2014广西高考文科数学真题及答案.docx

《2014广西高考文科数学真题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014广西高考文科数学真题及答案.docx（18页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2014广西高考文科数学真题及答案一、选择题（本大题共12小题,每小题5分）1（5分）设集合M=1,2,4,6,8,N=1,2,3,5,6,7,则MN中元素的个数为（）A2B3C5D72（5分）已知角的终边经过点（4,3）,则cos=（）ABCD3（5分）不等式组的解集为（）Ax|2x1Bx|1x0Cx|0x1Dx|x14（5分）已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）ABCD5（5分）函数y=ln（+1）（x1）的反函数是（）Ay=（1ex）3（x1）By=（ex1）3（x1）Cy=（1ex）3（xR）Dy=（ex1）3（xR）6（5分）已知,为单位向

2、量,其夹角为60,则（2）=（）A1B0C1D27（5分）有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有（）A60种B70种C75种D150种8（5分）设等比数列an的前n项和为Sn若S2=3,S4=15,则S6=（）A31B32C63D649（5分）已知椭圆C:+=1（ab0）的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若AF1B的周长为4,则C的方程为（）A+=1B+y2=1C+=1D+=110（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为（）AB16C9D11（5分）双曲线C:=1

3、（a0,b0）的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于（）A2B2C4D412（5分）奇函数f（x）的定义域为R,若f（x+2）为偶函数,且f（1）=1,则f（8）+f（9）=（）A2B1C0D1二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13（5分）（x2）6的展开式中x3的系数是（用数字作答）14（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是15（5分）设x,y满足约束条件,则z=x+4y的最大值为16（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线,若l1与l2的交点为（1,3）,则l1与l2的夹角的正切值等于三、解答题17（10分）数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2

4、an+1an+2（）设bn=an+1an,证明bn是等差数列；（）求an的通项公式18（12分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B19（12分）如图,三棱柱ABCA1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,ACB=90,BC=1,AC=CC1=2（）证明:AC1A1B；（）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1ABC的大小20（12分）设每个工作日甲,乙,丙,丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立（）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（）实验室计划购买k台

5、设备供甲,乙,丙,丁使用,若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1,求k的最小值21（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a0）（）讨论f（x）的单调性；（）若f（x）在区间（1,2）是增函数,求a的取值范围22（12分）已知抛物线C:y2=2px（p0）的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|（）求C的方程；（）过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题,每小题5

6、分）1（5分）（2014大纲版）设集合M=1,2,4,6,8,N=1,2,3,5,6,7,则MN中元素的个数为（）A2B3C5D7【分析】根据M与N,找出两集合的交集,找出交集中的元素即可【解答】解:M=1,2,4,6,8,N=1,2,3,5,6,7,MN=1,2,6,即MN中元素的个数为3故选:B【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）（2014大纲版）已知角的终边经过点（4,3）,则cos=（）ABCD【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cos的值【解答】解:角的终边经过点（4,3）,x=4,y=3,r=5cos=,故选:D【点评】本题主要考查

7、任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属于基础题3（5分）（2014大纲版）不等式组的解集为（）Ax|2x1Bx|1x0Cx|0x1Dx|x1【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式,分别求出不等式组中每个不等式的解集,再取交集,即得所求【解答】解:由不等式组可得 ,解得0x1,故选:C【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法,属于基础题4（5分）（2014大纲版）已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）ABCD【分析】由E为AB的中点,可取AD中点F,连接EF,则CEF为异面直线CE与BD所成角,设出正四面体的棱长,求出CEF的三

8、边长,然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值【解答】解:如图,取AD中点F,连接EF,CF,E为AB的中点,EFDB,则CEF为异面直线BD与CE所成的角,ABCD为正四面体,E,F分别为AB,AD的中点,CE=CF设正四面体的棱长为2a,则EF=a,CE=CF=在CEF中,由余弦定理得:=故选:B【点评】本题考查异面直线及其所成的角,关键是找角,考查了余弦定理的应用,是中档题5（5分）（2014大纲版）函数y=ln（+1）（x1）的反函数是（）Ay=（1ex）3（x1）By=（ex1）3（x1）Cy=（1ex）3（xR）Dy=（ex1）3（xR）【分析】由已知式子解出x,然后互

9、换x、y的位置即可得到反函数【解答】解:y=ln（+1）,+1=ey,即=ey1,x=（ey1）3,所求反函数为y=（ex1）3,故选:D【点评】本题考查反函数解析式的求解,属基础题6（5分）（2014大纲版）已知,为单位向量,其夹角为60,则（2）=（）A1B0C1D2【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义,求得、的值,可得（2）的值【解答】解:由题意可得,=11cos60=,=1,（2）=2=0,故选:B【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义,属于基础题7（5分）（2014大纲版）有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有（）A60种B

10、70种C75种D150种【分析】根据题意,分2步分析,先从6名男医生中选2人,再从5名女医生中选出1人,由组合数公式依次求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案【解答】解:根据题意,先从6名男医生中选2人,有C62=15种选法,再从5名女医生中选出1人,有C51=5种选法,则不同的选法共有155=75种；故选C【点评】本题考查分步计数原理的应用,注意区分排列、组合的不同8（5分）（2014大纲版）设等比数列an的前n项和为Sn若S2=3,S4=15,则S6=（）A31B32C63D64【分析】由等比数列的性质可得S2,S4S2,S6S4成等比数列,代入数据计算可得【解答】解:S2=a1

11、+a2,S4S2=a3+a4=（a1+a2）q2,S6S4=a5+a6=（a1+a2）q4,所以S2,S4S2,S6S4成等比数列,即3,12,S615成等比数列,可得122=3（S615）,解得S6=63故选:C【点评】本题考查等比数列的性质,得出S2,S4S2,S6S4成等比数列是解决问题的关键,属基础题9（5分）（2014大纲版）已知椭圆C:+=1（ab0）的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若AF1B的周长为4,则C的方程为（）A+=1B+y2=1C+=1D+=1【分析】利用AF1B的周长为4,求出a=,根据离心率为,可得c=1,求出b,即可得出椭圆的方

12、程【解答】解:AF1B的周长为4,AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,4a=4,a=,离心率为,c=1,b=,椭圆C的方程为+=1故选:A【点评】本题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题10（5分）（2014大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为（）AB16C9D【分析】正四棱锥PABCD的外接球的球心在它的高PO1上,记为O,求出PO1,OO1,解出球的半径,求出球的表面积【解答】解:设球的半径为R,则棱锥的高为4,底面边长为2,R2=（4R）2+（）2,R=,球

13、的表面积为4（）2=故选:A【点评】本题考查球的表面积,球的内接几何体问题,考查计算能力,是基础题11（5分）（2014大纲版）双曲线C:=1（a0,b0）的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于（）A2B2C4D4【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式,建立方程组即可得到结论【解答】解:=1（a0,b0）的离心率为2,e=,双曲线的渐近线方程为y=,不妨取y=,即bxay=0,则c=2a,b=,焦点F（c,0）到渐近线bxay=0的距离为,d=,即,解得c=2,则焦距为2c=4,故选:C【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算,利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式,

14、建立方程组是解决本题的关键,比较基础12（5分）（2014大纲版）奇函数f（x）的定义域为R,若f（x+2）为偶函数,且f（1）=1,则f（8）+f（9）=（）A2B1C0D1【分析】根据函数的奇偶性的性质,得到f（x+8）=f（x）,即可得到结论【解答】解:f（x+2）为偶函数,f（x）是奇函数,设g（x）=f（x+2）,则g（x）=g（x）,即f（x+2）=f（x+2）,f（x）是奇函数,f（x+2）=f（x+2）=f（x2）,即f（x+4）=f（x）,f（x+8）=f（x+4+4）=f（x+4）=f（x）,则f（8）=f（0）=0,f（9）=f（1）=1,f（8）+f（9）=0+1=1,

15、故选:D【点评】本题主要考查函数值的计算,利用函数奇偶性的性质,得到函数的对称轴是解决本题的关键二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13（5分）（2014大纲版）（x2）6的展开式中x3的系数是160（用数字作答）【分析】根据题意,由二项式定理可得（x2）6的展开式的通项,令x的系数为3,可得r=3,将r=3代入通项,计算可得T4=160x3,即可得答案【解答】解:根据题意,（x2）6的展开式的通项为Tr+1=C6rx6r（2）r=（1）r2rC6rx6r,令6r=3可得r=3,此时T4=（1）323C63x3=160x3,即x3的系数是160；故答案为160【点评】本题考查二项式定理的应

16、用,关键要得到（x2）6的展开式的通项14（5分）（2014大纲版）函数y=cos2x+2sinx的最大值是【分析】利用二倍角公式对函数化简可得y=cos2x+2sinx=12sin2x+2sinx=,结合1sinx1及二次函数的性质可求函数有最大值【解答】解:y=cos2x+2sinx=12sin2x+2sinx=又1sinx1当sinx=时,函数有最大值故答案为:【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简,二次函数在闭区间上的最值的求解,解题中要注意1sinx1的条件15（5分）（2014大纲版）设x,y满足约束条件,则z=x+4y的最大值为5【分析】由约束条件作出可行域,化

17、目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案【解答】解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得C（1,1）化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式,得由图可知,当直线过C点时,直线在y轴上的截距最大,z最大此时zmax=1+41=5故答案为:5【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题16（5分）（2014大纲版）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线,若l1与l2的交点为（1,3）,则l1与l2的夹角的正切值等于【分析】设l1与l2的夹角为2,由于l1与l2的交点A（1,3）在圆的外部,由直角三角形中的边角关系求得s

18、in= 的值,可得cos、tan 的值,再根据tan2=,计算求得结果【解答】解:设l1与l2的夹角为2,由于l1与l2的交点A（1,3）在圆的外部,且点A与圆心O之间的距离为OA=,圆的半径为r=,sin=,cos=,tan=,tan2=,故答案为:【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质,直角三角形中的变角关系,同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用,属于中档题三、解答题17（10分）（2014大纲版）数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1an+2（）设bn=an+1an,证明bn是等差数列；（）求an的通项公式【分析】（）将an+2=2an+1an+2变形为:an+2

19、an+1=an+1an+2,再由条件得bn+1=bn+2,根据条件求出b1,由等差数列的定义证明bn是等差数列；（）由（）和等差数列的通项公式求出bn,代入bn=an+1an并令n从1开始取值,依次得（n1）个式子,然后相加,利用等差数列的前n项和公式求出an的通项公式an【解答】解:（）由an+2=2an+1an+2得,an+2an+1=an+1an+2,由bn=an+1an得,bn+1=bn+2,即bn+1bn=2,又b1=a2a1=1,所以bn是首项为1,公差为2的等差数列（）由（）得,bn=1+2（n1）=2n1,由bn=an+1an得,an+1an=2n1,则a2a1=1,a3a2=

20、3,a4a3=5,anan1=2（n1）1,所以,ana1=1+3+5+2（n1）1=（n1）2,又a1=1,所以an的通项公式an=（n1）2+1=n22n+2【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式,及累加法求数列的通项公式和转化思想,属于中档题18（12分）（2014大纲版）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B【分析】由3acosC=2ccosA,利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA,再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC,利用tanB=tan（A+B）=tan（A+B）即可得出【解答】解:3

21、acosC=2ccosA,由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA,3tanA=2tanC,tanA=,2tanC=3=1,解得tanC=tanB=tan（A+C）=tan（A+C）=1,B（0,）,B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题19（12分）（2014大纲版）如图,三棱柱ABCA1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,ACB=90,BC=1,AC=CC1=2（）证明:AC1A1B；（）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1ABC的大小【分

22、析】（）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（）作辅助线可证A1FD为二面角A1ABC的平面角,解三角形由反三角函数可得【解答】解:（）A1D平面ABC,A1D平面AA1C1C,平面AA1C1C平面ABC,又BCACBC平面AA1C1C,连结A1C,由侧面AA1C1C为菱形可得AC1A1C,又AC1BC,A1CBC=C,AC1平面A1BC,AB1平面A1BC,AC1A1B；（）BC平面AA1C1C,BC平面BCC1B1,平面AA1C1C平面BCC1B1,作A1ECC1,E为垂足,可得A1E平面BCC1B1,又直线AA1平面BCC1B1,A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离,即A1E=

23、,A1C为ACC1的平分线,A1D=A1E=,作DFAB,F为垂足,连结A1F,又可得ABA1D,A1FA1D=A1,AB平面A1DF,A1F平面A1DFA1FAB,A1FD为二面角A1ABC的平面角,由AD=1可知D为AC中点,DF=,tanA1FD=,二面角A1ABC的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解,作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键,属中档题20（12分）（2014大纲版）设每个工作日甲,乙,丙,丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立（）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（）实验室计划购买k台设备供甲,乙,丙,

24、丁使用,若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1,求k的最小值【分析】（）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加,即得所求（）由（）可得若k=2,不满足条件若k=3,求得“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.060.1,满足条件,从而得出结论【解答】解:（）由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.60.50.50.4+（10.6）0.50.50.4+0.6（10.5）0.50.4+0.60.5（10.5）0.4+0.60.50.5（10.4）=0.31（）由（）可得若k=2,则“同一工作日需使用设备的人数大于2”的概率为0.31

25、0.1,不满足条件若k=3,则“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为 0.60.50.50.4=0.060.1,满足条件故k的最小值为3【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题21（12分）（2014大纲版）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a0）（）讨论f（x）的单调性；（）若f（x）在区间（1,2）是增函数,求a的取值范围【分析】（）求出函数的导数,通过导数为0,利用二次函数的根,通过a的范围讨论f（x）的单调性；（）当a0,x0时,f（x）在区间（1,2）是增函数,当a0时,f（x）在区间（1,2）是增函数,推出f（1）0且f（2）0,

26、即可求a的取值范围【解答】解:（）函数f（x）=ax3+3x2+3x,f（x）=3ax2+6x+3,令f（x）=0,即3ax2+6x+3=0,则=36（1a）,若a1时,则0,f（x）0,f（x）在R上是增函数；因为a0,a1且a0时,0,f（x）=0方程有两个根,x1=,x2=,当0a1时,则当x（,x2）或（x1,+）时,f（x）0,故函数在（,x2）或（x1,+）是增函数；在（x2,x1）是减函数；当a0时,则当x（,x1）或（x2,+）,f（x）0,故函数在（,x1）或（x2,+）是减函数；在（x1,x2）是增函数；（）当a0,x0时,f（x）=3ax2+6x+30 故a0时,f（x）

27、在区间（1,2）是增函数,当a0时,f（x）在区间（1,2）是增函数,当且仅当:f（1）0且f（2）0,解得,a的取值范围）（0,+）【点评】本题考查函数的导数的应用,判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围,考查分类讨论思想的应用22（12分）（2014大纲版）已知抛物线C:y2=2px（p0）的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|（）求C的方程；（）过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程【分析】（）设点Q的坐标为（x0,4）,把点Q的坐标代入抛物线C的方程,求得

28、x0=,根据|QF|=|PQ|求得 p的值,可得C的方程（）设l的方程为 x=my+1 （m0）,代入抛物线方程化简,利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|把直线l的方程代入抛物线方程化简,利用韦达定理、弦长公式求得|MN|由于MN垂直平分线段AB,故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,由此求得m的值,可得直线l的方程【解答】解:（）设点Q的坐标为（x0,4）,把点Q的坐标代入抛物线C:y2=2px（p0）,可得x0=,点P（0,4）,|PQ|=又|QF|=x0+=+,|QF|=|PQ|,+=,求得 p=2,或 p=2（舍去）故C的方程为 y2=4x（）由题意可得,直

29、线l和坐标轴不垂直,y2=4x的焦点F（1,0）,设l的方程为 x=my+1（m0）,代入抛物线方程可得y24my4=0,显然判别式=16m2+160,y1+y2=4m,y1y2=4AB的中点坐标为D（2m2+1,2m）,弦长|AB|=|y1y2|=4（m2+1）又直线l的斜率为m,直线l的方程为 x=y+2m2+3过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点,把线l的方程代入抛物线方程可得 y2+y4（2m2+3）=0,y3+y4=,y3y4=4（2m2+3）故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3,）,|MN|=|y3y4|=,MN垂直平分线段AB,故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,+DE2=MN2,4（m2+1）2 +=,化简可得 m21=0,m=1,直线l的方程为 xy1=0,或 x+y1=0【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理、弦长公式的应用,体现了转化的数学思想,属于难题