扬州市2024届高三上学期期初考试模拟试题数学学科含答案.pdf

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1、第 1 页，共 4 页 扬州市扬州市 20242024 届高三上学期期初考试模拟试题届高三上学期期初考试模拟试题 数学数学学科学科 一、一、单项单项选择题：本题共选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的.1已知集合()()120Ax xx=+的左、右焦点分别为1F、2F，过1F的直线与椭圆交于 M、N两点，若2MNF的周长为 16，离心率12e=，则2MNF面积的最大值为（）A12 B23 C43 D83 第 2 页，共 4 页 7已知sincos

2、16+=，则7sin6+=（）A33B23C23D338设函数 f（x）=logax（a0，a1），若 f（x1x2x2018）=4，则 f（x12）+f（x12）+f（x20182）的值等于（）A4 B8 C16 D42log 8 二、二、多项多项选择题：本题共选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得求全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分.9已知复数12zi=，则下列说法正确的是（）A复数

3、z的实部是 1，虚部是 2 B复数z的模为5 C复数5iz z=D复数z是方程2250 xx+=的一个根 10如图，直四棱柱1111ABCDABC D中，底面 ABCD为平行四边形，1112ABAAAD=，点 P 是经过点1B的半圆弧11AD上的动点（不包括端点），点 Q是经过点 D的半圆弧BC上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（）A四面体 PBCQ 的体积是定值 B1AD AP 的取值范围是()0,4 C若1C Q与平面 ABCD所成的角为，则1tan2D若三棱锥PBCQ的外接球表面积为 S，则)4,13S 11定义：若存在非零常数 k，T，使得函数 f(x)满足 f(x+T)=f(

4、x)+k 对定义域内的任意实数 x 恒成立，则称函数 f(x)为“k 距周期函数”，其中 T称为函数的“类周期”则（）A一次函数均为“k 距周期函数”B存在某些二次函数为“k 距周期函数”C若“1 距周期函数”f(x)的“类周期”为 1，且 f（1）=1，则 f(x)=x D若 g(x)是周期为 2 函数，且函数 f(x)=x+g(x)在0，2上的值域为0，1，则函数 f(x)=x+g(x)在区间2n，2n+2上的值域为2n，2n+1 12设A，B是一个随机试验中的两个事件，且()13P A=，()34P B=，()12P AB+=，则（）A()16P AB=B()34P B A=C()()P

5、 BP B A=D()712P ABAB+=第 3 页，共 4 页 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13某产品的年广告费用x与年销售额y的统计数据如下表 年广告费用x（万元）4 2 3 5 年销售额y（万元）49 m39 54 经测算，年广告费用x与年销售额y满足线性回归方程9.49.1yx=+，则m的值为 14若nS为等差数列 na的前 n项和，且()1522,22nnaaSn an+=+，则数列 na的通项公式是 15方程3sin1cos2xx=+的解集为 16在ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已

6、知222222sin2sinsinCbacACcab=则角B的度数为四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知函数ln()axf xx+=，且()f x的图象在点(e,(e)f处的切线与直线2eeyx=+垂直(1)求 a的值及()f x的极值；(2)是否存在区间2,(0)3t tt+，使得函数()f x在此区间上存在极值和零点?若存在，求实数 t的取值范围；若不存在，请说明理由18设数列 na的前n项和为nS，且342nnSa=(1)求数列 na的通项公式；(2)设数列2l

7、ognnba=，对任意N,1mm，将数列 nb中落入区间(121,1mmaa+内的项的个数记为 mc，记数列 mc的前m项和为mS，求使得2022mS的最小整数m 19在2AE=，ACBD，EABEBA=，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答如图，在五面体ABCDE中，已知_，ACBC，/ED AC，且22ACBCED=，3DCDB=.(1)求证：平面ABE与平面ABC；(2)线段BC上是否存在一点F，使得平面AEF与平面ABE夹角的余弦值等于5 4343，若存在，求BFBC的第 4 页，共 4 页 值；若不存在，说明理由.20政府举办“全民健身乒乓球比赛”，比赛规则为：每队 4

8、 人，2 男（男 1 号，男 2 号），2 女（女 1 号，女 2 号），比赛时第一局两队男 1 号进行单打比赛，第二局两队女 1 号进行单打比赛，第三局两队各派一名男女运动员参加混双比赛，第四局两队男 2 号进行单打比赛，第五局两队女 2 号进行单打比赛，五局三胜，先胜 3 局的队获胜，比赛结束.某队中的男甲和男乙两名男队员，在比赛时，甲单打获胜的概率为23，乙单打获胜的概率为35，若甲排 1 号，男女混双获胜的概率为23；若乙排 1 号，男女混双获胜的概率为45（每局比赛相互之间不受影响）(1)记X表示男甲排 1 号时，该队第一局和男女混双两局比赛获胜局数，求X的分布列；(2)若要该队第一

9、局和男女混双这两局比赛获胜局数的数学期望大，甲、乙两人谁排 1 号？加以说明.21已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的上顶点为 M右顶点为 N.(点 O为坐标原点)的面积为 1，直线yx=被椭圆 C 所截得的线段长度为4 105.（1）椭圆 C的标准方程；（2）试判断椭圆 C 内是否存在圆222:()0O xyrr+=，使得圆 O 的任意一条切线与椭圆 C 交于 A，B两点时，满足OA OB 为定值？若存在，求出圆 O 的方程；若不存在，请说明理由.22已知函数()()()ln 21211f xxmx=+，mR.（1）若曲线()yf x=在()()22f,处的切线与直线320 xy+

10、=垂直，求函数()f x的极值；（2）若函数()yf x=的图象恒在直线1y=的下方.求m的取值范围；求证：对任意正整数1n，都有()()41ln2!5n nn+.答案第 1 页 试题解析 1D 解一元二次方程求集合A，由具体函数的定义域求集合B，再利用集合的并运算求AB即可.依题意，得12Axx=，故 C 正确；以 D 为原点，分别以1,DB DC DD 为x，y，z轴，建立空间直角坐标系：则()()()()113,0,0,0,1,0,3,1,1,0,0,1BCAD，线段BC的中点为 3 1,022M，线段11AD的中点为答案第 5 页 31,122N，设球心为 3 1,22Ot，(),1P

11、 x y，则2231122xy+=，由OPOB=得()222222231311312222xyttt+=+=+，化简得22223111211 22222txyyyy=+=+=，即12ty=，易知 112y，令()2ln0 xfxx=，得1x=，因为当(0,1)x时，0fx；当(1,)x+时，()0fx，又()f x在(0,1)上单调递增，且()22221 lneee0ef+=，所以由零点存在定理，得()f x在区间(0,1)内存在唯一零点若函数()f x在区间2,(0)3t tt+上存在极值和零点，则20131 ln()0tttf tt +=，解得113et，此时实数t的取值范围为1 1,3

12、e18(1)212nna=；(2)5（1）利用11,1,2nnnS naSSn=可求出数列 na的通项公式；答案第 9 页（2）由（1）得21nbn=，然后由1211mnmaba+，得222221mmn+的最小整数m的值.（1）当1n=时，11342Sa=，得12a=，当2n 时，由342nnSa=，得11342nnSa=，所以113342(42)nnnnSSaa=，1344nnnaaa=，所以14nnaa=，所以数列 na是以 2 为首项，4 为公比的等比数列，所以1212 42nnna=（2）由（1）得2122loglog 221nnnban=，因为数列 nb中落入区间(121,1mmaa

13、+内，所以1211mnmaba+，所以2(1)12(2)1212121mmn+，21232222mmn+，所以222221mmn+，得1442022mm+，即142026mm+，当4m=时，4 1441024410282026+=+=，答案第 10 页 因为14mm+随m的增大而增大，所以2022mS的最小整数为 5.19(1)证明见解析；(2)存在；34BFBC=.（1）若选，取AC中点G，BC中点O，AB中点H，可证得四边形EDCG为平行四边形，从而利用勾股定理和平行关系证得ACCD，由线面垂直和面面垂直判定得到平面ABC平面BCD，利用面面垂直性质可证得DO 平面ABC；若选，取BC中点

14、O，AB中点H，由线面垂直和面面垂直的判定可证得平面ABC平面BCD，利用面面垂直性质可证得DO 平面ABC；若选，取BC中点O，AB中点H，根据长度和平行关系可证得四边形DEHO为平行四边形，由此确定12EHAB=，得到AEBE，结合AEBE=可得2BE=，从而利用勾股定理和平行关系证得ACBD，由线面垂直和面面垂直判定得到平面ABC平面BCD，利用面面垂直性质可证得DO 平面ABC；三个条件均可说明,DO OH BC两两互相垂直，则以O为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面垂直的向量证明方法可证得结论；（2）假设存在满足题意的点()()0,011Ftt ，利用二面角的向量求法可构造方程求

15、得12t=，由此可确定F点位置，得到BFBC的值.（1）若选，取AC中点G，BC中点O，AB中点H，连接,EG DO OH，答案第 11 页/ED AC，12CGACED=，四边形EDCG为平行四边形，/EG CD，3EG=，又112AGAC=，2AE=，222AGEGAE+=，AGEG，又/CD EG，ACCD，又ACBC，BCCDC=，,BC CD 平面BCD，AC平面BCD，AC 平面ABC，平面ABC平面BCD，BDCD=，DOBC，又DO 平面BCD，平面BCD平面ABCBC=，DO平面ABC，又/OH AC，ACBC，OHBC；若选，ACBD，ACBC，BCBDB=，,BC BD

16、平面BCD，AC平面BCD，AC 平面ABC，平面ABC平面BCD，取BC中点O，AB中点H，连接,DO OH，BDCD=，DOBC，又DO 平面BCD，平面BCD平面ABCBC=，DO平面ABC，又/OH AC，ACBC，OHBC；若选，取BC中点O，AB中点H，连接,OD OH EH，3DCBD=，DOBC，又2BC=，2DO=；答案第 12 页,O H分别为,BC AB中点，1/2OHAC，又1/2EDAC，/OH ED，四边形DEHO为平行四边形，2EHDO=；ACBC，2ACBC=，2 2AB=，12EHAB=，AEBE，EABEBA=，2=BEAE，222BDDEBE+=，BDDE

17、，又/DE AC，ACBD，又ACBC，BCBDB=，,BC BD 平面BCD，AC平面BCD，AC 平面ABC，平面ABC平面BCD，又DOBC，DO 平面BCD，平面BCD平面ABCBC=，DO平面ABC，又/OH AC，ACBC，OHBC；综上所述：,DO OH BC两两互相垂直，则以O为坐标原点，,OD OH OB 为,x y z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()2,1,0A，()0,1,0B，()1,0,2E，()2,2,0AB=，()1,1,2BE=，DO 平面ABC，平面ABC的一个法向量()0,0,1m=；设平面ABE的法向量()1111,xny z=，则11111112

18、2020AB nxyBE nxyz=+=+=，令11x=，解得：11y=，10z=，()11,1,0n，10m n=，即1mn，平面ABE与平面ABC.答案第 13 页（2）设在线段BC上存在点()()0,011Ftt ，使得平面AEF与平面ABE夹角的余弦值等于5 4343，由（1）得：()1,2EFt=，()1,1,2AE=，设平面AEF的法向量()2222,nxy z=，则222222222020AE nxyzEF nxtyz=+=+=，令21y=，则212tx+=，()2214tz=，()2211,1,24ttn+=；()11,1,0n()12122212115 432cos,4311

19、2128tn nn nnntt+=+，化简可得：221370tt=，解得：12t=或7t=（舍），10,02F，32BF=，34BFBC=；综上所述：在线段BC上存在点F，满足34BFBC=，使得平面AEF与平面ABE夹角的余弦值等于5 4343.20(1)答案见解析(2)乙排 1 号，理由见解析（1）求出X的可能取值及对应的概率，得到分布列；（2）在（1）的基础上，求出男甲排 1 号时的期望值，再求出男甲排 1 号时的期望值，比较后得到结论.（1）X的可能取值为0,1,2，()221011339P X=，()2222411133339P X=+=，()2242339P X=，故分布列为：X0

20、 1 2 答案第 14 页 P194949（2）由（1）知，甲排 1 号时，期望值为()14440129993E x=+=，设Y表示男乙排 1 号时，该队第一局和男女混双两局比赛获胜局数，则Y的可能取值为0,1,2，则()3420115525P Y=，()343411111555525P Y=+=，()341225525P Y=，故期望值为()2111270122525255E Y=+=，因为4735，故乙排 1 号时期望值更大.21（1）2214xy+=；（2）存在，方程为2245xy+=.（1）根据条件，列出关于,a b的方程组，求椭圆的标准方程；（2）当斜率存在时，设直线ykxm=+，与

21、椭圆方程联立，得到韦达定理，结合直线与圆相切，得到2221mrk=+，并代入OA OB 的坐标表示，利用定值与k无关，求得圆的方程，当斜率不存在时，可直接求得点,A B的坐标，得到OA OB 的值，求得圆的的方程.（1）由题意知(0,)Mb，(,0)N a，由112ab=，得2ab=.设直线yx=与椭圆C交于点()00,P x x，()00,Qxx，则220|8PQx=.把()00,P x x代入椭圆方程，得222022a bxab=+，故22222284 10|5a bPQab=+，即222245a bab=+.由，解得2241ab=或2214ab=(舍去)，所以椭圆C的标准方程为2214x

22、y+=.（2）假设存在这样的圆O，设OA OB=.答案第 15 页 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm=+.由2214ykxmxy=+=，得()222148440kxkmxm+=.设()11,A x y，()22,B xy，则122814kmxxk+=+，21224414mx xk=+.故()()()222221212121222448111414mkmOA OBx xy ykx xkm xxmkkmmkk=+=+=+=+22254414mkk=+.由2|1mrk=+，得2221mrk=+.由，得()()22254114rkk+=+，当与k无关时，0=，245r=，即圆O的半径

23、为2 55.当直线AB的斜率不存在时，若直线AB的方程为2 55x=，将其代入椭圆C的方程，得2 5 2 5,55A，2 52 5,55B，此时0OA OB=.若直线AB的方程为2 55x=，同理可得0OA OB=.综上，存在满足题意的圆O，其方程为2245xy+=.解决存在性问题的注意事项：（1）存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在；（2）当条件和结论不唯一时，要分类讨论；（3）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；（3）当条件和结论都未知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径。22（1）极大值为ln2，无极小值；

24、（2）1,e+；见解析.（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义及直线垂直时斜率的关系可求m，然后结合单调性可求极值；答案第 16 页（2）由已知可得()()ln 21210 xmx恒成立，分离参数后通过构造函数，转化为求解相应函数的最值，结合导数可求；结合可得()()2 21ln 215xx恒成立，赋值()21kxkN=，可得2ln5kk.令()0fx=，得32x=.当32x 时，()0fx；当1322x时，0fx.所以，函数()yf x=的单调递增区间为1 3,2 2，单调递减区间为3,2+.所以，函数()yf x=的极大值为333ln2ln2222f=+=，无极小值；（2）由条件知，只

25、需()1f x，即()()ln 21210 xmx恒成立，即()()21ln 21mxx，其中12x，令210tx=，则lnmtt，即lnlntmttmt，构造函数()lntg tt=，则()21 lntg tt=，令()0g t=，得te=，列表如下：t()0,ee(),e+()g t+0 ()g t 极大值 所以，函数()yg t=的单调递增区间为()0,e，单调递减区间为(),e+，所以，()()max1g tg ee=，1me，因此，实数m的取值范围是1,e+；答案第 17 页 由可知，当25m=时，()()2 21ln 215xx恒成立，令()21kxkN=，则2ln5kk，所以()()()()212412ln1 ln2ln3ln 21232555nnn nnn+=，所以()()41ln2!5n nn+.本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数及利用分离法求解参数范围问题，体现了转化思想的应用，属于难题.