大一数学下学期知识点中学教育试题_中学教育-中学课件.pdf

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1、数学总结 第八章 空间解析几何与向量代数 一、向量 1.概念：既有大小又有方向的量。2.线性运算：1向量的加减：cab rrr 2数乘：aarr 3.向量与坐标间的一一对应关系 ,rx y zr 4.模、方向角、投影 模：222221xyzac 方向角：cosxrr cosyrr coszrr 投影：（向量rr在 u 轴上的投影）uuprj rrrr或 5.数量积：cos(,)a baba b r rrrr r 22aarr cos(,)a ba babr rr rrr 数量积满足交换律、分配律、结合律。6.向量积：cab rrr sin(,)caba b rrrr r 0aa rrr 二、曲

2、线及空间曲线 1.曲面：（1）方程：F（x,y,z）=0 (2)几种常见曲面方程 圆锥面：22coszxy 旋转单叶双曲面：222221xyzac 旋转双叶双曲面：222221xyzac 圆柱面：222yxR 抛物柱面：22pxy 椭圆柱面：22221xyab 双曲柱面：22221xyab 椭圆锥面：22222xyabz 椭球面：2222221xyzabc 单叶双曲面：2222221xyzabc 双叶双曲面：2222221xyzabc 椭圆抛物面：2222xyzab 双曲抛物面：2222xyzab 2.空间曲线 （1）一般方程:(,)0(,)0F x y zG x y z (2)参数方程：()

3、()()xx tyy tzz t （3）空间曲线在坐标面上的投影 在 xoy 面上的投影.消去 z,得(,)0H x y 投影为(,)00H x yz 间的一一对应关系模方向角投影模方向角投影向量在轴上的投影或数量积数量积满足交换律分配律结合律向量积二曲线及空间曲线曲面方程几种常见曲面方程圆锥面旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面圆柱面抛物柱面椭圆柱面双曲柱面投影在面上的投影消去得投影为三平面及空间曲线平面点法式方程其中法向量一般式方程截距式方程两平面夹角空间直线一般方程对称式方程方向向量第九章多元函数微分及其应用一多元函数的极限及连续性极限设二元函数的定义记作连续性设二元函数的定义域为是的聚点且则称

4、为函数在点如果连续二多元函数微分法偏导数以二元函数为例如果只有自变量变化而自变量固定这函数对的导数就称为二元函数对的偏导数函数在点处对的偏导数记作偏导函数在区三、平面及空间曲线 1.平面 （1）点法式方程：000()()()0A xxB yyC zz 其中(,)nA B Cr法向量 （2）一般式方程：0AxByCzD (3)截距式方程：1xyzabc (4)两平面夹角：12coscos,nnuuu ruu r 2.空间直线 （1）一般方程：1111222200AxB yC zDA xB yC zD(2)对称式方程：000 xxyyzzmnp 方向向量(,)sm n pr 第九章 多元函数微分及

5、其应用 一、多元函数的极限及连续性 1.极限：设二元函数()(,)f Pf x y的定义域为 D，000,Pxy是 D 的聚点。如果存在常数 A，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点.0,(,)P x yDU p I时，都有 (),f pAf x yA p成立，那么就称常数A为函数,f x y当 00,x yxy时的极限，记作 00,(,)limx yxyf x yA 2.连续性：设二元函数()(,)f Pf x y的定义域为 D，000,Pxy是 D 的聚点，且0PD,如果 0000,(,),limx yxyf x yf xy，则称为函数,f x y在点000,Pxy连续。二、多元函数微

6、分法 1.偏导数 （1）以二元函数,zf x y为例，如果只有自变量x变化，而自变量y固定，这函数对x的导数就称为二元函数,zf x y对x的偏导数。函数,zf x y在点00,xy处对x的偏导数，记作00 x xy yzx，00 x xy yfx，00 x xxy yz，00 x xxy yf。（2）偏导函数:,zf x y在区域 D 内每一点,x y处对x的偏导数都存在，记作zx，fx，xz，,xfx y。间的一一对应关系模方向角投影模方向角投影向量在轴上的投影或数量积数量积满足交换律分配律结合律向量积二曲线及空间曲线曲面方程几种常见曲面方程圆锥面旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面圆柱面抛物柱面

7、椭圆柱面双曲柱面投影在面上的投影消去得投影为三平面及空间曲线平面点法式方程其中法向量一般式方程截距式方程两平面夹角空间直线一般方程对称式方程方向向量第九章多元函数微分及其应用一多元函数的极限及连续性极限设二元函数的定义记作连续性设二元函数的定义域为是的聚点且则称为函数在点如果连续二多元函数微分法偏导数以二元函数为例如果只有自变量变化而自变量固定这函数对的导数就称为二元函数对的偏导数函数在点处对的偏导数记作偏导函数在区 2.全微分 （1）,zf xx yyf x y ,z为全增量。zA xB yo 全微分dzA xB y （2）如果,zf x y在点,x y处可微分，则该函数在点,x y的偏导数

8、zx，zy必定存在，且函数,zf x y在点,x y的全微分为zzdzxyxy。（3）如果函数,zf x y的偏导数zx，zy在点,x y，则函数在该点可微分。3.求导 （1）多元复合函数 a.一元与多元函数复合 如果函数 ut及 vt都在点 t 可导，函数,zf u v在对应点,u v具有 连 续 偏 导 数，则 复 合 函 数 ,zftt 在 点t可 导，且 ,dzzuzvzfttdtutvt 。b.多元函数与多元函数复合 如果函数,ux y及,vx y具有对x及对y的偏导数，函数,zf u v在对应点,u v具有连续偏导数，则复合函数 ,fx yx y在点,x y的两个偏导数都存在，且有

9、zzuzvxuxvx ，zzuzvyuyvy 。c.如果函数,ux y在点,x y具有对x及对y的偏导数，函数 vy 在点y可导，函数,zf u v在对应点,u v具有连续偏导数，则复合函数 ,fx yy在点,x y的两个偏导数都存在，则zzuxux ，zzuzvyuyvy d.复合函数的某些中间变量又是复合函数的自变量,zf u x y，,ux y，所以zfufxuxx ，zfufyuyy 。间的一一对应关系模方向角投影模方向角投影向量在轴上的投影或数量积数量积满足交换律分配律结合律向量积二曲线及空间曲线曲面方程几种常见曲面方程圆锥面旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面圆柱面抛物柱面椭圆柱面双曲柱面

10、投影在面上的投影消去得投影为三平面及空间曲线平面点法式方程其中法向量一般式方程截距式方程两平面夹角空间直线一般方程对称式方程方向向量第九章多元函数微分及其应用一多元函数的极限及连续性极限设二元函数的定义记作连续性设二元函数的定义域为是的聚点且则称为函数在点如果连续二多元函数微分法偏导数以二元函数为例如果只有自变量变化而自变量固定这函数对的导数就称为二元函数对的偏导数函数在点处对的偏导数记作偏导函数在区4.全微分形式不变性 设函数,zf u v具有连续偏导数，,ux y ,vx y zzdzdudvuv zzdxdyxy =(zuzvuxvx )dx+(zuzvuyvy )dy(2)隐函数的求导

11、 一个方程：,0F x y，则xyFdydxF 方程组：,0,0F x y u vG x y u v，则xvxvuvuvFFGGuFFxGG uxuxuvuvFFGGvFFxGG yvyvuvuvFFGGuFFyGG uyuyuvuvFFGGvFFyGG 5.几何应用（1）空间曲线的切线与法平面 :xtytzt ,t 则 的切线为 000 xxyyzzttt 法平面为 000()()()txxtyytzz=0 （2）曲面的切平面与法线 若为隐式方程(,)0F x y z 则在点000,xy z处 切平面为000000000000(,)()(,)(,)0 xyzF xy zxxF xy zyyF

12、 xy zzz 法线为000000000000(,)(,)(,)xyzxxyyzzFxyzFxyzF xyz 间的一一对应关系模方向角投影模方向角投影向量在轴上的投影或数量积数量积满足交换律分配律结合律向量积二曲线及空间曲线曲面方程几种常见曲面方程圆锥面旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面圆柱面抛物柱面椭圆柱面双曲柱面投影在面上的投影消去得投影为三平面及空间曲线平面点法式方程其中法向量一般式方程截距式方程两平面夹角空间直线一般方程对称式方程方向向量第九章多元函数微分及其应用一多元函数的极限及连续性极限设二元函数的定义记作连续性设二元函数的定义域为是的聚点且则称为函数在点如果连续二多元函数微分法偏导数以

13、二元函数为例如果只有自变量变化而自变量固定这函数对的导数就称为二元函数对的偏导数函数在点处对的偏导数记作偏导函数在区 若 为 显 式 方 程,zf x y，则 在 点000,xy z处 曲 面 的 法 向 量 为 0000,1xynfxyfxyr，由此可算出曲面的切平面方程及发现方程。（3）方向导数与梯度 方向导数：000000,0cos,cos,limxytfxtytfxyflt 0000,cos,cosxyfxyfxy 其中cos，cos为方向l的方向余弦 梯度：000000,xygrad f xyfxyifxyjuuuuu rrr 0000,(cos,cos)llxyfgrad f xy

14、e eluuuuu ru ru r 6.多元函数的机制及其求法 （1）极值：00,f x yf xyp或 00,f x yf xyf在00,xy的邻域内，点00,p xy称为函数极值点。设,zf x y在00,xy具有偏导数，且在点00,xy处有极值，则 0000,0 xyfxyfxy 设函数,zf x y在点00,xy的某邻域内且有一阶及二阶连续偏导数，又 0000,0 xyfxyfxy，令00,xxfxyA,00,xyfxyB,00,yyfxyC,则,f x y在00,xy处是否取得极值的条件为：a.若20ACB,当 A0 时有极大值;当 A0 时有极小值 b 若20ACB，无极值 b.若

15、20ACB，需另作讨论。（2）求法 拉格朗日乘数法：引进一个拉格朗日函数 ,L x yf x yx y然后解方程组 ,0,0,0 xxyyfx yx yfx yx yx y间的一一对应关系模方向角投影模方向角投影向量在轴上的投影或数量积数量积满足交换律分配律结合律向量积二曲线及空间曲线曲面方程几种常见曲面方程圆锥面旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面圆柱面抛物柱面椭圆柱面双曲柱面投影在面上的投影消去得投影为三平面及空间曲线平面点法式方程其中法向量一般式方程截距式方程两平面夹角空间直线一般方程对称式方程方向向量第九章多元函数微分及其应用一多元函数的极限及连续性极限设二元函数的定义记作连续性设二元函数的定

16、义域为是的聚点且则称为函数在点如果连续二多元函数微分法偏导数以二元函数为例如果只有自变量变化而自变量固定这函数对的导数就称为二元函数对的偏导数函数在点处对的偏导数记作偏导函数在区 第十章 重积分 一、多重积分 1.二重积分（1）概念：01,lim,niiiiDDfx y dfnfx y dxdy ,f x y叫做被积函数，,f x y d叫做被积表达式，d叫做面积元素，,x y叫做积分变量，D 为积分区域。（2）应用：平顶柱体体积 V=,Df x y d 平面薄片质量：,Dmx y d（3）计算方法：分为两种 直角坐标系：当积分区域为 D 为 X 型时，即 12,xyxaxb ，则 21,bx

17、axDIfx y ddxfx y dy 当积分区域为 D 为 Y 型时，即 12,yxycyd 则 21,dycyDIfx y ddyfx y dx 极 坐 标 系：当 积 分 区 域 为 12p ，时，有 ,DIf x y d 21cos,sindfpppdp 2.三重积分（1）概念：01,lim,niiiiifx y z dvfnv （2）计算方法：直角坐标系：积分区域：12,zx yzzx y，将闭区域投影到xoy面上得到平面闭区域xyD，,If x y z dv 21,xyzx yzx yDdfx y z dz 2211,byxzx yayxzx ydxdyf x y z dz 间的一

18、一对应关系模方向角投影模方向角投影向量在轴上的投影或数量积数量积满足交换律分配律结合律向量积二曲线及空间曲线曲面方程几种常见曲面方程圆锥面旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面圆柱面抛物柱面椭圆柱面双曲柱面投影在面上的投影消去得投影为三平面及空间曲线平面点法式方程其中法向量一般式方程截距式方程两平面夹角空间直线一般方程对称式方程方向向量第九章多元函数微分及其应用一多元函数的极限及连续性极限设二元函数的定义记作连续性设二元函数的定义域为是的聚点且则称为函数在点如果连续二多元函数微分法偏导数以二元函数为例如果只有自变量变化而自变量固定这函数对的导数就称为二元函数对的偏导数函数在点处对的偏导数记作偏导函数在区

19、 柱面坐标：,If x y z dv,Fzd d dz 二、重积分的应用 1.曲面的面积 A=22221,1xyDDzzfx yfx y ddxdyxy 2.质心 _,DDxx y dxx y d _,DDyx y dyx y d 若薄片为均匀的，则 _1DxxdA _1DyydA A 为薄片的面积 3.转动惯量 （1）平面薄片：2,xDIyx y d （2）空间薄片：22,xDIyzx y z dv 间的一一对应关系模方向角投影模方向角投影向量在轴上的投影或数量积数量积满足交换律分配律结合律向量积二曲线及空间曲线曲面方程几种常见曲面方程圆锥面旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面圆柱面抛物柱面椭圆柱面双曲柱面投影在面上的投影消去得投影为三平面及空间曲线平面点法式方程其中法向量一般式方程截距式方程两平面夹角空间直线一般方程对称式方程方向向量第九章多元函数微分及其应用一多元函数的极限及连续性极限设二元函数的定义记作连续性设二元函数的定义域为是的聚点且则称为函数在点如果连续二多元函数微分法偏导数以二元函数为例如果只有自变量变化而自变量固定这函数对的导数就称为二元函数对的偏导数函数在点处对的偏导数记作偏导函数在区