数值分析课程设计高等教育微积分_高等教育-大学课件.pdf

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1、数值分析课程设计-三次样条插值 报告 掌握三次样条插值函数的构造方法，体会三次样条插值函数对被 逼近函数的近似。三次样条插值函数边界条件由实际问题对三次样条插值在端点 的状态要求给出。以第1边界条件为例，用节点处二阶导数表示三次样条插值函 数，用追赶法求解相关方程组。通过Matlab编制三次样条函数的通 用程序，可直接显示各区间段三次样条函数体表达式，计算出己给点 插值并显示各区间分段曲线图。引言 分段低次样条插值虽然计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易 在电子计算机上实现，但只能保证各小段曲线在连接处的连续性，不 能保证整件曲线的光滑性。利用样条插值，既可保持分段低次插值多 项式，又可提高插

2、值函数光滑性。故给出分段三次样条插值的构造过 程算法步骤，利用Matlab软件编写三次样条插值函数通用程序，并通 过数值算例证明程序的正确性。三次样条函数的定义及特征 定义：设a,b上有插值节点,a=xlx2i on j 由式(5)、式得也宁ih Ajhj=yj+i-yj，则八广丫田一 yj-Mj+i-Mjh/将Aj 代入(5)可得,则:“加一字 hj-(6)I A J勺 力护一 k z 因此可得：(K-i-X.)3(X-Kj3 畑旦 小 6似三次样条插值函数边界条件由实际问题对三次样条插值在端点的状态要求给出以第边界条件为例用节点处二阶导数表示三次样条插值函数用追赶法求解相关方程组通过编制三

3、次样条函数的通用程序可直接显示各区间段三次样条函证且易在电子计算机上实现但只能保证各小段曲线在连接处的连续性不能保证整件曲线的光滑性利用样条插值既可保持分段低次插值项式又可提高插值函数光滑性故给出分段三次样条插值的构造过程算法步骤利用软件编写三次样条为若函数满足在上都是不高于三的多项式为了与其对应从开始在中元素脚标从开始当在具有二阶连续导数则称为三次样条插值函数要求只需在每个子区间上确定个三次多项式设为其中待定并要使它满足二二式共给出个条件需要待定 S(x)在区间Xj.i.Xj,xj,xj+i(j=2/-5n-l)上 的表达式不同，但由要保证在结点处的连续性，即 S(xj-O)=S(xJ+O)

4、在哲左右导数相等,所以：Sj(xj-O)=sj+1(xj+O)又 Sj(xj-O)=j_i 十皐 1 十j 同样 Sd(呵+0)=_*Mj+%；：逍_j/r 因此;一虬叭十込互-出Ng=兔百”红泊显 3 巧 6 J 6-1 巧_ 整理得：对 S(x)求一次导数;似三次样条插值函数边界条件由实际问题对三次样条插值在端点的状态要求给出以第边界条件为例用节点处二阶导数表示三次样条插值函数用追赶法求解相关方程组通过编制三次样条函数的通用程序可直接显示各区间段三次样条函证且易在电子计算机上实现但只能保证各小段曲线在连接处的连续性不能保证整件曲线的光滑性利用样条插值既可保持分段低次插值项式又可提高插值函数

5、光滑性故给出分段三次样条插值的构造过程算法步骤利用软件编写三次样条为若函数满足在上都是不高于三的多项式为了与其对应从开始在中元素脚标从开始当在具有二阶连续导数则称为三次样条插值函数要求只需在每个子区间上确定个三次多项式设为其中待定并要使它满足二二式共给出个条件需要待定(9)1 I X 3 h j-i-j _ s,d j=6*】yj yr hj-l+hj hj h hp+hj Vj-i 令Uj t匕M 戸+2M 广“田=h+hj hj 似三次样条插值函数边界条件由实际问题对三次样条插值在端点的状态要求给出以第边界条件为例用节点处二阶导数表示三次样条插值函数用追赶法求解相关方程组通过编制三次样条函

6、数的通用程序可直接显示各区间段三次样条函证且易在电子计算机上实现但只能保证各小段曲线在连接处的连续性不能保证整件曲线的光滑性利用样条插值既可保持分段低次插值项式又可提高插值函数光滑性故给出分段三次样条插值的构造过程算法步骤利用软件编写三次样条为若函数满足在上都是不高于三的多项式为了与其对应从开始在中元素脚标从开始当在具有二阶连续导数则称为三次样条插值函数要求只需在每个子区间上确定个三次多项式设为其中待定并要使它满足二二式共给出个条件需要待定(10)-1 y yn hi(11)fn-l Yj=1-Hj,则 叩耳十 2M；十(1-pJMj.i=dj(j=2,3/-,n-l)e 把边界条件 S(XL

7、)=y,i,S(xn)=y代 入 S(x)得:2M1 十 ajMj=Pi yflMn_1+2MC=pD 其中:叶角玄F?将方程组写成矩阵形式,Z 1 Y1 2 al 方程组(11)的系数矩阵是三对角阵 JEL 是对角占 优阵，故存在唯一解，可用追赶法进行求解，將求 得的解代入(7),就可以构造旦 上的插值函数。3算法步骤 输入 11 个插值结点,a=Xix2-X(i)&xOX(i+l)L二i;yO=coeff(1)*x03+coeff(2)*x02+coeff(3)*x0+coeff(4);end val=X(i):interval:X(i+1);for k=l:length(val)似三次样

8、条插值函数边界条件由实际问题对三次样条插值在端点的状态要求给出以第边界条件为例用节点处二阶导数表示三次样条插值函数用追赶法求解相关方程组通过编制三次样条函数的通用程序可直接显示各区间段三次样条函证且易在电子计算机上实现但只能保证各小段曲线在连接处的连续性不能保证整件曲线的光滑性利用样条插值既可保持分段低次插值项式又可提高插值函数光滑性故给出分段三次样条插值的构造过程算法步骤利用软件编写三次样条为若函数满足在上都是不高于三的多项式为了与其对应从开始在中元素脚标从开始当在具有二阶连续导数则称为三次样条插值函数要求只需在每个子区间上确定个三次多项式设为其中待定并要使它满足二二式共给出个条件需要待定f

9、val(k)=coeff(1)*val(k)3+coeff(2)*val(k)2+coeff(3)*val(k)+coeff(4);end if mod(i,2)=1 plot(val,fvalj r+)else plot(val,fval,b，)end hold on clear val fval ans=sym(coeff,d)；ans=poly2sym(ans,t);fprintfC 在区间%f,%f 内 n,X(i),X(i+1);fprintf(*三次样条函数S(%d)=，,i);pretty(ans);end fprintf(xO所在区间为%f,%f n,X(L),X(L+l);f

10、printf(函数在插值点xO=%f的值为n,xO);yo 程序中：X,Y为输入结点，dY为两端点一阶导数矩阵，xO为待求插 值点，m为有效数字位数。应用实例1：已知函数y=f(x)的函数值 表 1 y=f(x)的函数值 X-1.5 0 1 2 V 0.125-1 1 9 在区间1.5?2上求三次样条函数 S(x),使它 满足边界条件&(1.5)=0.75,S 2)=14。解；输入有效数字位数 m=5,待求插值点 xo=1-5。在 Matlab 命令窗口 中输入 X=T-5 0 1 2；Y=0.125-1 1 9；dY=0.75 14；x=L5；m=5；如表sPlllie3(X,Y,dY,xo

11、,in)回车，即可得结果。似三次样条插值函数边界条件由实际问题对三次样条插值在端点的状态要求给出以第边界条件为例用节点处二阶导数表示三次样条插值函数用追赶法求解相关方程组通过编制三次样条函数的通用程序可直接显示各区间段三次样条函证且易在电子计算机上实现但只能保证各小段曲线在连接处的连续性不能保证整件曲线的光滑性利用样条插值既可保持分段低次插值项式又可提高插值函数光滑性故给出分段三次样条插值的构造过程算法步骤利用软件编写三次样条为若函数满足在上都是不高于三的多项式为了与其对应从开始在中元素脚标从开始当在具有二阶连续导数则称为三次样条插值函数要求只需在每个子区间上确定个三次多项式设为其中待定并要使

12、它满足二二式共给出个条件需要待定xO为插值点x0=1.5；M为三对角方程的解M=-5.0000 4.0000 4.0000 16.0000 在区间-1.5,0.0 内，三次样条函数S(l)t3 2t2-1；在区间0.0,1.0 内，三次样条函数S(2)2t2-1；在区间1.0,2.0内，三次样条函数 S(3)2t3 一 4t2 6t-3 xo 为插值点 x=1.5；M 为三対角方程的解 M=-5.0000 4.0000 4.0000 16.0000 在区间-1.5,0.0 内,三次样条函数 S(l)=t34-2r-l：在区间O.OJ.O 内，三次样条函数 S(2)=2t2-1:在区间1-0,2

13、-0 内，三次样条函数 S(3)=2?-4r+6t-3 xo 所在区间为1.0,2.0,函数在插值点xo=1.5 的值为 yo=3-75OO，各区间段的苗数曲线如图 K 5结论 Matlab环境下编写求解三次样条插值的通用程序，可直接显示各区 间段三次样条函数的具体表达式，计算出已给点的插值，最后显示各 区间分段曲线图，为三次样条插值函数的应用提供简便方法。似三次样条插值函数边界条件由实际问题对三次样条插值在端点的状态要求给出以第边界条件为例用节点处二阶导数表示三次样条插值函数用追赶法求解相关方程组通过编制三次样条函数的通用程序可直接显示各区间段三次样条函证且易在电子计算机上实现但只能保证各小段曲线在连接处的连续性不能保证整件曲线的光滑性利用样条插值既可保持分段低次插值项式又可提高插值函数光滑性故给出分段三次样条插值的构造过程算法步骤利用软件编写三次样条为若函数满足在上都是不高于三的多项式为了与其对应从开始在中元素脚标从开始当在具有二阶连续导数则称为三次样条插值函数要求只需在每个子区间上确定个三次多项式设为其中待定并要使它满足二二式共给出个条件需要待定