在光滑的固定曲面上，且均处于 Oxy 平面内如果要使杆子在该平面内为随遇平衡，试求该曲面在Oxy 平面内的曲线方程 分析和解：本题也是一道物体平衡种类的问题，解此题显然也是要从能量的角度来考虑问题，即要使杆子在该平面内为随遇平衡，须杆子发生偏

4、离时起重力势能不变，即杆子的质心不变，yC为常量。又由于 AB 杆竖直时12Cya，那么 B 点的坐标为 消去参数得 类型二、物体系的平衡问题的最基本特征就是物体间受力情况、平衡条件互相制约，情况复杂欢迎共阅 解题时一定要正确使用好整体法和隔离法，才能比较容易地处理好这类问题。例 3三个完全相同的圆柱体，如图 1一 6 叠放在水平桌面上，将 C 柱放上去之前，A、B 两柱体之间接触而无任何挤压，假设桌面和柱体之间的摩擦因数为0，柱体与柱体之间的摩擦因数为，若系统处于平衡，0与必须满足什么条件？分析和解：这是一个物体系的平衡问题，因为 A、B、C 之间相互制约着而有单个物体在力系作用下处于平衡，

5、所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。设每个圆柱的重力均为 G，首先隔离 C球，受力分析如 图 1 一 7 所示，由Fcy0 可得 11312()22NfG 再隔留A球，受力分析如图1一8所示，由FAy=0 得 11231022NfNG 由FAx=0 得 21131022fNN 由EA0 得 12f Rf R 由以上四式可得 112NG，232NG 而202fN，11fN 0233，23 类型三、物体在力系作用下的平衡问题中常常有摩擦力，而摩擦力 Ff与弹力FN的合力凡与接触面法线方向的夹角不能大于摩擦角，这是判断物体不发生滑动的条件在解题中经常用到摩擦角的概念 例 4如图 1 一 8 所示

6、，有两根不可伸长的柔软的轻绳，长度分别为1l和2l，它们的下端在 C 点相连接并悬挂一质量为 m 的重物，上端分别与质量可忽略的小圆环 A、B 相连，圆环套在圆形水平横杆上A、B 可在横杆上滑动，它们与横杆间的动摩擦因数分别为1和2，且12ll。试求1和2在各种取值情况下，此系统处于静态平衡时两环之间的距离 AB。分析和解：本题解题的关键是首先根据物体的平衡条件，分析小环的受力情况得出小环的平衡条件fNFF，由图 19 可知sintancosfTNTFFFF 定义tan，为摩擦角，在得出摩擦角的概念以后，再由平衡条件成为 展开讨论则解此题就方便多了。时发生的合力或合力矩使物体返回平衡位置这样的

7、平衡叫做稳定平衡如图中位于光滑碗底的小球的平衡状态就是稳定的二不稳定平衡如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩能使这种偏离继续增大这样的平衡叫做不稳定平衡或力矩不发生变化它在新的位置上仍处于平衡这样的平衡叫做随遇平衡如图中位于光滑水平板上的小球的平衡状态就是随遇的从能量方面来分析物体系统偏离平衡位置势能增加者为稳定平衡物体系统偏离平衡位置减少者为不稳定平物体的重心有最低的位置不稳定平衡状态对应重力势能的极大值亦即物体的重心有最高的位置随遇平衡状态对应于重力势能为常值亦即物体的重心高度不变类型一物体平衡种类的问题一般有两种方法解题一是根据平衡的条件从物体欢迎共阅 即由tantan 情况 1：

8、BC 绳松弛的情况 1=00，不论1、2为何值，一定平衡。情况 2：二绳均张紧的情况（图 110）A环不滑动的条件为：11，即111tantan 于是有 又由图 111 知 所以，若要 A 端不滑动，AB 必须满足 22111112222211sin 1sin11llABlll 根据对称性，只要将上式中的下角标1、2 对调，即可得出 B 端不滑动时，AB 必须满足的条件为：222221222211llABl 如果系统平衡，两式必须同时满足。从式可以看出，1可能取任意正值和零，当1=0 时，AB 只能取最小值2221ll，此时1=0，2l拉直但无张力。从式可以看出2的取值满足222211ll 否

9、则 AB 无解，222211ll时，AB 取最小值2221ll。综上所述，AB 的取值范围为：情况 1：2l松弛22210ABll，1、2为任意非负数。情况 2：2l张紧2221llAB 两式右边较小的，1为任意非负数，222211ll。类型四、一般物体平衡条件的问题主要又分为刚体定轴转动平衡问题和没有固定转动轴的刚体转动平衡问题，这类问题要按一般物体平衡条件来处理，即要么既要考虑力的平衡，又要考虑力矩平衡来求解；要么就要考虑以哪点为转动轴或哪点先动的问题。例 5质量分别为 m 和 M 的两个小球用长度为l的轻质硬杆连接，并按图 1一 11 所示位置那样处于平衡状态杆与棱边之间的摩擦因数为，小

10、球 m与竖直墙壁之间的摩擦力可以不计为使图示的平衡状态不被破坏，参数 m、M、l、a和应满足什么条件？分析和解：本题是一道典型的刚体定轴转动平衡问题，解题时对整体进行受力分析，但物体的平衡不是共点力的平衡，处理时必须用正交分解法，同时还要考虑力矩的平衡，受力分析如图，根据力的平衡条件可列出：时发生的合力或合力矩使物体返回平衡位置这样的平衡叫做稳定平衡如图中位于光滑碗底的小球的平衡状态就是稳定的二不稳定平衡如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩能使这种偏离继续增大这样的平衡叫做不稳定平衡或力矩不发生变化它在新的位置上仍处于平衡这样的平衡叫做随遇平衡如图中位于光滑水平板上的小球的平衡状态就是随

11、遇的从能量方面来分析物体系统偏离平衡位置势能增加者为稳定平衡物体系统偏离平衡位置减少者为不稳定平物体的重心有最低的位置不稳定平衡状态对应重力势能的极大值亦即物体的重心有最高的位置随遇平衡状态对应于重力势能为常值亦即物体的重心高度不变类型一物体平衡种类的问题一般有两种方法解题一是根据平衡的条件从物体欢迎共阅 cossin()mNFMm g 1sincosmNNF 根据力矩平衡条件可写出：coscosNaMgl 杆不滑动的条件为 FmFN2,又因为 Ff1=Ff2,所以一定是 2z 处比 1 处容易移动,再来比较 2 处和 O处.(1)如果是 2 处先移动,必有 Ff2=FN2,代入式,可得tan

12、2,将此结果代入式,即有 在这种情况下,如要 Ff3时发生的合力或合力矩使物体返回平衡位置这样的平衡叫做稳定平衡如图中位于光滑碗底的小球的平衡状态就是稳定的二不稳定平衡如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩能使这种偏离继续增大这样的平衡叫做不稳定平衡或力矩不发生变化它在新的位置上仍处于平衡这样的平衡叫做随遇平衡如图中位于光滑水平板上的小球的平衡状态就是随遇的从能量方面来分析物体系统偏离平衡位置势能增加者为稳定平衡物体系统偏离平衡位置减少者为不稳定平物体的重心有最低的位置不稳定平衡状态对应重力势能的极大值亦即物体的重心有最高的位置随遇平衡状态对应于重力势能为常值亦即物体的重心高度不变类型一物

13、体平衡种类的问题一般有两种方法解题一是根据平衡的条件从物体欢迎共阅 FN3,必须有 杆要能搁在柱上，当然要tan2RRl 因此在22(1)(1)tan2RRRll 时,=2arctan。（2）如果是 0处先移动，必有 Ff3=FN3，代入式，可有 12cos(1tan)tan22Rl 满足式的即为平衡时的，这时要求 Ff2FN2，须有 综上所述 当2211RRl 时，=2arctan。当2211Rl 时，应满足12cos(1tan)tan22Rl。三、小试身手 如图所示，用长为R的细直杆连结两个小球 A、B，它们的质量分别为 m 和 2m，置于光滑的、半径为 R的半球形碗内，达到平衡时，半球面

14、的球心与 B 球的连线与竖直方向间的夹角的正切为（）（A）1 （B）1/2 （C）1/3 （D）1/4 1如图 113 所示，长为 L 的均匀木杆AB,重量为 G，系在两根长均为 L 的细绳的两端，并悬挂于 O 点，在 A、B两端各挂一重量分别为G1、G2的两物，求杆 AB 处于平衡时，绳 OA 与竖直方向的夹角 1解：以OAB 整体为研究对象，并以 O为转动轴，其受力情况如图所示，设OA 与竖直线夹角为，OC与竖直线夹角为，因为OAB 为等边三角形，C 为AB 边的中点，所以01302AOCAOB，030 ，即030，03sin602OCLL，03sinsin(30)2CFOCL，00cos

15、(60)cos(30)BDLL，sinAEL，以 O 为转动轴，则由刚体的平衡条件0M 可知12GAEG CFGBD，即00123sinsin(30)cos(30)2G LGLG L 展开后整理得：2123(2tan432GGGGG A B 时发生的合力或合力矩使物体返回平衡位置这样的平衡叫做稳定平衡如图中位于光滑碗底的小球的平衡状态就是稳定的二不稳定平衡如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩能使这种偏离继续增大这样的平衡叫做不稳定平衡或力矩不发生变化它在新的位置上仍处于平衡这样的平衡叫做随遇平衡如图中位于光滑水平板上的小球的平衡状态就是随遇的从能量方面来分析物体系统偏离平衡位置势能增加者

16、为稳定平衡物体系统偏离平衡位置减少者为不稳定平物体的重心有最低的位置不稳定平衡状态对应重力势能的极大值亦即物体的重心有最高的位置随遇平衡状态对应于重力势能为常值亦即物体的重心高度不变类型一物体平衡种类的问题一般有两种方法解题一是根据平衡的条件从物体欢迎共阅 所以，AB 处于平衡时，绳 OA 与竖直方向的夹角为 一足够长的斜面，最高点为 O 点，有一长为 l1.00 m、质量为 m 0.50 kg 且质量分布均匀木条 AB，A端在斜面上，B 端伸出斜面外斜面与木条间的摩擦力足够大，以致木条不会在斜面上滑动在木条 A端固定一个质量为 M2.00 kg 的重物（可视为质点），B 端悬挂一个质量为 m

17、0.50 kg的重物若要使木条不脱离斜面，OA 的长度需满足什么条件？画出均匀木条的受力情况图。解：设 G 为木条重心，由题意可知 当木条 A 端刚刚离开斜面时，受力情况如图所示（2分）由中的分析可知，若满足 cosMg OAcoscosmg OBmg OG（6 分）木条就不会脱离斜面。解得：OA0.25 m（2分）长度为 L 的相同的砖块平放在地面上，上面一块相对于下面一块伸出 L/4，如图所示，试问，最多可以堆几块砖刚好不翻到？1、图示 A、B 分别是固定墙上的两个相同的钉子，一根长 2L，质量为 m，质量分布均匀的细杆搁在两钉子间处于静止状态，开始时 AB 间距离为 2/3L，杆的上端恰

18、好在 A 点，且杆与水平方向的夹角为30。（1）求 A、B 两点上受到的弹力。（2）如果让钉子 A 不动，钉子 B 以 A 为圆心绕 A 慢慢地逆时针转动，当转过 15时，杆刚好开始向下滑动。求杆与钉子间的滑动摩擦系数是多少？（3）如果细杆与水平方向保持 30不变，钉子 B 沿着杆方向向下改变位置，则 B 移动到距 A 多大距离处时，杆不再能保持平衡？X=3232L=0.928L 2一长为 L 的均匀薄板与一圆筒按图 114 所示放置，平衡时，板与地面成角，圆筒与薄板相接触于板的中心 板与圆筒的重量相同均为 G若板和圆筒与墙壁之间无摩擦，求地面对板下端施加的支持力和静摩擦力 解：如图所示，圆筒

19、所受三个力沿水平和竖直方向平衡的分量式为 1sin0NNFF，cos0NFG 板所受五个力沿水平和竖直方向平衡的分量式为 板所受各力对圆筒和板的交点为转动轴的力矩平衡方程为 根据牛顿第三定律，有NNFF 联立以上各式，可解得地面对板的支持力和静摩擦力分别为 FN3=2G，12fFG（cot-tan）3如图 115，两把相同的均匀梯子 AC和 BC，由 C 端的铰链连起来，组成人字形梯子，下端 A 和 B 相距 6m，C端离水平地面 4m，总重200N，一人重 600N，由（画受力图）A B O G B 30 A 时发生的合力或合力矩使物体返回平衡位置这样的平衡叫做稳定平衡如图中位于光滑碗底的小

20、球的平衡状态就是稳定的二不稳定平衡如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩能使这种偏离继续增大这样的平衡叫做不稳定平衡或力矩不发生变化它在新的位置上仍处于平衡这样的平衡叫做随遇平衡如图中位于光滑水平板上的小球的平衡状态就是随遇的从能量方面来分析物体系统偏离平衡位置势能增加者为稳定平衡物体系统偏离平衡位置减少者为不稳定平物体的重心有最低的位置不稳定平衡状态对应重力势能的极大值亦即物体的重心有最高的位置随遇平衡状态对应于重力势能为常值亦即物体的重心高度不变类型一物体平衡种类的问题一般有两种方法解题一是根据平衡的条件从物体欢迎共阅 B 端上爬，若梯子与地面的静摩擦因数0.6，则人爬到何处梯子就要滑

21、动？解：进行受力分析，如图所示，把人和梯子看成一个整体，整个系统处于平衡状态：AB=6m，CD=4m，AC=BC=5m 设人到铰链 C 的距离为l 满足0F，0M 所以12ACBCNNGGGFF 整理后：12400NNFFN，2.5lm 所以人在爬到梯子中点处时梯子就要滑动 2、塔式起重机的结构如图所示，设机架重P400kN，悬臂长度为 L10 m，平衡块重 W200kN，平衡块与中心线 OO/的距离可在 1 m 到 6 m 间变化，轨道 A、B 间的距离为 4 m。当平衡块离中心线 1 m，右侧轨道对轮子的作用力 fB是左侧轨道对轮子作用力 fA的2 倍，问机架重心离中心线的距离是多少？当起

22、重机挂钩在离中心线 OO/10 m 处吊起重为 G100kN 的重物时，平衡块离 OO/的距离为 6 m，问此时轨道 B 对轮子的作用力 FB时多少？解：空载时合力为零：600 kNABffPW 已知：fB2fA求得：fA200kNfB400kN 设机架重心在中心线右侧，离中心线的距离为 x，以 A为转轴，力矩平衡4(21)(2)BfWPx 求得：x1.5 m 以 A为转轴，力矩平衡 求得：FB450kN 5 7如图 119 所示，有六个完全相同的长条薄片 AiBi(i=1,2,.6)依次架在水平碗口上，一端搁在碗口、另一端架在另一薄片的正中位置（不计薄片的质量）将质量为 m 的质点置于 A1

23、A6的中点处，试求 A1B1薄片对 A6B6的压力 7解：本题中六个物体，其中通过分析可知 A1B1、A2B2、A3B3、A4B4、A5B5的受力情况完全相同，因此将A1B1、A2B2、A3B3、A4B4、A5B5作为一类，对其中一个进行受力分析、找出规律，求出通式即可 以第i个薄片AB 为研究对象，受力情况如图 1所示，第i个薄片受到前一个薄片向上的支持力NiF、碗边 向上的支持力和后一个薄片向下的压力1NiF选碗边 机架 平衡块 挂钩 轮子 轨道 2m 2m L O O/时发生的合力或合力矩使物体返回平衡位置这样的平衡叫做稳定平衡如图中位于光滑碗底的小球的平衡状态就是稳定的二不稳定平衡如果

24、在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩能使这种偏离继续增大这样的平衡叫做不稳定平衡或力矩不发生变化它在新的位置上仍处于平衡这样的平衡叫做随遇平衡如图中位于光滑水平板上的小球的平衡状态就是随遇的从能量方面来分析物体系统偏离平衡位置势能增加者为稳定平衡物体系统偏离平衡位置减少者为不稳定平物体的重心有最低的位置不稳定平衡状态对应重力势能的极大值亦即物体的重心有最高的位置随遇平衡状态对应于重力势能为常值亦即物体的重心高度不变类型一物体平衡种类的问题一般有两种方法解题一是根据平衡的条件从物体欢迎共阅 B 点为轴，根据力矩平衡有12NiNiLFLF，得12NiNiFF 所以512361111()2222N

25、NNNFFFF 再以A6B6为研究对象，受力情况如图2 所示，A6B6受到 薄片 A5B5向上的支持力 FN6、碗边向上的支持力和后一 个薄片 A1B1向下的压力 FN1、质点向下的压力 mg。选 B6点为轴，根据力矩平衡有 由联立，解得142NmgF 所以 A1B1薄片对 A6B6的压力为42mg 时发生的合力或合力矩使物体返回平衡位置这样的平衡叫做稳定平衡如图中位于光滑碗底的小球的平衡状态就是稳定的二不稳定平衡如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩能使这种偏离继续增大这样的平衡叫做不稳定平衡或力矩不发生变化它在新的位置上仍处于平衡这样的平衡叫做随遇平衡如图中位于光滑水平板上的小球的平衡状态就是随遇的从能量方面来分析物体系统偏离平衡位置势能增加者为稳定平衡物体系统偏离平衡位置减少者为不稳定平物体的重心有最低的位置不稳定平衡状态对应重力势能的极大值亦即物体的重心有最高的位置随遇平衡状态对应于重力势能为常值亦即物体的重心高度不变类型一物体平衡种类的问题一般有两种方法解题一是根据平衡的条件从物体