数列求和及综合应用中学教育高考_中学教育-中学课件.pdf

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1、数列求和及综合应用 解答题 1.(2014 湖北高考文科 T19)已知等差数列 满足:a=2,且彳仔抄成等比数列.(1)求数列an的通项公式.记 Sn为数列an的前 n 项和，是否存在正整数 n 使得 S60n+800?若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由【解题指南】(1)由 2,2+d,2+4d 成等比数列可求得公差 d,从而根据通项公式表示出数列 an的通项.(2)根据an的通项公式表示出an的前 n 项和公式 Sn,令 S60n+800,解此不等式.2【解析】(1)设数列an的公差为 d,依题意,2,2+d,2+4d 成等比数列，故有(2+d)=2(2+4d),2 化简得 d-4

2、d=0,解得 d=0 或 d=4.当 d=0 时,an=2;当 d=4 时,an=2+(n-1)4=4n-2,从而得数列an的通项公式为 an=2 或 an=4n-2.(2)当 an=2 时,Sn=2n.显然 2n60n+800 成立.当 an=4n-2 时,$2 2)=2n2.2 令 2n 60n+800，即 n-30n-4000,解得 n40 或*-10(舍去),此时存在正整数 n,使得 Sn60n+800 成立,n 的最小值为 41.综上，当 an=2 时，不存在满足题意的 n.当 an=4n-2 时,存在满足题意的 n,其最小值为 41.2.(2014 湖北高考理科 18)已知等差数列

3、a n满足：a1=2,且a1,a2,a3成等比数列.项和是否存在正整数使得若存在求的最小值若不存在说明理由解题指南由成等比数列可求得公差从而根据通项公式表示出数列的通项根据的通项公式表示出的前项和公式令解此不等式解析设数列的公差为依题意成等比数列故有化简正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满足题意的其最小值为湖北高考理科已知等差数列满足且成等比数列求数列的通项公式记为数列的前项和是否存在正整数使得若存在求值若不存在说明理由的最小解题解析设数列的公差为依题意成等比数列的通故有化简得解得或当时当时从而得数列的通项公式为或当时显然此时不存在正整数使得成立当时令即解得或舍去此时存在

4、正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满(1)求数列an的通项公式 (2)记Sn为数列a n的前n项和，是否存在正整数 n,使得Sn 60n 800?若存在，求 值；若不存在，说明理由 【解题指南】(I)由2,2 d,2 4d 成等比数列可求得公差 d,从而根据通项公式表示出数列 项；(H)根据an的通项公式表示出an的前 n 项和公式 Sn,令 Sn 60n 800，解此不等式。【解析】(1)设数列an的公差为d，依题意，d,2 d,2 4d成等比数列，故有(2 d)2 2(2 4d)化简得d2 4d 0,解得d 0或d 4 当d 0时，an 2 当 d 4 时，an 2(

5、n 1)4 4n 2 从而得数列a n的通项公式为an 2或an 4n 2。(2)当 an 2 时，Sn 2n。显然 2n 60n 800 此时不存在正整数 n，使得Sn 60n 800成立。2 2 令 2n 60n 800，即 n 30n 400 0,解得n 40或n 10(舍去)，此时存在正整数n，使得Sn 60n 800成立，n的最小值为 41。综上，当an 2时，不存在满足题意的 n；当an 4n 2时，存在满足题意的 n，其最小值为 41。3.(2014 湖南高考理科 20)(本小题满分 13 分)n*已知数列 an满足印1,1 an 1 an|p,n N.(1)若 an是递增数列，

6、且a2a2,3a 3成等差数列，求 p的值；1(2)若 p,且 a2n 1是递增数列，a2n是递减数列，求数列a.的通项公式.2【解题提示】(1)由 an是递增数列，去掉绝对值，求出前三项，再利用 a!,2a2,3a3成等差数列,n的最小 an的通 当 an 4n 2 时，Sn n2(4n 2)2 2n 得到关 项和是否存在正整数使得若存在求的最小值若不存在说明理由解题指南由成等比数列可求得公差从而根据通项公式表示出数列的通项根据的通项公式表示出的前项和公式令解此不等式解析设数列的公差为依题意成等比数列故有化简正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满足题意的其最小值为湖北高考

7、理科已知等差数列满足且成等比数列求数列的通项公式记为数列的前项和是否存在正整数使得若存在求值若不存在说明理由的最小解题解析设数列的公差为依题意成等比数列的通故有化简得解得或当时当时从而得数列的通项公式为或当时显然此时不存在正整数使得成立当时令即解得或舍去此时存在正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满（2）a2n 1是递增数列，a2n是递减数列，可以去掉绝对值，再利用叠加法求通项公式。【解析】（1）因为 an是递增数列，所以an 1 an pn,2 又 a1 1,a2 p 1,a3 p p 1,因为 ai,2a2,3a3成等差数列，所以4a2 ai 2 2 3a3,4p 4

8、1 3p 3p 3,3 p 解得 1 P 亍 P 0，当 p 0，an1 an 0,与an是递增数列矛盾,所以(2)因为 a2n 1是递增数列，所以a2n1 a2n 1 0,a2n 1 a2n a2n a2n 1 0 由于 1 22n 1 知，所以 a2n 1 a2n a2n a2n 1 由得 a2n a2n 1 0，所以a2n a2n 2n 1 1 2 2n 2n 因为 a2n是递减数列，所以同理可得 a2n 1 a2n 0，a2n a2n 12n 1-由得 所以 an 2n，an ai a2 a1 a3 a2 an 3 1 2 n 1 2 1 2 4 所以数列 an的通项公式为an 3 3

9、 2n 1 4.（2014 湖南高考文科 17）（本小题满分 12 分)已知数列an 的前n项和Sn（1）求数列 an 的通项公式;(2)设 bn 2 an n 1 an,求数列 bn 的前2n项和.【解题提示】（1）利用 an,Sn的关系求解，（2）分组求和。项和是否存在正整数使得若存在求的最小值若不存在说明理由解题指南由成等比数列可求得公差从而根据通项公式表示出数列的通项根据的通项公式表示出的前项和公式令解此不等式解析设数列的公差为依题意成等比数列故有化简正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满足题意的其最小值为湖北高考理科已知等差数列满足且成等比数列求数列的通项公式记为

10、数列的前项和是否存在正整数使得若存在求值若不存在说明理由的最小解题解析设数列的公差为依题意成等比数列的通故有化简得解得或当时当时从而得数列的通项公式为或当时显然此时不存在正整数使得成立当时令即解得或舍去此时存在正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满 T19)(14 分)设各项均为正数的数列 an的前 n 项和为 S,且 S 满足 q2-(n2+n-3)S-3(n2+n)=0,n N*.(1)求 a1的值.(2)求数列an的通项公式.1 1 1 1(3)证明：对一切正整数 n,有+v-印 1)a?1)an(an 1)3【解题提示】(1)可直接令 n=1.(2)用 n 表示出

11、S,利用 an=S-Sn-1(n2).(3)先对每一项进行放缩再裂项相消整理求和【解析】(1)令 n=1,则$=州 32-(12+1-3冷1-3(12+1)=0,即 q2+a1-6=0,解得 a1=2 或 a1=-3(舍去).(2)Sn2-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0 可以整理为(Sn+3)Sn-(n2+n)=0,当n 2时，an Sn Sn 1 2 n n(n 1)2(n 1)n 2 2 1 1?故数列 an的通项公式为an n (2)由(1)知，bn 2n 1 n n,记数列b n的前 2n 项和为T2n，则T2n(21 22 22n)(1 2 3 4 2n)记A 21 22

12、22n,B 1 2 3 4 2n,则A 2(1 22n)1 2?2 n 1 2 【解析】(1)当n 1时，ai Si 1;B(1 2)(3 4)(2n 1)2n n 故数列bn的前 2n 项和T2n AB 22n 1 n 2 5.(2014 广东高考文科 项和是否存在正整数使得若存在求的最小值若不存在说明理由解题指南由成等比数列可求得公差从而根据通项公式表示出数列的通项根据的通项公式表示出的前项和公式令解此不等式解析设数列的公差为依题意成等比数列故有化简正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满足题意的其最小值为湖北高考理科已知等差数列满足且成等比数列求数列的通项公式记为数列的

13、前项和是否存在正整数使得若存在求值若不存在说明理由的最小解题解析设数列的公差为依题意成等比数列的通故有化简得解得或当时当时从而得数列的通项公式为或当时显然此时不存在正整数使得成立当时令即解得或舍去此时存在正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满 求Sn;求正整数 k，使得对任意n N，均有$&.因为数列an中 an0,所以Si工-3,只有 Sn=n+n.2 2 当 n 时，an=S-S n-i=n+n-(n-1)-(n-1)=2n,而 ai=2,所以数列an的通项公式为 an=2n(n N).(3)因为 1=1=1 an(an 1)2n(2n 1)4 1 1 1(n-)(n

14、1-)4 4 1=1 1 1 1(n-)(n 1-)n 4 4 4 所以 1 1 1+.+-印心1 1)a2(a2 1)an(an 1)_ 1 1 1=4厂厂 1 n 1 4 4 1 1 1=_ _ 3 4n 3 3 1 1 1 1 故对一切正整数 n,有 1一+丄+1 丄.厲 1)a?1)an(an 1)3 6.(2014 浙江高考理科 T 19)(本题满分 14 分)已知数列和 S 满足叩2 an 2 n N.若为等比数列，且 2,b3 6 b2(1)求 an 与bn;(2)设 an bn，记数列Cn的前 n 项和为Sn 项和是否存在正整数使得若存在求的最小值若不存在说明理由解题指南由成等

15、比数列可求得公差从而根据通项公式表示出数列的通项根据的通项公式表示出的前项和公式令解此不等式解析设数列的公差为依题意成等比数列故有化简正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满足题意的其最小值为湖北高考理科已知等差数列满足且成等比数列求数列的通项公式记为数列的前项和是否存在正整数使得若存在求值若不存在说明理由的最小解题解析设数列的公差为依题意成等比数列的通故有化简得解得或当时当时从而得数列的通项公式为或当时显然此时不存在正整数使得成立当时令即解得或舍去此时存在正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满 所以，当 n5 时，Cn 0,C3 0,c40；(n 1)(

16、n 2)(n 1)(n 2*1 2*1 七)(n N)所以 1 1 TH 刁(n Cn 当心 5 时，1 n(n 1)n(n 1)1 n(n 得 P 1)三 5(5 2 J 1 1.项和是否存在正整数使得若存在求的最小值若不存在说明理由解题指南由成等比数列可求得公差从而根据通项公式表示出数列的通项根据的通项公式表示出的前项和公式令解此不等式解析设数列的公差为依题意成等比数列故有化简正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满足题意的其最小值为湖北高考理科已知等差数列满足且成等比数列求数列的通项公式记为数列的前项和是否存在正整数使得若存在求值若不存在说明理由的最小解题解析设数列的公

17、差为依题意成等比数列的通故有化简得解得或当时当时从而得数列的通项公式为或当时显然此时不存在正整数使得成立当时令即解得或舍去此时存在正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满1 2(1)依题意，-a2 a3 3a2,x 6;3 3 1 又84 3為,3 1 1 q 1时，不等式恒成立 3 综上，q的取值范围为1 q 2 3 设公差为d,显然，当k 1000,d 0时，是一组符合题意的解，故kmax 1000 则由已知得1+(；2)d 1(k 1)d 3(1(k 2)d)(2 k 1)d 2(2k 5)d 2 2 2 当k 100C时，不等式即d,d -2k 1 2k 5 6；x

18、27;综上可得;3(2)由已知得,an qn,又 a a?3a,3 当q 1时，Sn 当12qn 2 1,得 q2 3q 3,此不等式即3q1 3n 2 n 1 q 1 0 0 qn+1 1 q 1 Qq 对于不等式qn1 3qn+2 0,又当1 q 2时，q 3 0 qn(q 3)2 0,解得1 n 1 n.c q 3q+2 1 q 2 当1 q 1时,3 q(q 3)2(q 1)(q 2)0成立 此不等式即 3q 1 0,q n 1 n 3q q n 1 n.c q 3q+2 n 1 q 1 sn sn 1 1 q 3 n 1 n 3q q 2 0 n 1 c n c c q 3q 2 0

19、 0 1 qn+1 1 q 3 2=q(3q-1)-21,都有 m N*,使得 a,an,am成等比数列.【解题指南】利用 an=Sn-Sn-1(门2)解决.(2)a1,an,am成等比数列，转化为=a1 am.【解析】(1)当 n=1 时 a1=S1=1;当 n2 时 an=Sn-Sn-1=-=3n-2对 n=1 也满足，所以的通项公式为 an=3n-2;(2)证明：由(1)得 a1=1,an=3n-2,am=3m-2,要使 a1,an,am成等比数列,需要=a1 am,所以(3n-2)=3m-2,整理得 m=3n-4n+2 N，所以对任意 n1,都有 m N 使得=a1 am成立，即 a1

20、,an,am成等比数列.1 9(2014 上海咼考文科 23)已知数列an满足一an an 1 3an,n N*,a1 1.3(2)若a2 2,a3 x,a4 9，求x的取值范围；1(3)若an是等比数列，且am，求正整数m的最小值，以及 m取最小值时相应 1000 an的公比；d 的取值范围为 d 2 2k 1.999000,2000 2k 1998 1 项和是否存在正整数使得若存在求的最小值若不存在说明理由解题指南由成等比数列可求得公差从而根据通项公式表示出数列的通项根据的通项公式表示出的前项和公式令解此不等式解析设数列的公差为依题意成等比数列故有化简正整数使得成立的最小值为综上当时不存在

21、满足题意的当时存在满足题意的其最小值为湖北高考理科已知等差数列满足且成等比数列求数列的通项公式记为数列的前项和是否存在正整数使得若存在求值若不存在说明理由的最小解题解析设数列的公差为依题意成等比数列的通故有化简得解得或当时当时从而得数列的通项公式为或当时显然此时不存在正整数使得成立当时令即解得或舍去此时存在正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满(3)若 aa2丄，印0。成等差数列，求数列 aa2丄的公差的取值范围.【解题指南】项和是否存在正整数使得若存在求的最小值若不存在说明理由解题指南由成等比数列可求得公差从而根据通项公式表示出数列的通项根据的通项公式表示出的前项和公式令

22、解此不等式解析设数列的公差为依题意成等比数列故有化简正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满足题意的其最小值为湖北高考理科已知等差数列满足且成等比数列求数列的通项公式记为数列的前项和是否存在正整数使得若存在求值若不存在说明理由的最小解题解析设数列的公差为依题意成等比数列的通故有化简得解得或当时当时从而得数列的通项公式为或当时显然此时不存在正整数使得成立当时令即解得或舍去此时存在正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满 (1)根据!a2 3 a3 3a2,1 a3 a4 3a4可求得 x 的范围.(2)根据1 a1 3 3 再根据通项将 m 用 q 表示出来，

23、用放缩法求解.(3).根据 lan 3 a2 3a,可把 q 的范围求出,an 1 3an,可得公差 d 的关系式,对 n 分类讨论可得.【解析】、1(1)依题意，-a2 a3 3a2 3 2 3%6;1 又-a3 a4 3a4,3 x 27综上可得;3 x 6;(2)设公比为q,由已知得,an 1 qn1,又 1a1 3 a2 3q,故山1=盘 m 1 logq 1000 1-q 3 1 1-logi000q 3 lgq m的最小值为8,故q7 1000 3 lg1 1 7.28 3 107 1000(3)设公差为d,由已知可得1+(n 2)d 其中2 n 100即(2n 1)d(2n 5)

24、d(n 1)d 3(1(n 2)d),n 100寸,不等式即d 2 2n 5 2 200 1 2 199 2,2.199 10.(2014 山东高考理科 T 19)已知等差数列 综上，公差d的取值范围为 an的公差为 2,前n项和为Sn，且S,S2,S4成等比数列.(I)求数列 an的通项公式;A门(1)n1，求数列bn的前n项和Tn.anan 1【解题指南】(1)先设出等差数列的首项.然后根据已知条件可列方程组求得数列 an的 项和是否存在正整数使得若存在求的最小值若不存在说明理由解题指南由成等比数列可求得公差从而根据通项公式表示出数列的通项根据的通项公式表示出的前项和公式令解此不等式解析设

25、数列的公差为依题意成等比数列故有化简正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满足题意的其最小值为湖北高考理科已知等差数列满足且成等比数列求数列的通项公式记为数列的前项和是否存在正整数使得若存在求值若不存在说明理由的最小解题解析设数列的公差为依题意成等比数列的通故有化简得解得或当时当时从而得数列的通项公式为或当时显然此时不存在正整数使得成立当时令即解得或舍去此时存在正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满通项公式.（2）利用裂项求和法求解，注意本题是将数列 数和偶数来求数列 bn的前 n 项和.S1,S2,S4 成等比 S2 S1S4 解得 a1 1,an 2n

26、 1 通项公式.（2）分奇数项和偶数项来讨论求数列的和【解析】：（I）由题意知:an为等差数列，设an印 a?为印与a4的等比中项 an 2(n 1)2 2n【解析】(I)d 2,S&,S2 2ai d,S4 4ai 6d,2 a：a4且 a1 0，即卩 a1 d2 a1 a1 3d，d 2 解得:bn裂成两项之和，然后再分奇(II)bn(仁出 anan 1 1)n 2n 11)当 n 为偶数时，Tn（1 1(3 5 5 7 1)(1 4)所以 Tn 1 2n 1 当 n 为奇数时，Tn（1 所以 Tn 1 2n 1 1 3)2n 2n 1 1 1 1 1 1-)()()3 3 5 5 7 2

27、n 2 2n 1 1(2n 3 1 2n 1)1(2n 1（的 所以 Tn 兀，n 为偶数 2n 1 红二，n 为奇数 2n 1 11.（2014 山东高考文科 T 在等差数列 an中，已知 d 2，19)a2是 a1与 a4等比中项.（I）求数列 an的通项公式;(U)设 bn ann 1，记 Tn 2 b2 b3 n r、L 1b，求 Tn.【解题指南】（1）先设出等差数列的首项 1 2n 1).然后根据已知条件可列方程组求得数列 an的 项和是否存在正整数使得若存在求的最小值若不存在说明理由解题指南由成等比数列可求得公差从而根据通项公式表示出数列的通项根据的通项公式表示出的前项和公式令解

28、此不等式解析设数列的公差为依题意成等比数列故有化简正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满足题意的其最小值为湖北高考理科已知等差数列满足且成等比数列求数列的通项公式记为数列的前项和是否存在正整数使得若存在求值若不存在说明理由的最小解题解析设数列的公差为依题意成等比数列的通故有化简得解得或当时当时从而得数列的通项公式为或当时显然此时不存在正整数使得成立当时令即解得或舍去此时存在正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满(U)由(I)知：an 2n,bn an(n 1)n(n 1)当 n 为偶数时：Tn 122334 nn1 2 1 3 4 3 5 n n 1 n

29、 1 2 2 4 2 6 2 n 2 2 2 4 6 n 2 2 n n 2 2 n 2n 2 2 当-为奇数时：Tn 1 2 2 3 3 4 n n 1 2 1 3 4 3 5 n 1 n 2 n n n 1 2 2 4 2 6 2 n 1 2 n n 1 2 2 4 6 n 1 n n 1 2 2 n 1 n 1 2 n n 1 n 2 2n 1 2 2 n 2 2n 1-为奇数 2 -2n,n 为偶数 2 江西高考理科 T17)已知首项都是 1 的两个数列a-bn(bn工 0,n N*),满足 anbn+1-a n+1 bn+2bn+1bn=0 令Cn=,求数列Cn的通项公式.(2)若

30、bn=3n+1,求数列an的前 n 项和 S.【解题指南】(1)将等式两端同时除以 bnbn+1即可求解.(2)由(1)及 bn=3n+1可得数列an的通项公式，分析通项公式的特征利用错位相减法求 S.【解析】(1)因为 bn0,所以由 anbn+1-a n+1 bn+2bn+1bn=0,得-+2=0,即-=2,综上：Tn 12.项和是否存在正整数使得若存在求的最小值若不存在说明理由解题指南由成等比数列可求得公差从而根据通项公式表示出数列的通项根据的通项公式表示出的前项和公式令解此不等式解析设数列的公差为依题意成等比数列故有化简正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满足题意的

31、其最小值为湖北高考理科已知等差数列满足且成等比数列求数列的通项公式记为数列的前项和是否存在正整数使得若存在求值若不存在说明理由的最小解题解析设数列的公差为依题意成等比数列的通故有化简得解得或当时当时从而得数列的通项公式为或当时显然此时不存在正整数使得成立当时令即解得或舍去此时存在正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满所以 Cn+1-C n=2,所以Cn是以 C1=1 为首项,2 为公差的等差数列，项和是否存在正整数使得若存在求的最小值若不存在说明理由解题指南由成等比数列可求得公差从而根据通项公式表示出数列的通项根据的通项公式表示出的前项和公式令解此不等式解析设数列的公差为依

32、题意成等比数列故有化简正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满足题意的其最小值为湖北高考理科已知等差数列满足且成等比数列求数列的通项公式记为数列的前项和是否存在正整数使得若存在求值若不存在说明理由的最小解题解析设数列的公差为依题意成等比数列的通故有化简得解得或当时当时从而得数列的通项公式为或当时显然此时不存在正整数使得成立当时令即解得或舍去此时存在正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满所以 Cn=1+(n-1)X2=2n-1.(2)因为 bn=3,Cn=2n-1 所以 an=Cnbn=(2 门-1)3.所以 S=1 X32+3 X33+5 X34+-+(2

33、n-1)3n+1,3S=1 X33+3 X34+(2 n-3)3n+1+(2 n-1)3n+2,作差得：-2Sn=32+2(33+34+3n+1)-(2n-1)3n+2=9+2 X-(2 n-1)3n+2=-18+2(n-1)3n+2,所以 S=9+(n-1)3n+2.13.(2014 安徽高考文科 T 18)数列an满足印1,nan 1(n 1)a“n(n 1),n(1)证明：数列%是等差数列；n(2)设 bn 3nan，求数列bn的前n项和Sn【解题提示】利用等差数列的定义、错位相消法分别求解。【解析】(1)由已知可得 竝二空+1?也 岂=1，所以勺是以 1 为首项，1 n+1 n n+1

34、 n n 的等差数列。(2)由(1)得=1+(n-1)=n，所以 an=n?,从而 bn=n.3“，n Sn=1.31+2.32+3.33+.+n.3 n 3Sn=1.32+2.33+3.34+.+(n-1)3 n+n.3 n+1 1 2 3 n n+1 3.(1-3)n+1(1-2n).3-3 将以上两式联立可得-2Sn=3+3+3+.+3-n.3=-n.3=1-3 2 所以W3 4 a1=1,an+1=3a n+1.为公差 14.(2014 新课标全国卷U高考理科数学 T17)(本小题满分 12 分)已知数列 an满足 项和是否存在正整数使得若存在求的最小值若不存在说明理由解题指南由成等比

35、数列可求得公差从而根据通项公式表示出数列的通项根据的通项公式表示出的前项和公式令解此不等式解析设数列的公差为依题意成等比数列故有化简正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满足题意的其最小值为湖北高考理科已知等差数列满足且成等比数列求数列的通项公式记为数列的前项和是否存在正整数使得若存在求值若不存在说明理由的最小解题解析设数列的公差为依题意成等比数列的通故有化简得解得或当时当时从而得数列的通项公式为或当时显然此时不存在正整数使得成立当时令即解得或舍去此时存在正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满 1 1 将 an+1=3an+1 进行配凑,得“an+i+丄”

36、与“an+丄”的关系,得证撚后求得 2 2 an的通项公式(2)求得 1-的通项公式，然后证得不等式.an【解析】(1)因为 a1=1,an+1=3an+1,n N.所以 an+1 1+=3an+1+1=3 an 1 2 2 2 所以 an 1 1 是首项为 a1+:3=-,公比为3的等比数列 2 2 2 所以 an+1=3n=3n 1,所以 an=2 2 2 的图象上(n N*)(1)若a1 2，点8,钳)在函数f(x)的图象上，求数列an的前n项和&;1(2)若a1 1，函数f(x)的图象在点 24)处的切线在x轴上的截距为2，求数列 In 2(1)证明an-是等比数列,并求 an的通项公

37、式 2(2)证明:1+1+丄 1 时,印 1=2 an=厂 1 -3n 丄1+丄+丄+an 31 c 32 3n 1 1 3n 3 2 1 1 1 3*+-+一.n N a1 a2 an 2 15.(2014 四川高考理科 T 19)设等差数列 an的公差为 d，点(an,bn)在函数f(x)2x 1 1 1 3 a a 2 所以,项和是否存在正整数使得若存在求的最小值若不存在说明理由解题指南由成等比数列可求得公差从而根据通项公式表示出数列的通项根据的通项公式表示出的前项和公式令解此不等式解析设数列的公差为依题意成等比数列故有化简正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满足题意

38、的其最小值为湖北高考理科已知等差数列满足且成等比数列求数列的通项公式记为数列的前项和是否存在正整数使得若存在求值若不存在说明理由的最小解题解析设数列的公差为依题意成等比数列的通故有化简得解得或当时当时从而得数列的通项公式为或当时显然此时不存在正整数使得成立当时令即解得或舍去此时存在正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满誥的前n项和.【解题提示】本题主要考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公项和是否存在正整数使得若存在求的最小值若不存在说明理由解题指南由成等比数列可求得公差从而根据通项公式表示出数列的通项根据的通项公式表示出的前项和公式令解此不等式解析设数列

39、的公差为依题意成等比数列故有化简正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满足题意的其最小值为湖北高考理科已知等差数列满足且成等比数列求数列的通项公式记为数列的前项和是否存在正整数使得若存在求值若不存在说明理由的最小解题解析设数列的公差为依题意成等比数列的通故有化简得解得或当时当时从而得数列的通项公式为或当时显然此时不存在正整数使得成立当时令即解得或舍去此时存在正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满 的图象上(nN).(1)证明：数列bn为等比数列；1(2)若a1 1，函数f(x)的图象在点)处的切线在x轴上的截距为2，求数列 In 2 2 anbn的前n项和

40、Sn.【解题提示】本题主要考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公 式和前 n 项和、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力【解析】(1)点(an,bn)在函数f(x)2x的图象上，所以bn 2%0,又等差数列an的 公差为 d，当 n 1时，严 2，2an1 an 2d，所以，数列bn是首项为 2a1，公比为 2d 的等比数列.(2)由 f(x)2x f(x)2xln 2 函数f(x)的图象在点 b)处的切线方程为 y b2(2a21n2)(x a?)1 1 1 所以切线在x轴上的截距为a2，从而a2 2，故a2 2，In 2 In 2 In 2 所以 d

41、a2 a1 1，从而 an n，b 2n，anbn2 n 4n，第 14 页共 15 页式和前 n 项和、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力【解析】(1)点(an,bn)在函数f(x)2x的图象上，为 d，所以乩 bn 2an 1 2an 1 a a 2 2 n 2d，所以 bn 2an，又等差数列 an的公差 因为点(a8,4b7)在函数 f(x)的图象上，所以46 2a8 b8，所以 2d b8 b7 又a1(2)函数 n(n 1)2 d 2n n 2 由 f(x)2x f(x)2xln2 f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程为 丄，从而 ln 2 n 班 2，所以Sn 所

42、以切线在 从而 an Tn 1-Tn 2 所以Tn 2 故Tn 2 nq x轴上的截距为 n，bn 2n，2 2 L 22 23 2 3 3 4 L 2 2 1 1 1 2 22 23 n 2 2n.16.(2014 四川高考文科 a2 a2 b2 1 ln2(2a a2)ln 2)(x 需，故 a2 On bn n 2n n 班1 土 L 1 n 2*2*1 1 _ 2n 2 1 口 2“1 T 19)设等差数列 an的公差为 d，点(an,bn)在函数f(x)2x 项和是否存在正整数使得若存在求的最小值若不存在说明理由解题指南由成等比数列可求得公差从而根据通项公式表示出数列的通项根据的通项

43、公式表示出的前项和公式令解此不等式解析设数列的公差为依题意成等比数列故有化简正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满足题意的其最小值为湖北高考理科已知等差数列满足且成等比数列求数列的通项公式记为数列的前项和是否存在正整数使得若存在求值若不存在说明理由的最小解题解析设数列的公差为依题意成等比数列的通故有化简得解得或当时当时从而得数列的通项公式为或当时显然此时不存在正整数使得成立当时令即解得或舍去此时存在正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满 所以 Tn斗 an的前n项和.设 bn是首项为 2 的等比数列，公比 q 满足q2(a4 1)q S4 及其前n项和T

44、n.【解题提示】直接根据等差等比数列的性质求解通项公式及前 n项和.【解析】(1)因为 an是首项为1,公差为 2 的等差数列，所以 an a1(n 1)d 2n 1.n(a1 an)n(1 2n 1)2 故 Sn 1 3 L(2 n 1)1 n n2.2 2 由(1)得 a4 7,S4 16.因为 q2 4 1)q S4 0.即 q2 8q 16 0,所以(q 4)2 0,从而q 4.又因为b1 2,bn是公比为 4 的等比数列，所以 bn dqn 1 2?4n 1 22n 1.从而 bn的前n项和Tn b1(1)2(4n 1).1 q 3 于是 Tn 1 4 2 42 2 3 4Tn 1

45、4 2 4 3 43 L 3 44 L n n 4 n n 4 所以 Tn 4Tn 4 42 43 4n n 4n 1 1 4n1 4 n 1 n 4 3(1 3n)4n 1 4 17.(2014 重庆高考文科 T 16)已知 an是首项为 1,公差为 2 的等差数列，Sn表(1)求an及Sn 0.求 bn的通项公式 项和是否存在正整数使得若存在求的最小值若不存在说明理由解题指南由成等比数列可求得公差从而根据通项公式表示出数列的通项根据的通项公式表示出的前项和公式令解此不等式解析设数列的公差为依题意成等比数列故有化简正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满足题意的其最小值为湖北高考理科已知等差数列满足且成等比数列求数列的通项公式记为数列的前项和是否存在正整数使得若存在求值若不存在说明理由的最小解题解析设数列的公差为依题意成等比数列的通故有化简得解得或当时当时从而得数列的通项公式为或当时显然此时不存在正整数使得成立当时令即解得或舍去此时存在正整数使得成立的最小值为综上当时不存在满足题意的当时存在满