计量08数分（3）.A卷-解答.docx

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1、中国计量学院200892010学年第1学期数学分析(3)课程试卷(A)参考答案及评分标准开课二级学院：理学院，学生班级：08数学1、信算1、2, 教师：罗先发一、计算(每题8分,共40分):1、求下列曲面在所示点处的切平面与法线：y-e2x-z=0,在点(1,1,2)；解 令 F(x,y9z) = y-e2x-z,则 Fv(1,1,2) = -2, Fy (1,1,2) = 1, F: (1,1,2) = 1)4 分故切平面方程为2(x l) + (y l) + (z 2) = 0,即 2xy z + l = 0.2分x 1 法线方程为-=y 1 = z 2。2分-2_2、L(/ + y2)5

2、ds,其中L是以原点为中心、H为半径的右半圆周；解右半圆周的参数方程为：7T7Tx - Heos。, y = Rsin 9.( =所截取的部分; JJs/ + z-在 S 上，x2 + z2= a2,故原式=Jis 5ds= 271ah = haa5、设/(%) =16”/分，求/(.2厂厂 2 2。63解 f(x) = (2孙2)dy + e-x -2x-e-xf.V2 r 2 26-2xj y1 x dy + 2xeA二、（第一小题6分，第二小题4分，共10分）:1、设平面区域。由x轴、x = l和y = x围成.作极坐标变换，试讲化为不同顺序的累次积分.71八f rsecO71=J。用(

3、cos a原式=4 46 （）/（rcos 8/sin 0）rdrSin山 + :可乙”cos 仇 rsin 0)rdr.r1 2-y22、改变累次积分顺序： dx f（x,y）dy.原式=三、求表面积一定而体积最大的长方体.（12分）解 设长方体的长、宽、高分别为羽y,z,表面积为。25。）.2分、2设 L(x, y,z, A)= xyz + A2(xy + yz + xz)-a ,Lx = yz + 2A(y + z) = 0,Lv = xz + 22(x + z) = 0, 4分L_ = xy + 22(x + y) = 0,La = 2(xy + yz + xz)-a1 = 0,aV6

4、.故表面积一定而体积最大的长方体是正立方体.四、求圆锥z =旧+ /在圆柱体工2 + /4X内那部分的面积.（10分）XV解 4= / 22/=/ 224 分次+产次+ y2故 AS = jJl + z； + z： dxdy2 分= V2 A5 =71五、验证下列积分与路线无关，并求它们的值:J(0,0)(2xcosy-y sinx)dx + (2ycosx-x siny)dy.（10 分）解 因为 P(x, y) = 2xcos y- y sinx, Q(x.y) = 2ycosx-x sin y.=-2%sin y - 2y sin8 = -2y sin x - 2xsin y,dydx所

5、以理二k.从而该积分与路线无关. 2分dy dx原式二J。2xdx +J。(2ycosa-2 sin y)dy = b2 cos6z + 6z2cosZ7.4分六、计算曲面积分：x2dydz + y2dzdx + z2cbcdy ,其中S是锥面/ + 丁 = z?与平面 z = /z所围空间区域（0z/z）的表面，方向取外侧.（10分）解由高斯公式,原式=2 jjj (x + y + z)dxdydz v(x+ y + z)dzx 一”)dxdy= 2ff (x + y)-信 + y2) + ! (/ -=2r(cos + sin) (/z-r) + (/i2 -r2) rdr=4乃1(/z2- r2)rdr = Tih4.2 _ 2七、证明：含参量积分一VT办在（-8,+ 8）上一致收敛.（8分）JI （ +y ） .证 一-7 -7V Vxe(-oo,+oo),(f + y2)-厂+,2 y-办收敛,故由M判别发知，原含参积分关于X（-00,+ 00）一致收敛.