数学背景中的概率问题中学教育中考_中学教育-教学研究.pdf

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1、 已录用。登记编号：2010-995 数学背景中的概率问题 湖北省黄冈市浠水实验中学 郭一鸣（特级教师）蔡德宏 邮编:438200 电话:131*以数学知识为背景的概率问题，把“概率”与其它数学知识巧妙融合在一起，这种命题设计不仅灵活考查了概率的不同求法，还有效考查了学生对其它数学知识的理解和运用能力，是近年来数学中考中的一种创新题型，本文分类举例析评如下，供学习参考。一、数式中的“概率”例 1、（宜宾）已知数据：1/3，其中无理数出现的概率是（）A、20%B、40%C、60%D、80%【简析】共有 5 个数，其中 都是无理数，所以 P（出现无理数）=3/5=60%，故选 C。【点评】本题把“

2、数的概念”与“概率”融合在一起，既考查了概率的求法，又考查了学生对无理数的识别能力。例 2、（咸宁）有四张卡片（形状、大小和质地都相同），正面分别写有字母 A、B、C、D和一个算式。将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张。（1）用画树形图或列表法表示抽取两张卡片可能出现的所有情况（卡片可用A、B、C、D表示）（2）分别求抽取的两张卡片上的算式都正确的概率和只有一个算式正确的概率。第二次抽 取的卡片 【简析】（1）根据题意，列表表示抽取两张卡片可能出现的所有结果：第一次抽 取的卡片 A B C D A （A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D

3、）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（2）因为在上表列举的 12 种结果中，（B，D）和（D，B）两种表示两张卡片上的算式都正确，（A，B），（A，D），（B，A），（B，C），（C，B），背景的概率问题把概率与其它数学知识巧妙融合在一起这种命题设计不仅灵活考查了概率的不同求法还有效考查了学生对其它数学知识的理解和运用能力是近年来数学中考中的一种创新题型本文分类举例析评如下供学习参考一数式数的概念与概率融合在一起既考查了概率的求法考查了学生对无理数的识别能力例咸宁有四张卡片形状大小和质地都相同正面分别写有字母和一个算式将这四张卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张不放回

4、接着再随机抽取一张用画树和只有一个算式正确的概率第二次抽取的卡片简析根据题意列表表示抽取两张卡片可能出现的所有结果第一次抽取的卡片因为在上表列举的种结果中和两种表示两张卡片上的算式都正确种表示两张卡片上的算式只有一个正确所以两（C，D），（D，A），（D，C）8 种表示两张卡片上的算式只有一个正确，所以 P（两张卡片上的算式都正确）=2/12=1/6，P（两张卡片上的算式只有一个正确）=8/12=2/3.【点评】本题把“数式的运算”与“概率”融合在一起，既考查了概率的求法，又考查了学生对数式运算错误的诊断能力。二、方程中的“概率”例 3、（泸州）有 A、B两个黑布袋，A布袋中有四个除标号外完全

5、相同的小球，小球上分别标有数字 0、1、2、3，B布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字 0、1、2。小明先从 A布袋中随机取出一个小球，用 m表示取出的球上标有的数字，再从 B布袋中随机取出一个小球，用 n 表示取出的球上标有的数字。（1）若用（m，n）表示小明取球时 m与 n 的对应值，请画出树状图并写出（m，n）的所有取值。（2）求关于 的一元二次方程 有实数根的概率。【简析】（1）根据题意，画树状图：背景的概率问题把概率与其它数学知识巧妙融合在一起这种命题设计不仅灵活考查了概率的不同求法还有效考查了学生对其它数学知识的理解和运用能力是近年来数学中考中的一种创新题型本文分

6、类举例析评如下供学习参考一数式数的概念与概率融合在一起既考查了概率的求法考查了学生对无理数的识别能力例咸宁有四张卡片形状大小和质地都相同正面分别写有字母和一个算式将这四张卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张不放回接着再随机抽取一张用画树和只有一个算式正确的概率第二次抽取的卡片简析根据题意列表表示抽取两张卡片可能出现的所有结果第一次抽取的卡片因为在上表列举的种结果中和两种表示两张卡片上的算式都正确种表示两张卡片上的算式只有一个正确所以两由树状图可知，（m,n）有 12 种不同的取值结果：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，

7、0），（3，1），（3，2）。（2）由原方程知 ，当 m，n 的对应值为（1，0），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）时，原方程有实数根，所以 P（方程 有实数根）=【点评】本题把“一元二次方程”与“概率”融合在一起，既考查了概率的求法，又考查了学生对一元二次方程的根的判别能力。三、函数中的“概率”例 4、（济南）如图所示，有 3 张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其他均相同。将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的 k，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表达式中的

8、 b。（1）写出 k 为负数的概率；（2）求一次函数 背景的概率问题把概率与其它数学知识巧妙融合在一起这种命题设计不仅灵活考查了概率的不同求法还有效考查了学生对其它数学知识的理解和运用能力是近年来数学中考中的一种创新题型本文分类举例析评如下供学习参考一数式数的概念与概率融合在一起既考查了概率的求法考查了学生对无理数的识别能力例咸宁有四张卡片形状大小和质地都相同正面分别写有字母和一个算式将这四张卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张不放回接着再随机抽取一张用画树和只有一个算式正确的概率第二次抽取的卡片简析根据题意列表表示抽取两张卡片可能出现的所有结果第一次抽取的卡片因为在上表列举的种结果中和两种表示两

9、张卡片上的算式都正确种表示两张卡片上的算式只有一个正确所以两的图象经过二、三、四象限的概率。（用树状图或列表法求解）。【简析】（1）易知 P（k 为负数）=2/3。（2）根据题意，列表表示 k，b 所有可能的取值情况：b k-1-2 3-1 （-1，-2）（-1，3）-2（-2，-1）（-2，3）3（3，-1）（3，-2）因为在上表列举的 6 种情况中，能满足一次函数 的图象经过第二、三、四象限，即 的的情况有两种，所以 P（一次函数 的图象经过第二、三、四象限）=2/6=1/3。【点评】本题把“一次函数”与“概率”融合在一起，既考查了概率的求法，又考查了学生对一次函数的图象和性质的理解能力。

10、四、几何中的“概率”例 5、（宁德）在学习“轴对称现象”内容时，王老师让同学们寻找身边的轴对称图形，小明有一副三角尺和一个量角器（如图所示）（1）略 （2）略 背景的概率问题把概率与其它数学知识巧妙融合在一起这种命题设计不仅灵活考查了概率的不同求法还有效考查了学生对其它数学知识的理解和运用能力是近年来数学中考中的一种创新题型本文分类举例析评如下供学习参考一数式数的概念与概率融合在一起既考查了概率的求法考查了学生对无理数的识别能力例咸宁有四张卡片形状大小和质地都相同正面分别写有字母和一个算式将这四张卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张不放回接着再随机抽取一张用画树和只有一个算式正确的概率第二次抽取的

11、卡片简析根据题意列表表示抽取两张卡片可能出现的所有结果第一次抽取的卡片因为在上表列举的种结果中和两种表示两张卡片上的算式都正确种表示两张卡片上的算式只有一个正确所以两（3）小红也有同样的一副三角尺和一个量角器，若他们分别从自己这三件文具中随机取出一件，则可以拼成一个轴对称图案的概率是多少？（请画树状图或列表计算）【简析】（3）根据题意，画树状图：由树状图可知，一共有 9 种结果：（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），其中能拼成轴对称图案的结果有 5 种：（A，A），（B，B），（C，C），（B，C），（C，B），所以P（两件

12、文具可以拼成一个轴对称图案）=5/9。【点评】本题把“轴对称图形”与“概率”融合在一起，既考查了概率的求法，又考查了学生对轴对称图形的理解和动手操作能力。例 6、（江西）在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：。小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张。请结合图形解答下列两个问题：背景的概率问题把概率与其它数学知识巧妙融合在一起这种命题设计不仅灵活考查了概率的不同求法还有效考查了学生对其它数学知识的理解和运用能力是近年来数学中考中的一种创新题型本文分类举例析评如下供学习参考一数式数的概念与概率融合

13、在一起既考查了概率的求法考查了学生对无理数的识别能力例咸宁有四张卡片形状大小和质地都相同正面分别写有字母和一个算式将这四张卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张不放回接着再随机抽取一张用画树和只有一个算式正确的概率第二次抽取的卡片简析根据题意列表表示抽取两张卡片可能出现的所有结果第一次抽取的卡片因为在上表列举的种结果中和两种表示两张卡片上的算式都正确种表示两张卡片上的算式只有一个正确所以两（1）（略）（2）请你用树状图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果（用序号表示），并求以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使 不能构成等腰三角形的概率。后抽取的 纸片序号 【简析】（2）根据题意，列表表

14、示抽取两张卡片上的等式所有可能出现的结果：先抽取的 纸片序号 （,）（,）（,）(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)因为在上表列举的 12 种结果中，以（,），(,)，(,)，(,)4种结果为条件，使 不能构成等腰三角形，所以 P（使 不能构成等腰三角形）=4/12=1/3。背景的概率问题把概率与其它数学知识巧妙融合在一起这种命题设计不仅灵活考查了概率的不同求法还有效考查了学生对其它数学知识的理解和运用能力是近年来数学中考中的一种创新题型本文分类举例析评如下供学习参考一数式数的概念与概率融合在一起既考查了概率的求法考查了学生对无理数的识别能力例咸宁有四张卡片形状大小和质地都相

15、同正面分别写有字母和一个算式将这四张卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张不放回接着再随机抽取一张用画树和只有一个算式正确的概率第二次抽取的卡片简析根据题意列表表示抽取两张卡片可能出现的所有结果第一次抽取的卡片因为在上表列举的种结果中和两种表示两张卡片上的算式都正确种表示两张卡片上的算式只有一个正确所以两【点评】本题把“等腰三角形”与“概率”融合在一起，既考查了概率的求法，又考查了学生对等腰三角形知识的运用能力。背景的概率问题把概率与其它数学知识巧妙融合在一起这种命题设计不仅灵活考查了概率的不同求法还有效考查了学生对其它数学知识的理解和运用能力是近年来数学中考中的一种创新题型本文分类举例析评如下供学习参考一数式数的概念与概率融合在一起既考查了概率的求法考查了学生对无理数的识别能力例咸宁有四张卡片形状大小和质地都相同正面分别写有字母和一个算式将这四张卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张不放回接着再随机抽取一张用画树和只有一个算式正确的概率第二次抽取的卡片简析根据题意列表表示抽取两张卡片可能出现的所有结果第一次抽取的卡片因为在上表列举的种结果中和两种表示两张卡片上的算式都正确种表示两张卡片上的算式只有一个正确所以两