数列基础知识点和方法归纳中学教育高考_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 数列基础知识点和方法归纳 1.等差数列的定义与性质 定义：（为常数），推论公式：，等差中项：成等差数列,等差数列前项和：性质：是等差数列（1）若，则（下标和定理）注意：要求等式左右两边项数相等（2）数列 12212,nnnaaa仍为等差数列，仍为等差数列，公差为dn2；（3）若三个成等差数列，可设为；（4）若是等差数列，且前项和分别为，则；（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为 0 的二次函数）的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.当，由可得达到最小值时的值.(6)项数为偶数n2的等差数列，有),)()()(1112

2、2212为中间两项nnnnnnnaaaanaanaanS ndSS奇偶，1nnaaSS偶奇.（7）项数为奇数12 n的等差数列，有)()12(12为中间项nnnaanS,naSS偶奇，.1nnSS偶奇 1nnaadd 11naand xAy，2Axy n 11122nnaann nSnadnamnpq mnpqaaaa；232nnnnnSSSSS，adaad，nnab，nnnST，2121mmmmaSbTna2nSanbnab，nnS2nSanbnna100ad，100nnaanSn100ad，100nnaanSnnana学习必备 欢迎下载 2.等比数列的定义与性质 定义：（为常数，），.推论

3、公式：且 等比中项：成等比数列，或.等比数列中奇数项同号，偶数项同号 等比数列前 n 项和公式：性质：是等比数列（1）若，则(下标和定理)注意：要求等式左右两边项数相等。（2）仍为等比数列,公比为nq。.（3）是正项等比数列，则 是等比数列。注意：由求时应注意什么？时，；时，.1nnaqaq0q 11nnaa qxGy、2GxyGxy namnpq mnpqaaaa232nnnnnSSSSS，nanSna1n 11aS2n 1nnnaSS差数列前项和性质是等差数列若则下标和定理注意要求等式左右两边项数相等数列仍为等差数列仍为等差数列公差为若三个成等差数列可设为若是等差数列且前项和分别为则为等差

4、数列为常数是关于的常数项为的二次函数的最值可数为偶数的等差数列有为中间两项奇偶偶奇项数为奇数的等差数列有为中间项偶奇偶奇学习必备欢迎下载等比数列的定义与性质推论公式且定义为常数等比中项成等比数列或等比数列中奇数项同号偶数项同号等比数列前项和公式性注意由求时应注意什么时时学习必备欢迎下载求数列通项公式的常用方法定义法求通项公式已知数列为等差数列或等比数列已知的关系与或的关系时与求例数列的前项和求数列的通项公式解当时当时数列的通项公式为练习设数列的学习必备 欢迎下载 3.求数列通项公式的常用方法（1)定义法求通项公式(已知数列为等差数列或等比数列）（2）已知的关系与n或的关系时与nnas，求。)2

5、()1(11nssnsannn 例：数列的前项和求数列的通项公式;解：当时 ，当时 数列的通项公式为 练习：设数列的前项和为，且求数列的通项公式。（3）求差（商）法 例：数列，求 解：时，时，得：，练习：在数列 中，,求数列 的通项公式。(4)累乘法 形如 的递推式 由1()nnaf na，则31212(1)(2)()nnaaafff naaa，两边分别相乘得，1111()nnkaaf ka nSnana12211125222nnaaanna1n 112 1 52a 114a 12211125222nnaaan2n 1212111121 5222nnaaan122nna 12nna114(1)

6、2(2)nnnan差数列前项和性质是等差数列若则下标和定理注意要求等式左右两边项数相等数列仍为等差数列仍为等差数列公差为若三个成等差数列可设为若是等差数列且前项和分别为则为等差数列为常数是关于的常数项为的二次函数的最值可数为偶数的等差数列有为中间两项奇偶偶奇项数为奇数的等差数列有为中间项偶奇偶奇学习必备欢迎下载等比数列的定义与性质推论公式且定义为常数等比中项成等比数列或等比数列中奇数项同号偶数项同号等比数列前项和公式性注意由求时应注意什么时时学习必备欢迎下载求数列通项公式的常用方法定义法求通项公式已知数列为等差数列或等比数列已知的关系与或的关系时与求例数列的前项和求数列的通项公式解当时当时数列

7、的通项公式为练习设数列的学习必备 欢迎下载 例：数列中，求 解，又，.练习：已知 ,求数列 的通项公式。（5）累加法 形如 的递推式。由，求，用迭加法 时，两边相加得 例：已知数列满足 ,求 与 的值。（2）求数列的通项公式 练习：已知数列中，（）求数列的通项公式；（6）构造法 形如（为常数，）的递推式。可转化为等比数列，设 令，是首项为为公比的等比数列，例：已知数列满足，.求数列的通项公式；解：（1），而，故数列是首项为 2，公比为 2的等比数列，因此 na1131nnanaan，na321211 212 3nnaaanaaan 11naan13a 3nan110()nnaaf naa，na

8、2n 21321(2)(3)()nnaafaafaaf n 1(2)(3)()naafff n 0(2)(3)()naafff n1nnacadcd、010ccd，111nnnnaxc axacacx (1)cxd1dxc1ndac11dacc，1111nnddaaccc1111nnddaaccc差数列前项和性质是等差数列若则下标和定理注意要求等式左右两边项数相等数列仍为等差数列仍为等差数列公差为若三个成等差数列可设为若是等差数列且前项和分别为则为等差数列为常数是关于的常数项为的二次函数的最值可数为偶数的等差数列有为中间两项奇偶偶奇项数为奇数的等差数列有为中间项偶奇偶奇学习必备欢迎下载等比数列

9、的定义与性质推论公式且定义为常数等比中项成等比数列或等比数列中奇数项同号偶数项同号等比数列前项和公式性注意由求时应注意什么时时学习必备欢迎下载求数列通项公式的常用方法定义法求通项公式已知数列为等差数列或等比数列已知的关系与或的关系时与求例数列的前项和求数列的通项公式解当时当时数列的通项公式为练习设数列的学习必备 欢迎下载 练习 1：已知数列 中 ，求数列na的通项公式。练习 2：已知数列na满足1123 56nnnaaa，求数列na的通项公式。（7）倒数法 例：，求 由已知得：，为等差数列，公差为，练习：已知数列的首项，。求数列的通项公式。总结：公式法、利用1(2)1(1)nnSSnS nna

10、、累加法、累乘法.构造等差或等比1nnapaq或1()nnapaf n、待定系数法、对数变换法、迭代法。11212nnnaaaa，na1211122nnnnaaaa 11112nnaa1na 111a12 11111122nnna 21nan差数列前项和性质是等差数列若则下标和定理注意要求等式左右两边项数相等数列仍为等差数列仍为等差数列公差为若三个成等差数列可设为若是等差数列且前项和分别为则为等差数列为常数是关于的常数项为的二次函数的最值可数为偶数的等差数列有为中间两项奇偶偶奇项数为奇数的等差数列有为中间项偶奇偶奇学习必备欢迎下载等比数列的定义与性质推论公式且定义为常数等比中项成等比数列或等比

11、数列中奇数项同号偶数项同号等比数列前项和公式性注意由求时应注意什么时时学习必备欢迎下载求数列通项公式的常用方法定义法求通项公式已知数列为等差数列或等比数列已知的关系与或的关系时与求例数列的前项和求数列的通项公式解当时当时数列的通项公式为练习设数列的学习必备 欢迎下载 4.求数列前 n 项和的常用方法（1）定义法：如果已知数列为等差或者等比数列，这用对应的公式求和 等差数列前项和：等比数列前 n 项和公式：常见公式：,（2）错位相减法 给 两边同乘以一个适当的数或者式，然后把所得的等式与原等式相减，对应项互相抵消，最后得出前 n 项的和 .一般适用于为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项

12、和，可由，求，其中为的公比.例：时，时，练习：已知数列是等差数列，是等比数列，且，（1）求数列和的通项公式（2）数列满足，求数列的前项和(2)裂项法 把数列的通项公式拆成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和。常见形式：若是公差为的等差数列，则 n 11122nnaann nSnadnanb nna bnnnSqSnSqnb2311234nnSxxxnx 23412341nnnx Sxxxxnxnx 2111nnnx Sxxxnx 2111nnnxnxSxx1x 11232nn nSn nad差数列前项和性质是等差数列若则下标和定理注意要求等式左右两边项数相等数列仍为等差数列仍

13、为等差数列公差为若三个成等差数列可设为若是等差数列且前项和分别为则为等差数列为常数是关于的常数项为的二次函数的最值可数为偶数的等差数列有为中间两项奇偶偶奇项数为奇数的等差数列有为中间项偶奇偶奇学习必备欢迎下载等比数列的定义与性质推论公式且定义为常数等比中项成等比数列或等比数列中奇数项同号偶数项同号等比数列前项和公式性注意由求时应注意什么时时学习必备欢迎下载求数列通项公式的常用方法定义法求通项公式已知数列为等差数列或等比数列已知的关系与或的关系时与求例数列的前项和求数列的通项公式解当时当时数列的通项公式为练习设数列的学习必备 欢迎下载 如：是公差为的等差数列，求 解：由 练习：已知数列的前 n

14、项和，求数列的通项公式；求数列的前 n 项和。（3）倒序相加法 把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.相加 练习已知，则 由 原式（3）分组求和法 有一类数列，既不是等差数列也不是等比数列，若将这个数列适当拆分开，可分为几个 等差或等比或常见数列，然后分别求和，再将其合并即可。一般适用于为等差数列，为等比数列，求数列 前项和。nad111nkkka a11111110kkkkkkdaaaaddaa11111223111111111111nnkkkkkknna adaadaaaaaa11111ndaa121121nnnnnnSaaaaSaaaa 12112nnnnSaaaaaa 22()

15、1xf xx111(1)(2)(3)(4)234fffffff 2222222111()111111xxxf xfxxxxx 11111(1)(2)(3)(4)1 1 1323422fffffff nanbn差数列前项和性质是等差数列若则下标和定理注意要求等式左右两边项数相等数列仍为等差数列仍为等差数列公差为若三个成等差数列可设为若是等差数列且前项和分别为则为等差数列为常数是关于的常数项为的二次函数的最值可数为偶数的等差数列有为中间两项奇偶偶奇项数为奇数的等差数列有为中间项偶奇偶奇学习必备欢迎下载等比数列的定义与性质推论公式且定义为常数等比中项成等比数列或等比数列中奇数项同号偶数项同号等比数列

16、前项和公式性注意由求时应注意什么时时学习必备欢迎下载求数列通项公式的常用方法定义法求通项公式已知数列为等差数列或等比数列已知的关系与或的关系时与求例数列的前项和求数列的通项公式解当时当时数列的通项公式为练习设数列的学习必备 欢迎下载 练习：已知数列为等差数列，公差为 d，为等比数列，公比为 q，且 d=q=2，,求 的通项公式，求 的前 项和 。nanb差数列前项和性质是等差数列若则下标和定理注意要求等式左右两边项数相等数列仍为等差数列仍为等差数列公差为若三个成等差数列可设为若是等差数列且前项和分别为则为等差数列为常数是关于的常数项为的二次函数的最值可数为偶数的等差数列有为中间两项奇偶偶奇项数为奇数的等差数列有为中间项偶奇偶奇学习必备欢迎下载等比数列的定义与性质推论公式且定义为常数等比中项成等比数列或等比数列中奇数项同号偶数项同号等比数列前项和公式性注意由求时应注意什么时时学习必备欢迎下载求数列通项公式的常用方法定义法求通项公式已知数列为等差数列或等比数列已知的关系与或的关系时与求例数列的前项和求数列的通项公式解当时当时数列的通项公式为练习设数列的