2015年北京高考理科数学真题及答案.docx

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1、2015年北京高考理科数学真题及答案本试卷共5页，150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1复数ABCD【答案】A【解析】i（2i）12i【难度】容易【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章复数中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。2若，满足则的最大值为A0B1CD2【答案】D【解析】可行域如图所示目

2、标直线的斜率为，易知在（0，1）处截距取得最大值，此时z4【难度】容易【点评】本题考查分段函数值域求解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第二章函数有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。3执行如图所示的程序框图，输出的结果为ABCD【答案】B【解析】程序运行过程如下表所示x10-2-4y1220k0123s0-2-4t22故输出结果为（4，0）【难度】容易【点评】本题算法初步。在高二数学（理）强化提高班上学期，第一章算法初步有详细讲解，其中第02讲有完全相似的题目。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对程序框图题目相关的总结讲解。4设，是两个不同的平面，

3、是直线且“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】两平面平行，则一平面内的任意一条直线与另一平面平行，故“”是“”的必要条件若“”，“”不一定成立，反例如下图所示【难度】容易【点评】本题考查立体几何中点到直线的距离问题。在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第一章立体几何有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对立体几何相关知识的总结讲解。5某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A B C D5【答案】C【解析】例题图形如下图所示：过P点做AB的垂线交AB于点D，所以表面积【难度】容易【点评】本题考查圆的综合知识。在高

4、一数学强化提高班下学期课程讲座2，第三章圆锥曲线与方程有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班、百日冲刺班中均有对圆椭圆、双曲线、抛物线相关知识的总结讲解，同时高清课程平面解析几何专题也有圆的专题讲解。6设是等差数列. 下列结论中正确的是A若，则 B若，则C若，则 D若，则【答案】C【解析】当d0， a1a3（a2d）（a2d）a22d2 a22a22d2 【难度】容易【点评】本题考查等比数列的性质。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第二章数列有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对数列相关知识的总结讲解。7如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是A BC D【答案】C【解析

5、】如图，x1时，f（x）log2（x1） f（x）log2（x1）解集为（1，1，需要注意，log2（x1）定义域不包含1，故选C【难度】一般【点评】本题考查分段函数值域求解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第二章函数有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。8汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米

6、/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】A问的是纵坐标最大值B消耗1升油甲走最远，则反过来路程相同甲最省油C此时甲走过了80千米，消耗8升汽油D80km/h以下丙“燃油效率”更高，更省油所以选择D【难度】一般【点评】本题考查概率、期望、方差的计算。在高二数学（理）强化提高班下学期，第六章概率有详细讲解，其中第04讲主要讲解“高考中的概率题”，有完全相似题目的讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9在的展开式中，的系数为（用数字作答）【答案】40【解析】中的项为所以系数为

7、40【难度】容易【点评】本题考查二项式的意义。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第九章排列、组合、二项式有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对概率、排列、组合相关知识的总结讲解，同时包含概率与立体几何相结合的综合题目。10已知双曲线的一条渐近线为，则【答案】【解析】渐近线为所以有，有双曲线的方程得b1，且a0.所以 【难度】容易【点评】本题考查双曲线的渐近线方程。在高二数学（理）强化提高班，第六章圆锥曲线与方程中有详细讲解，其中在第02讲有相似题目的详细讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对圆锥曲线相关知识的总结讲解。11在极坐标系中，点到直线的距离为【答案】1【解析】点

8、对应的直角坐标系为点，极坐标方程对应的直角坐标方程为，根据点到直线的距离公式12在中，则【答案】1【解析】由余弦定理可得由正弦定理和二倍角公式可得，【难度】一般【点评】本题考查解三角形及三角函数综合题。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第一章解三角形应用问题有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对解三角形相关知识的总结讲解。13在中，点，满足，若，则；【答案】【解析】【难度】中等【点评】本题考查向量的计算问题。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第六章平面向量有详细讲解，其中第01讲，有向量计算问题的专题讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对向量相关知识的总结讲解，在百日

9、冲刺班有向量与三角函数综合类型题目的讲解。14设函数若，则的最小值为；若恰有2个零点，则实数的取值范围是【答案】 1； 1/2a1或a2【解析】当a1时，14（x1）（x2）4（x1.5）211当x1.5时最小为1 若函数在x1时与x轴有一个交点，所以a0，并且当x1时，所以0a2，函数有一个交点，所以2a1且a1，所以1/2a1若函数与x轴没有交点，有两个交点，当a0，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍）；当h（1）2a时，a2，g（x）的两个交点为x1a，x22a都是满足题意的，综上所述，a的取值范围是1/2a1或a2【难度】一般【点评】本题考查分段函数值域求解。在高

10、一数学强化提高班上学期课程讲座1，第二章函数有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。三、解答题（共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15（本小题13分）已知函数() 求的最小正周期；() 求在区间上的最小值【答案】【解析】（1） f（x）的最小周期T2/12（2） x0 在区间上的最小值为【难度】容易【点评】本题考查分段函数值域求解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第二章章函数有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。16（本小题13分），两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录

11、如下：组：10，11，12，13，14，15，16组：12，13，15，16，17，14，假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙() 求甲的康复时间不少于14天的概率；() 如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；() 当为何值时，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）【答案】（1）；（2）；（3）a11或a8.【解析】（1）（2）当a25时，假设乙的康复时间为12天，则符合题意的甲有13天、14天、15天、16天共4人；乙的康复时间为13天，则符合题意的甲有14天、15天、16天共3人；乙的康复时间为14天，则符合题意的甲有15天

12、、16天共2人；乙的康复时间为15天，则符合题意的甲有16天共1人；乙的康复时间为其他值时，由于甲的最大康复时间为16天，均不合题意所以符合题意的甲、乙选择方式共：432110种所有甲、乙组合情况共因为任何组合情况都是等可能的，故（3）a11或a8.根据数据平移和调整顺序不影响方差易得【难度】中等【点评】本题考查概率、期望、方差的计算。在高二数学（理）强化提高班下学期，第六章概率有详细讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。17（本小题14分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为的中点() 求证：；() 求二面角的余弦值；() 若平面，求的值【答案】【解析】

13、（1） AEF是等边三角形，O为EF的中点 AOEF又 平面AEF平面EFCB，且平面AEF平面EFCBEF AO平面EBCF AOBE（2）取CB的中点D，连接OD如图分别以OE，OD，OA为x，y，z轴建立直角坐标系设平面AEF的法向量为平面AEB的法向量所以所以FAEB二面角的余弦值因为FAEB二面角为钝二面角，所以余弦值为（3）由（1）知AO面FEBC AOBE若BE平面AOC仅需BEOC由（2）得，解得a2（舍）或【难度】中等【难度】较难【点评】本题考查立体几何中垂直关系的证明及计算二面角等。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第四章立体几何，高二数学（理）强化提高班上学期，第七章

14、空间向量与立体几何有详细讲解，有完全相似的题目剖析。在高考精品班数学（理）强化提高班、寒假特训班中有对立体几何相关知识的总结讲解。18（本小题13分）已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求证：当时，；（）设实数使得对恒成立，求的最大值【答案】【解析】（1），x（1，1），所以切线方程为y2x（2）原命题等价于设函数，当时，函数F（x）在上是单调递增的，因此（3） ，函数是单调递增，显然成立当k2时，令x（0，x0）x0（x0，1）t（x）0t（x）极小值，显然不成立由此可知k的最大值为2【难度】稍难【点评】本题考查分段函数值域求解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第二章函数有详细讲解

15、，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。19（本小题14分）已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点（）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由【答案】【解析】椭圆过， b21离心率 椭圆方程为 直线PA的方程为，直线PA与x轴交于M，令y0，则 （2） 直线PB的方程为，直线PB与x轴交于N，令y0，则 设Q（0，y0） ， 存在点，使【难度】稍难【点评】本题考查在抛物线的简单性质。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第三章圆锥曲线与方程有详细讲解

16、，在高考精品班数学（理）强化提高班、百日冲刺班中均有对圆锥曲线、解三角形相关知识的总结讲解。20（本小题13分）已知数列满足：，且记集合（）若，写出集合的所有元素；（）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；（）求集合的元素个数的最大值【答案】（1）M6，12，24；（2）略；（3）8【解析】（1）a16，a212，a324，a42243612，M6，12，24（2）用反证法证明a1是3的倍数否则若a1不是3的倍数，用归纳法证明所有的an都不是3的倍数n1时，a1不是3的倍数，假设nk时，ak不是3的倍数，对于nk1，ak12ak或2ak36都不是3的倍数，则所有的an都不

17、是3的倍数，这与an中存在一个数是3的倍数矛盾因此a1是3的倍数，于是a22a1或2a136是3的倍数，以此类推，所有的an都是3的倍数（3）M的元素个数的最大值为8首先，M中的元素都不超过36，由a136，易得a236，类似可得an36其次，M中的数最多除了前面两个数外，都是4的倍数因为第二个数肯定是偶数，由an定义可知第三个数及其后面的数肯定是4的倍数再次，M中的数除以9的余数，由定义式可知，an1与2an除以9的余数一样 若an中有3的倍数，由（2）可知，所有的an都是3的倍数，所以，an除以9的余数为3，6，3，6，或者6，3，6，3，或0，0，0，而除以9余3且是4的倍数只有12，除

18、以9余6且是4的倍数只有24，除以9余0且是4的倍数只有36，则M中的数从第三项起最多2项，加上前面两项最多4项an中没有3的倍数，则an都不是3的倍数，对于a3除以9的余数，只能是1，4，7，2，5，8中的一个，从a3起，an除以9的余数，只能是1，2，4，8，7，5，1，2，4，8，7，5，不断6项循环的（可能是从2，4，8，7或5开始），而除以9的余数是1，2，4，8，7，5且是4的倍数（36）只有28，20，4，8，16，32，所以M中的项加上前面两项最多8项易知，a11时，M1，2，4，8，16，32，28，20项数为8，所以M的元素最多个数为8【难度】难【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章集合和高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第二章数列中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）