数值分析复习总结中学教育中考_中学教育-中学课件.pdf

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1、数值分析课本重点知识点 第一章 P4 定义一 P5 定义二 P6 定理 1 P7 例题 3 P10 条件数（1）绝对误差（限）和相对误差（限）公式（2）有效数字（3）条件数及其公式 第二章 P26 定理 2（以及余项推导过程）P36 两个典型的埃尔米特插值（1）拉格朗日插值多项式（包括其直线公式和抛物线公式）（2）插值余项推导及误差分析（估计）（3）两个典型的埃尔米特插值（4）三次样条插值的概念 第三章 P63 例题 3（1）最佳平方逼近公式的计算（2）T3（x）的表达式 第四章 P106 复合梯形公式 P107 复合辛普森求积公式 P108 例题 3（1）复合公式及其余项（2）判断一个代数的

2、精确度 第五章 P162 定义 3 向量的范数 P165 定理 17 P169 定义 8（1）左中右矩形公式（2）LU 分解（3）谱半径和条件数（4）向量的范数 第六章 P192 定理 9 第 1 条 P192 例题 8 第七章 P215 不动点和不动点迭代法 P218 定理 3 P228 弦截法 P229 定理 6 第九章 P280 欧拉法与后退欧拉法 P283 改进欧拉公式 数值分析课后点题答案 第一章数值分析误差 第二章插值法 第三章函数逼近 公式第二章定理以及余项推导过程两个典型的埃尔米特插值拉格朗日插值多项式包括其直线公式和抛物线公式插值余项推导及误差分析估计两个典型的埃尔米特插值三

3、次样条插值的概念第三章例题最佳平方逼近公式的计算的表达式理定义左中右矩形公式分解谱半径和条件数向量的范数第六章定理第条例题第七章不动点和不动点迭代法定理弦截法定理第九章欧拉法与后退欧拉法改进欧拉公式数值分析课后点题答案第一章数值分析误差第二章插值法第三章函数线性函数关系从而选择线性方程令则法方程组为从而解得故物体运动方程为已知实验数据如下用最小二乘法求形如的经验公式并计算均方误差解若则则则法方程组为从而解得故均方误差为第四章数值积分与数值微分确定下列求积公 所以无解 19。观测物体的直线运动，得出以下数据：时间 t(s)0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离 s(m)0 10 30

4、50 80 110 求运动方程。解：被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程 sabt 令1,spant 22012201016,53.63,(,)14.7,(,)280,(,)1078,ss 则法方程组为 614.728014.753.631078ab 从而解得 7.85504822.25376ab 故物体运动方程为 22.253767.855048St 20。已知实验数据如下：ix 19 25 31 38 44 jy 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 用最小二乘法求形如2sabx 的经验公式，并计算均方误差。解：若2sabx，则 21,spanx则

5、 22012201015,7277699,(,)5327,(,)271.4,(,)369321.5,ff 则法方程组为 公式第二章定理以及余项推导过程两个典型的埃尔米特插值拉格朗日插值多项式包括其直线公式和抛物线公式插值余项推导及误差分析估计两个典型的埃尔米特插值三次样条插值的概念第三章例题最佳平方逼近公式的计算的表达式理定义左中右矩形公式分解谱半径和条件数向量的范数第六章定理第条例题第七章不动点和不动点迭代法定理弦截法定理第九章欧拉法与后退欧拉法改进欧拉公式数值分析课后点题答案第一章数值分析误差第二章插值法第三章函数线性函数关系从而选择线性方程令则法方程组为从而解得故物体运动方程为已知实验数

6、据如下用最小二乘法求形如的经验公式并计算均方误差解若则则则法方程组为从而解得故均方误差为第四章数值积分与数值微分确定下列求积公55327271.453277277699369321.5ab 从而解得 0.97260460.0500351ab 故20.97260460.0500351yx 均方误差为14220()0.1226jjjy xy 第四章数值积分与数值微分 1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度。1）)()0()()(101hfAfAhfAdxxfhh；解 分别取2,1)(xxxf代入得到：32212021101101320)(00

7、)(21hdxxhAAhAxdxhAAhAhdxAAAhhhhhh，即hAAAAhAAA3121111101，解得hAhAhA613261101 又因为当3)(xxf时，hhdxxhhhAAhA334313031061610)(；当4)(xxf时，hhdxxhhhhhAAhA45555414041523161610)(；从而此求积公式最高具有 3 次代数精度。2）)()0()()(10122hfAfAhfAdxxfhh；解 分别取2,1)(xxxf代入得到：322221202122101221013160)(00)(41hdxxhAAhAxdxhAAhAhdxAAAhhhhhh，即hAAAAh

8、AAA31641111101，公式第二章定理以及余项推导过程两个典型的埃尔米特插值拉格朗日插值多项式包括其直线公式和抛物线公式插值余项推导及误差分析估计两个典型的埃尔米特插值三次样条插值的概念第三章例题最佳平方逼近公式的计算的表达式理定义左中右矩形公式分解谱半径和条件数向量的范数第六章定理第条例题第七章不动点和不动点迭代法定理弦截法定理第九章欧拉法与后退欧拉法改进欧拉公式数值分析课后点题答案第一章数值分析误差第二章插值法第三章函数线性函数关系从而选择线性方程令则法方程组为从而解得故物体运动方程为已知实验数据如下用最小二乘法求形如的经验公式并计算均方误差解若则则则法方程组为从而解得故均方误差为第

9、四章数值积分与数值微分确定下列求积公解得hAhAhA383438101，又因为当3)(xxf时，hhdxxhhhAAhA22334313031038380)(；当4)(xxf时，hhdxxhhhhhAAhA224555541404156431638380)(；从而此求积公式最高具有 3 次代数精度。3）3/)(3)(2)1()(2111xfxffdxxf；解 分别取2,)(xxxf代入得到：323/32)1(03/)321(112222121121dxxxxxdxxx，即132132222121xxxx，解得7221723221xx与7221723221xx，又因为当3)(xxf时，11333

10、303432114363432162426133432541082368213/7221372322)1(dxx；11333303432114363432162426133432541082368213/7221372322)1(dxx，从而此求积公式最高具有2 次代数精度。4）)()0(2/)()0()(20hffahhffhdxxfh。公式第二章定理以及余项推导过程两个典型的埃尔米特插值拉格朗日插值多项式包括其直线公式和抛物线公式插值余项推导及误差分析估计两个典型的埃尔米特插值三次样条插值的概念第三章例题最佳平方逼近公式的计算的表达式理定义左中右矩形公式分解谱半径和条件数向量的范数第六章定

11、理第条例题第七章不动点和不动点迭代法定理弦截法定理第九章欧拉法与后退欧拉法改进欧拉公式数值分析课后点题答案第一章数值分析误差第二章插值法第三章函数线性函数关系从而选择线性方程令则法方程组为从而解得故物体运动方程为已知实验数据如下用最小二乘法求形如的经验公式并计算均方误差解若则则则法方程组为从而解得故均方误差为第四章数值积分与数值微分确定下列求积公 解 分别取2)(xxf代入得到：32231)2(2/)0(hhahhh，所以121a，又因为当3)(xxf时，422341)3(1212/)0(hhahhh，当4)(xxf时，553245161)4(1212/)0(hhhahhh，所以此求积公式最高

12、具有 3 次代数精度。6。若用复化梯形公式计算积分10 xIe dx，问区间0,1应人多少等分才能使截断误差不超过51102？若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间0,1应分多少等分？解：采用复化梯形公式时，余项为 2()(),(,)12nbaRfh fa b 又10 xIe dx故(),(),0,1.xxf xefxe ab 221()()1212neRfhfh 若51()102nRf，则25610he 当对区间0,1进行等分时，1,hn 故有510212.856en 因此，将区间 213 等分时可以满足误差要求 采用复化辛普森公式时，余项为 4(4)()()(),(,)1802nba h

13、Rffa b 又(),xf xe(4)4(4)4(),1()|()|28802880 xnfxeeRfhfh 若51()102nRf，则45144010he 当对区间0,1进行等分时1nh 故有1541440(10)3.71ne 因此，将区间 8 等分时可以满足误差要求。公式第二章定理以及余项推导过程两个典型的埃尔米特插值拉格朗日插值多项式包括其直线公式和抛物线公式插值余项推导及误差分析估计两个典型的埃尔米特插值三次样条插值的概念第三章例题最佳平方逼近公式的计算的表达式理定义左中右矩形公式分解谱半径和条件数向量的范数第六章定理第条例题第七章不动点和不动点迭代法定理弦截法定理第九章欧拉法与后退欧

14、拉法改进欧拉公式数值分析课后点题答案第一章数值分析误差第二章插值法第三章函数线性函数关系从而选择线性方程令则法方程组为从而解得故物体运动方程为已知实验数据如下用最小二乘法求形如的经验公式并计算均方误差解若则则则法方程组为从而解得故均方误差为第四章数值积分与数值微分确定下列求积公第五章解线性方程组的直接方法 14 下列矩阵能否分解为LU（其中 L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一。764142321A，133122111B，461561552621C。解 因为 A的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，0，-10，所以 A不能直接分解为三角阵的乘积，但换行后可以。因为 B的一

15、、二、三阶顺序主子式分别为 1，0，0，所以 B不能分解为三角阵的乘积。因为 C的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，5，1，所以 C能够分解为三角阵的乘积，并且分解是唯一的。18 设989999100A，计算 A的条件数),2()(vAcondv。解 由989999100A可知，1009999981A，从而 19801196021960219405100999998100999998)()(11AAT，由013920619801196021960219405)()(211AAIT，19405196021960219801989999100989999100AAT，由01392061940519

16、60219602198012AAIT，可得38427760819603212AA，从而 3920638427760819603)(2212AAAcond。1991A，199A，从而39601199199)(1AAAcond 公式第二章定理以及余项推导过程两个典型的埃尔米特插值拉格朗日插值多项式包括其直线公式和抛物线公式插值余项推导及误差分析估计两个典型的埃尔米特插值三次样条插值的概念第三章例题最佳平方逼近公式的计算的表达式理定义左中右矩形公式分解谱半径和条件数向量的范数第六章定理第条例题第七章不动点和不动点迭代法定理弦截法定理第九章欧拉法与后退欧拉法改进欧拉公式数值分析课后点题答案第一章数值分

17、析误差第二章插值法第三章函数线性函数关系从而选择线性方程令则法方程组为从而解得故物体运动方程为已知实验数据如下用最小二乘法求形如的经验公式并计算均方误差解若则则则法方程组为从而解得故均方误差为第四章数值积分与数值微分确定下列求积公第六章解线性方程组的迭代法 公式第二章定理以及余项推导过程两个典型的埃尔米特插值拉格朗日插值多项式包括其直线公式和抛物线公式插值余项推导及误差分析估计两个典型的埃尔米特插值三次样条插值的概念第三章例题最佳平方逼近公式的计算的表达式理定义左中右矩形公式分解谱半径和条件数向量的范数第六章定理第条例题第七章不动点和不动点迭代法定理弦截法定理第九章欧拉法与后退欧拉法改进欧拉公

18、式数值分析课后点题答案第一章数值分析误差第二章插值法第三章函数线性函数关系从而选择线性方程令则法方程组为从而解得故物体运动方程为已知实验数据如下用最小二乘法求形如的经验公式并计算均方误差解若则则则法方程组为从而解得故均方误差为第四章数值积分与数值微分确定下列求积公 公式第二章定理以及余项推导过程两个典型的埃尔米特插值拉格朗日插值多项式包括其直线公式和抛物线公式插值余项推导及误差分析估计两个典型的埃尔米特插值三次样条插值的概念第三章例题最佳平方逼近公式的计算的表达式理定义左中右矩形公式分解谱半径和条件数向量的范数第六章定理第条例题第七章不动点和不动点迭代法定理弦截法定理第九章欧拉法与后退欧拉法改

19、进欧拉公式数值分析课后点题答案第一章数值分析误差第二章插值法第三章函数线性函数关系从而选择线性方程令则法方程组为从而解得故物体运动方程为已知实验数据如下用最小二乘法求形如的经验公式并计算均方误差解若则则则法方程组为从而解得故均方误差为第四章数值积分与数值微分确定下列求积公第七章非线性方程组的数值解法 7.用 下 列 方 法 求013)(3xxxf在20 x附 近 的 根。根 的 准 确 值87938524.1*x，要求计算结果准确到四位有效数字。（1）牛顿法（2）弦截法，取012,1.9xx（3）抛物线法，取0121,3,2xxx 解1）33123313)()(23231kkkkkkkkkkx

20、xxxxxxfxfxx，20 x，888889.1917323122231x，87945.15616105553)917(31)917(2232x，迭代停止。2）31)()()13()13(13)()()()(211211113133111kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxfxfxx，20 x，9.11x，881094.1841158241.882.153229.19.11)29.1(29.1222x 879411.1546204321102654244284161.08419.11582158284142.955814339.19.1

21、8411582)8411582(1)9.18411582(9.18411582222223x，迭代停止。3）,)(4)(2121kkkkkkkxxxfxfxfxx，其中)(,1211kkkkkkkxxxxxfxxf，2,3,1210 xxx，故 3)(0 xf，17)(1xf，1)(2xf，1013)3(17)()(,010110 xxxfxfxxf，1632171)()(,121212xxxfxfxxf，公式第二章定理以及余项推导过程两个典型的埃尔米特插值拉格朗日插值多项式包括其直线公式和抛物线公式插值余项推导及误差分析估计两个典型的埃尔米特插值三次样条插值的概念第三章例题最佳平方逼近公式的

22、计算的表达式理定义左中右矩形公式分解谱半径和条件数向量的范数第六章定理第条例题第七章不动点和不动点迭代法定理弦截法定理第九章欧拉法与后退欧拉法改进欧拉公式数值分析课后点题答案第一章数值分析误差第二章插值法第三章函数线性函数关系从而选择线性方程令则法方程组为从而解得故物体运动方程为已知实验数据如下用最小二乘法求形如的经验公式并计算均方误差解若则则则法方程组为从而解得故均方误差为第四章数值积分与数值微分确定下列求积公6121016,021021210 xxxxfxxfxxxf，10)32(616，9465745.176101261410101223x，下略。第九章常微分方程初值问题数值解法 3用梯

23、形法解初值问题1)0(0yyy证明其近似解为xnneyhhhy题的准确解时，它收敛于原初值问并证明当0,22 公式第二章定理以及余项推导过程两个典型的埃尔米特插值拉格朗日插值多项式包括其直线公式和抛物线公式插值余项推导及误差分析估计两个典型的埃尔米特插值三次样条插值的概念第三章例题最佳平方逼近公式的计算的表达式理定义左中右矩形公式分解谱半径和条件数向量的范数第六章定理第条例题第七章不动点和不动点迭代法定理弦截法定理第九章欧拉法与后退欧拉法改进欧拉公式数值分析课后点题答案第一章数值分析误差第二章插值法第三章函数线性函数关系从而选择线性方程令则法方程组为从而解得故物体运动方程为已知实验数据如下用最

24、小二乘法求形如的经验公式并计算均方误差解若则则则法方程组为从而解得故均方误差为第四章数值积分与数值微分确定下列求积公 公式第二章定理以及余项推导过程两个典型的埃尔米特插值拉格朗日插值多项式包括其直线公式和抛物线公式插值余项推导及误差分析估计两个典型的埃尔米特插值三次样条插值的概念第三章例题最佳平方逼近公式的计算的表达式理定义左中右矩形公式分解谱半径和条件数向量的范数第六章定理第条例题第七章不动点和不动点迭代法定理弦截法定理第九章欧拉法与后退欧拉法改进欧拉公式数值分析课后点题答案第一章数值分析误差第二章插值法第三章函数线性函数关系从而选择线性方程令则法方程组为从而解得故物体运动方程为已知实验数据如下用最小二乘法求形如的经验公式并计算均方误差解若则则则法方程组为从而解得故均方误差为第四章数值积分与数值微分确定下列求积公