数学高二上沪教版数列的实际应用题学生版小学教育小学考试_中学教育-高中教育.pdf

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1、年 级：高二 辅导科目：数学 课时数：3 课 题 数列的实际应用题 教学目的 能够利用数列通过建模解决一些常见的实际问题，如平均增长率、复利、人口增长、工作效率等问题。教学内容【知识梳理】1数列实际应用题常见的数学模型（1）复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为 a 元，每期利率为 r，存期为 x 期，则本利和 y=.（2）产值模型 原来产值的基数为 N，平均增长率为 p，对于时间 x 的总产值 y=.（3）单利公式 利用按单利计算，本金为 a 元，每期利率为 r，存期为 x，则本利和 y=.（4）递推与猜证型 递推型有 an+1=f(an)与 Sn+1=f(Sn)或 Sn=f(an)类，

2、猜证型主要是写出前若干项，猜测结论，并用数学归纳法加以证明.【典型例题分析】一、有关等差数列的应用题 例 1、由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生 60100 万难民，联合国难民署计划从 4 月 1 日起为伊难民运送食品.第一天运送 1000 t，第二天运送 1100 t，以后每天都比前一天多运送 100 t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减 100 t，连续运送 15 天，总共运送 21300 t，求在第几天达到运送食品的最大量.例 2、在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两种加工资的方案。第一种方案是每年年末（12 月底）加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上

3、再增加 1000 元；第二种方案是每半年（6 月底和 12 月底）各加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加 300 元，请选择一种.根据上述条件，试问：（1）如果你将在该公司干十年，你将选择哪一种加工资的方案？（说明理由）（2）如果第二种方案中的每半年加 300 元改成每半年加 a 元，那么 a 在什么范围内取值时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪？例 3、下表给出一个“等差数阵”：4 7（）（）（）a1j 7 12（）（）（）a2j （）（）（）（）（）a3j （）（）（）（）（）a4j ai1 ai2 ai3 ai4 ai5 aij 其中每行、每列都是等差数列，

4、aij表示位于第 i 行第 j 列的数.（1）写出 a45的值；（2）写出 aij的计算公式；（3）证明：正整数 N 在该等差数阵中的充要条件是 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积.变式练习：甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走 2 m，以后每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙每分钟走 5 m.(1)甲、乙开始运动后，几分钟后第 1 次相遇?（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m，乙继续每分钟走 5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？平均增长率复利人口增长工作效率等问题教学内容知识梳理数列实际应用题常见的数学模

5、型复利公式按复利计算利息的一种储蓄本金为元每期利率为存期为期则本利和产值模型原来产值的基数为平均增长率为对于时间的总产值单利项猜测结论并用数学归纳法加以证明典型例题分析一有关等差数列的应用题例由于美伊战争的影响据估计伊拉克将产生万难民联合国难民署计划从月日起为伊难民运送食第一天运送第二天运送以后每天都比前一天多运送直到达到运题目是老板给你两种加工资的方案第一种方案是每年年末月底加薪一次每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加元第二种方案是每半年月底和月底各加薪一次每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加元请 二、有关等比数列的应用题 例 1、某市 2008 年底有住房面积 12

6、00 万平方米，计划从 2008 年起，每年拆除 20 万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的 5%.（1）分别求 2008 年底和 2009 年底的住房面积；（2）求 2027 年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到 0.01）例 2、据某城市 2002 年末所作的统计资料显示，到 2002 年末，该城市堆积的垃圾已达 50 万吨，侵占了大量的土地，并且成为造成环境污染的因素之一.根据预测，从 2003 年起该城市还将以每年 3 万吨的速度产生新的垃圾，垃圾的资源化和回收处理已经成为该市城市建设中的重要问题.（1）假设 1992 年底该城市堆积的垃圾为

7、10 万吨，从 1993 年到 2002 年这十年中，该城市每年产生的新垃圾以8%的年平均增长率增长，试求 1993 年该城市产生的新垃圾约有多少万吨？（精确到 0.01，参考数据：1.08102.159）（2）如果从 2003 年起，该市每年处理上年堆积垃圾的 20%，现有 b1表示 2003 年底该市堆积的垃圾数量，b2表示 2004 年底该市堆积的垃圾数量bn表示 2002+n 年底该城市堆积的垃圾数量，求 b1；试归纳出 bn的表达式（不用证明）；计算nlimbn，并说明其实际意义.变式练习 1：某林厂年初有森林木材存量 S m3，木材以每年 25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木

8、材量 x m3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加 50%，则 x 的值是 A.32S B.34S C.36S D.38S 变式练习 2：从 2004 年 1 月 2 日起，每年 1 月 2 日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为 p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到 2010 年 1 月 1 日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数平均增长率复利人口增长工作效率等问题教学内容知识梳理数列实际应用题常见的数学模型复利公式按复利计算利息的一种储蓄本金为元每期利率为存期为期则本利和产值模型原来产值的基数为平均增长率为对于时间的总产值单利项猜测结论并用数学归纳法加

9、以证明典型例题分析一有关等差数列的应用题例由于美伊战争的影响据估计伊拉克将产生万难民联合国难民署计划从月日起为伊难民运送食第一天运送第二天运送以后每天都比前一天多运送直到达到运题目是老板给你两种加工资的方案第一种方案是每年年末月底加薪一次每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加元第二种方案是每半年月底和月底各加薪一次每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加元请为_万元.变式练习 3：某工厂去年产值为 a，计划在今后 5 年内每年比上年产值增加 10%，则从今年起到第 5 年，这个厂的总产值为_.变式练习 4：从盛满 a L（a1）纯酒精容器里倒出 1 L，然后再用水填满，再倒出

10、 1 L 混合溶液后，再用水填满，如此继续下去，问第九次、第十次共倒出多少纯酒精.变式练习 5：有一序列图形 P1,P2,P3.已知 P1是边长为 1 的等边三角形，将 P1的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得 P2，.，将 Pk-1的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得 Pn试分别求 Pn的周长 Cn和面积 Sn.三、有关递推的应用题 例 1、2010 年底某县的绿化面积占全县总面积的 40%，从 2003 年开始，计划每年将非绿化面积的 8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的 2%被非绿化

11、.（1）设该县的总面积为 1，2010 年底绿化面积为 a1=104，经过 n 年后绿化的面积为 an+1，试用 an表示 an+1；（2）求数列an的第 n+1 项 an+1；平均增长率复利人口增长工作效率等问题教学内容知识梳理数列实际应用题常见的数学模型复利公式按复利计算利息的一种储蓄本金为元每期利率为存期为期则本利和产值模型原来产值的基数为平均增长率为对于时间的总产值单利项猜测结论并用数学归纳法加以证明典型例题分析一有关等差数列的应用题例由于美伊战争的影响据估计伊拉克将产生万难民联合国难民署计划从月日起为伊难民运送食第一天运送第二天运送以后每天都比前一天多运送直到达到运题目是老板给你两种

12、加工资的方案第一种方案是每年年末月底加薪一次每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加元第二种方案是每半年月底和月底各加薪一次每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加元请 例 2、据报道，我国森林覆盖率逐年提高，现已达国土面积的 14%，某林场去年底森林木材储存量为a立方米，若树林以每年 25%的增长率生长，计划从今年起，每年冬天要砍伐的木材量为x立方米，为了实现经过 20 年木材储存量翻两番的目标，问每年砍伐的木材量x的最大值是多少？【课堂小练】一、稀释溶液 化工厂的某容器的容积为3,Vcm装满了浓度为 100%的纯酒精，现欲使其稀释，从中倒 出110后用清水兑满，再从中倒出1

13、10，又用清水兑满，为此反复进行了n次，所得的溶液浓度为多少？欲使浓度不超过 50%，至少要进行多少次操作？平均增长率复利人口增长工作效率等问题教学内容知识梳理数列实际应用题常见的数学模型复利公式按复利计算利息的一种储蓄本金为元每期利率为存期为期则本利和产值模型原来产值的基数为平均增长率为对于时间的总产值单利项猜测结论并用数学归纳法加以证明典型例题分析一有关等差数列的应用题例由于美伊战争的影响据估计伊拉克将产生万难民联合国难民署计划从月日起为伊难民运送食第一天运送第二天运送以后每天都比前一天多运送直到达到运题目是老板给你两种加工资的方案第一种方案是每年年末月底加薪一次每次所加的工资数是在上次所

14、加工资数的基础上再增加元第二种方案是每半年月底和月底各加薪一次每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加元请 二、定期复利存款问题 某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从 1998 年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到 2008 年年初将所有存款和利息全部取出，共取回多少元？三、分期付款的方案 据经济日报报道，记者采访建设部侯部长，谈工薪阶层购房问题，侯部长说：“造价每平方米1 000元左右，还可以采取个人购房抵押贷款的方式，解决一次性付款有困难的问题，比如首先支付 40%的房款，剩下的分 10 年还清。”若职工小李年初向银行贷款 2 万元用于购房，购房贷款

15、的年利率优惠为 10%，按复利计算，若这笔借款要求分10 次等额归还，每年 1 次，并从借款后次年初开始归还，问每年应还多少元（精确到 1 元）？平均增长率复利人口增长工作效率等问题教学内容知识梳理数列实际应用题常见的数学模型复利公式按复利计算利息的一种储蓄本金为元每期利率为存期为期则本利和产值模型原来产值的基数为平均增长率为对于时间的总产值单利项猜测结论并用数学归纳法加以证明典型例题分析一有关等差数列的应用题例由于美伊战争的影响据估计伊拉克将产生万难民联合国难民署计划从月日起为伊难民运送食第一天运送第二天运送以后每天都比前一天多运送直到达到运题目是老板给你两种加工资的方案第一种方案是每年年末

16、月底加薪一次每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加元第二种方案是每半年月底和月底各加薪一次每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加元请 四、贷款经营 有一个个体户，一月初向银行贷款10 000元作为启动资金开店，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需要交纳所得税为该月利润的 10%，每月的生活费开支为 300 元，余额作为资金全部投入下个月的经营，如此继续，问到这年年底这个个体户有多少资金？若贷款的年利息为 25%，问这个个体户还清银行贷款后纯收入多少元？【课堂总结】1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也

17、常归结为数列建模问题.2.将实际问题转化为数列问题时应注意：（1）分清是等差数列还是等比数列；（2）分清是求 an还是求 Sn，特别要准确地确定项数 n.3.解应用题的关键是建立数学模型，转化为数学问题，要加强培养学生的转化意识.4.分期付款问题要弄清付款方式，不同方式抽象出的数学模型则不一样.5.“等额还款方式”采用“双向储蓄”的方法比较简便.6.强化转化思想、方程思想的应用.【课后练习】1.一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成三角形，逐层每边增加一个花盆，若第 n 层与第 n+1 层花盆总数分别为 1f nf n和，则 1f nf n和的关系为（）平均增长率复利人口增长工作效率等问

18、题教学内容知识梳理数列实际应用题常见的数学模型复利公式按复利计算利息的一种储蓄本金为元每期利率为存期为期则本利和产值模型原来产值的基数为平均增长率为对于时间的总产值单利项猜测结论并用数学归纳法加以证明典型例题分析一有关等差数列的应用题例由于美伊战争的影响据估计伊拉克将产生万难民联合国难民署计划从月日起为伊难民运送食第一天运送第二天运送以后每天都比前一天多运送直到达到运题目是老板给你两种加工资的方案第一种方案是每年年末月底加薪一次每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加元第二种方案是每半年月底和月底各加薪一次每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加元请A 11f nf nn B

19、1f nf nn C 12f nf nn D 11f nf n 2.某工厂去年产值为a，计划在今年后 5 年内每年比上半年产值增加 10%，则从今年起到第 5 年，这个厂的总产值为_ 3从盛满 1aL a 纯酒精容器里倒出 1L，然后再用水填满，再倒出 1L 混合液后，再用水填满，如此继续下去，问第九次、第十次共倒出_纯酒精。4.假设你在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：每年年末加 1000 元；每半年结束时加 300 元。请你选择：（1）如果在公司干 10 年，问两种方案各加薪多少元？（2）对你而言，若选择两者之一，你会选哪一种？5.某市 2003 共有 1 万辆燃油型公交车，有

20、关部门计划于 2004 年投入 128 辆电力型公交车，随后电力公交车每年的投入比上一年增加 50%，试问：（1）该市在 2010 年应该投入多少电力型公交车？（2）到哪一年低，电力型公交车的数量开始超过该市公共车总量的13？6.据某城市 2002 年末所作的统计资料显示，到 2002 年末，该城市堆积的垃圾已达 50 万吨，侵占了大量的土地，并且成为造成环境污染的因素之一。根据预测，从 2003 年起，该城市还将以每年 3 万吨的速度产生新的垃圾，垃圾的资源化和回收处理已经成为该市城市建设中的重要问题。（1）假设 1992 年底该城市堆积的垃圾为 10 万吨，从 1993 年到 2002 年

21、这十年中发，该城市每年产生的新垃圾以 8%的年平均增长率增长，试求 1993 年该城市产生的新垃圾约有多少万吨？（精确到 0.01）（2）如果从 2003 年起，该市每年处理上年堆积垃圾的 20%，现有1b表示 2002+n 年底该城市堆积的垃圾数量，求1b；试归纳出nb的表达式（不用证明）；计算limnnb，并说明其实际意义。7.容器 A中有浓度为 12%的食盐水 300g，容器 B中有浓度为 6%的食盐水 300g，现约定完成以下工作程序叫做一次操作：从 A,B 两个容器中同时各取 100g溶液，然后将 A中取出的溶液注入 B中，将 B中取出的溶液注入 A中，并搅拌。（1）经过一次操作后，

22、A,B 容器中的食盐水的浓度各为多少？（2）经过 n 次操作后，A,B 容器中的食盐水的浓度各为多少？8.假设某市 2004 年新建住房 400 万2m，其中有 250 万2m是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房平均增长率复利人口增长工作效率等问题教学内容知识梳理数列实际应用题常见的数学模型复利公式按复利计算利息的一种储蓄本金为元每期利率为存期为期则本利和产值模型原来产值的基数为平均增长率为对于时间的总产值单利项猜测结论并用数学归纳法加以证明典型例题分析一有关等差数列的应用题例由于美伊战争的影响据估计伊拉克将产生万难民联合国难民署计划从月日起为伊难民运送食第一天运送第二天运送以后

23、每天都比前一天多运送直到达到运题目是老板给你两种加工资的方案第一种方案是每年年末月底加薪一次每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加元第二种方案是每半年月底和月底各加薪一次每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加元请面积平均比上一年新建住房面积增长 8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年中低价房的面积增加50 万2m，那么，到哪一年低，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（2004 年为第一年）将首次不少于 4750 万2m？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%9 在某古运河上建有许多形状相同的抛物线形拱桥0,1,2,nA n，经

24、测量知相邻两座桥1,nnA A之间的距离为na满足800150(),1,2,3,nan m n，每年无汛期、这些拱桥当水面距拱桥顶 5m时，桥洞水面宽 8m，而每年汛期，船翁都要考虑拱桥的通行问题，一只装有防汛器材的船，露出水面部分的宽为 4m，高为34m，（1）要使该船能顺利通过拱桥，试问水面距桥拱顶的高度至少几米？（2）已知河水每小时上涨 0.15m，船在静水中的的速度为 0.4ms，水流速度为 0.25 ms，若船从0A桥起锚顺水航行时，河水开始上涨，试问船将在哪一座桥可能受阻？10.由市场调查可知：某公司生产的一种产品，如果不做广告宣传且每件获利a元，那么销售量为b件；如果做广告宣传且

25、每件售价不变，那么，广告费用n千元比广告费用 1n千元时的销售量多12nb件nN（1）试写出销售量nS与n的函数关系式；（2）当10,4000ab时，公司应作几千元广告，销售量为多少件时，才能使广告费用用后的获利最大？平均增长率复利人口增长工作效率等问题教学内容知识梳理数列实际应用题常见的数学模型复利公式按复利计算利息的一种储蓄本金为元每期利率为存期为期则本利和产值模型原来产值的基数为平均增长率为对于时间的总产值单利项猜测结论并用数学归纳法加以证明典型例题分析一有关等差数列的应用题例由于美伊战争的影响据估计伊拉克将产生万难民联合国难民署计划从月日起为伊难民运送食第一天运送第二天运送以后每天都比

26、前一天多运送直到达到运题目是老板给你两种加工资的方案第一种方案是每年年末月底加薪一次每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加元第二种方案是每半年月底和月底各加薪一次每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加元请 平均增长率复利人口增长工作效率等问题教学内容知识梳理数列实际应用题常见的数学模型复利公式按复利计算利息的一种储蓄本金为元每期利率为存期为期则本利和产值模型原来产值的基数为平均增长率为对于时间的总产值单利项猜测结论并用数学归纳法加以证明典型例题分析一有关等差数列的应用题例由于美伊战争的影响据估计伊拉克将产生万难民联合国难民署计划从月日起为伊难民运送食第一天运送第二天运送以后每天都比前一天多运送直到达到运题目是老板给你两种加工资的方案第一种方案是每年年末月底加薪一次每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加元第二种方案是每半年月底和月底各加薪一次每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加元请