高一期末数学试题数列含详细答案中学教育中考_中学教育-试题.pdf

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1、高一期末数学试题三 学号 姓名 分数 一、选择题(本大题共 12 小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在等比数列an中，a6与 a7的等差中项等于 48，a4a5a6a7a8a9a101286.如果设an的前 n 项和为 Sn，那么 Sn等于()A.5n4 B.4n3 C.3n2 D.2n1 2.数列an中，对任意 nN*，a1a2a3an3n1，则 a21a22a23a2n等于()A.(3n1)2 B.12(9n1)C.9n1 D.14(3n1)3.在正项等比数列an中，已知 a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则 n()A.11 B.12 C.

2、14 D.16 4.已知等比数列an满足 an0，n1,2，且 a5 a2n522n(n3)，则当 n1 时，log2a1log2a3log2a2n1()A.n(2n1)B.(n1)2 C.n2 D.(n1)2 5.已知两个等差数列an和bn的前 n 项和分别为 An和 Bn，且AnBn7n45n3，则使得anbn为整数的正整数 n 的个数是()A.2 B.3 C.4 D.5 6.设函数 f(x)2xcosx，an是公差为8的等差数列，f(a1)f(a2)f(a5)5，则f(a3)2a1a5()A.0 B.1162 C.182 D.13162 7.已知数列an的通项为 annn258，则数列a

3、n的最大项为()A第 7 项 B第 8 项 C第 7 项或第 8 项 D不存在 8.已知an是公差为2 的等差数列，a112，则|a1|a2|a3|a20|()A.222 B.232 C.224 D.234 9.正项等比数列an中，存在两项 am，an(m，nN*)使得 aman4a1，且 a7a62a5，则1m5n的最小值是()A.74 B.153 C.256 D.2 53 10.已知一个数列an的各项是 1 或 2，首项为 1，且在第 k个 1 和第(k1)个 1 之间有(2k1)个 2，即 1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1，则前 2012 项中 1 的个数为()A.44

4、 B.45 C.46 D.47 11.函数()cos()f xx的部分图像如图所示，则()f x的单调递减区间为(A)13(,),44kkkZ (B)13(2,2),44kkkZ(C)13(,),44kkkZ (D)13(2,2),44kkkZ 12.设函数211 log(2),1,()2,1,xx xf xx,2(2)(log 12)ff()（A）3 （B）6 （C）9 （D）12 二、填空题(本大题共 5 小题请把正确答案填在题中的横线上)13.已知数列an为等差数列，a33，a1a2a621，数列1an的前 n 项和为 Sn，若对一切 nN*，恒有 S2nSnm16成立，则 m 能取到的

5、最大正整数是_ 14.已知数列an中，a15，a22，an2an13an2(n3)，对于这个数列的通项公式作一研究，得其通项式为_ 15.等比数列an的前 n 项和为 Sn，公比不为 1.若 a11，且对任意的 nN，都有 an2an12an0，则 S5_.16 若数列an满足 2an2an1d(n2)，且 a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的方差为 4，则 d_.17.在数列an中，若 a2na2n1p(n2，nN*，p 为常数)，则称an为“等方差数列”下列是对“等方差数列”的判断：若an是等方差数列，则a2n是等差数列；已知数列an是等方差数列，则数列a2n是等方差数列；(1)n是

6、等方差数列；若an是等方差数列，则akn(kN*，k为常数)也是等方差数列；其中正确命题的序号为_ 三、解答题(本大题共 6 小题解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18.已知公差不为零的等差数列an各项均为正数，其前 n 项和为 Sn，满足 2S2a2(a21)，a1，a2，a4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn2Sn13an，求数列bn中的最小项 19.已知函数 f(x)logkx(k为常数，k0 且 k1)，且数列f(an)是首项为 4，公差为 2 的等差数列 在等比数列中与的等差中项等于如果设的前项和为那么等于数列中对任意则等于在正项等比数列中已知则已知等

7、比数列满足且则当时已知两个等差数列和的前项和分别为和且则使得为整数的正整数的个数是设函数是公差为的等差数存在两项使得且则的最小值是已知一个数列的各项是或首项为且在第个和第个之间有个即则前项中的个数为函数的部分图像如图所示则的单调递减区间为设函数二填空题本大题共小题请把正确答案填在题中的横线上已知数列为等差其通项式为等比数列的前项和为公比不为若且对任意的则若数列满足且的方差为则都有在数列中若为常数则称为等方差数列下列是对等方差数列的判断若是等方差数列则是等差数列已知数列是等方差数列则数列是等方差数列是等方(1)求证：数列an是等比数列；(2)若 bnan f(an)，当 k 2时，求数列bn的前

8、 n 项和 Sn；(3)若 cnanlgan，问是否存在实数 k，使得cn中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出 k的范围；若不存在，说明理由 20.已知数列an满足 a11，且 an2an12n(n2，nN*)(1)求证：数列an2n是等差数列，并求出数列an的通项公式；(2)求数列an的前 n 项之和 Sn.21.已知数列an是各项均不为 0 的等差数列，公差为 d，Sn为其前 n 项和，且满足 a2nS2n1，nN*.数列bn满足 bn1an an1，Tn为数列bn的前 n 项和(1)求 a1，d 和 Tn；(2)若对任意的 nN*，不等式 Tn2n12.23.如图，四边形 ABCD

9、为菱形，ABC=120，E，F是平面 ABCD 同一侧的两点，BE 平面 ABCD，DF 平面 ABCD，BE=2DF，AE EC。（1）证明：平面 AEC 平面 AFC（2）求直线 AE与直线 CF所成角的余弦值 在等比数列中与的等差中项等于如果设的前项和为那么等于数列中对任意则等于在正项等比数列中已知则已知等比数列满足且则当时已知两个等差数列和的前项和分别为和且则使得为整数的正整数的个数是设函数是公差为的等差数存在两项使得且则的最小值是已知一个数列的各项是或首项为且在第个和第个之间有个即则前项中的个数为函数的部分图像如图所示则的单调递减区间为设函数二填空题本大题共小题请把正确答案填在题中的

10、横线上已知数列为等差其通项式为等比数列的前项和为公比不为若且对任意的则若数列满足且的方差为则都有在数列中若为常数则称为等方差数列下列是对等方差数列的判断若是等方差数列则是等差数列已知数列是等方差数列则数列是等方差数列是等方1.据已知得 a6a796，a4a5a6a7a8a9a10a771286647，解得 a632a764，从而 qa7a62，a1a6251，故 Sn1 12n122n1.选 D.2.a12，a1a2an3n1，n2 时，a1a2an13n11，得 an3n1 2(n2)，n1 时，a12 适合上式，an2 3n1.a21a22a2na21 19n194 19n1912(9n1

11、)3.设数列an的公比为 q，由 a1a2a34a31q3与 a4a5a612a31q12可得 q93，an1anan1a31q3n3324，因此 q3n68134q36，所以 n14，故选 C 4.设等比数列an的首项为 a1公比为 q，a5 a2n522n(n3)，a1q4 a1q2n622n，即 a21 q2n222n(a1 qn1)222n(an)2(2n)2，an0，an2n，a2n122n1，log2a1log2a3log2a2n1log22log223log222n113(2n1)1 2n12 nn2，故选 C.5.由等差数列的前 n 项和及等差中项，可得anbn12 a1a2n

12、112 b1b2n112 2n1a1a2n112 2n1b1b2n1A2n1B2n17 2n1 45 2n1 314n382n27n19n1712n1(n N*)，故 n1,2,3,5,11 时，anbn为整数 6.f(a1)f(a2)f(a5)(2a1cosa1)(2a2cosa2)(2a5cosa5)5，即 2(a1a2a5)(cosa1cosa2cosa5)5.而an是公差为8的等差数列，代入 2(a1a2a5)(cosa1cosa2cosa5)5，可得 10a3cos(a34)cos(a38)cosa3cos(a38)cos(a34)5，因为(2cos42cos81)cosa3不是 的

13、整数倍，所以 10a35.所以 a32.所以f(a3)2a1a5(220)2(24)(24)13162.故选 D.7.由于 annn2581n58n，而函数 f(x)x58x在(0，58)上递减，在(58，)上递增，且 f(7)7587，f(8)8588，所以 f(8)a7，从而数列an的最大项为第 8 项故选 B.8.d2，a112，ana1(n1)d122(n1)142n，在等比数列中与的等差中项等于如果设的前项和为那么等于数列中对任意则等于在正项等比数列中已知则已知等比数列满足且则当时已知两个等差数列和的前项和分别为和且则使得为整数的正整数的个数是设函数是公差为的等差数存在两项使得且则的

14、最小值是已知一个数列的各项是或首项为且在第个和第个之间有个即则前项中的个数为函数的部分图像如图所示则的单调递减区间为设函数二填空题本大题共小题请把正确答案填在题中的横线上已知数列为等差其通项式为等比数列的前项和为公比不为若且对任意的则若数列满足且的方差为则都有在数列中若为常数则称为等方差数列下列是对等方差数列的判断若是等方差数列则是等差数列已知数列是等方差数列则数列是等方差数列是等方当n7 时，a70，n0，n7 时，an0)，a7a62a5，a1q6a1q52a1q4，整理得 q2q20，解得 q2 或 q1(舍去)，又由 aman4a1，可得 a1qm1 a1qn116a21，即得 2mn

15、224，得 mn6，此时nm的值可取515，422，331，2412，15，共五个值，1m5n(1m5n)mn6116(nm5mn)可取得 2，74，2，114，265，所以1m5n的最小值为74，故应选 A.10.依题意得，第 k 个 1 和它后面(2k1)个 2 的个数之和为 2k，按这个要求分组，每组数字的个数组成一个以 2 为首项、2 为公差的等差数列，该数列的前 n 项和等于n 22n2n(n1)注意到 2012444532，因此在题中的数列中，前 2012 项中共有 45 个 1，选 B.11 D 12.由已知得2(2)1 log 43f ，又2log 121，所以22log 12

16、 1log 62(log 12)226f，故 2(2)(log 12)9ff 13 设数列an的首项为 a1，公差为 d，由 a33，a1a2a621 可得 a12d36a115d21，解得 a11d1，ann，1an1n.Sn1121n，令TnS2nSn1n11n212n，则 Tn11n21n312n12n112n2，Tn1Tn12n112n21n112n212n21n10，Tn1Tn.Tn的最小值在 n1 处取得，又 T1S2S112，要使S2nSnm16恒成立，只需m16S2S112即可，解得 m0)，因此函数 f(x)在区间(0，13)上单调递减，在(13，)上单调递增，而 f(3)3

17、1331253，f(4)41341334，f(3)f(4)，因而数列bn中的最小项为 b4334.19解(1)证明：由题意知 f(an)4(n1)22n2，即 logkan2n2，ank2n2，an1ank2 n12k2n2k2.常数k0 且 k1，k2为非零常数，数列 an是以 k4为首项，k2为公比的等比数列 在等比数列中与的等差中项等于如果设的前项和为那么等于数列中对任意则等于在正项等比数列中已知则已知等比数列满足且则当时已知两个等差数列和的前项和分别为和且则使得为整数的正整数的个数是设函数是公差为的等差数存在两项使得且则的最小值是已知一个数列的各项是或首项为且在第个和第个之间有个即则前

18、项中的个数为函数的部分图像如图所示则的单调递减区间为设函数二填空题本大题共小题请把正确答案填在题中的横线上已知数列为等差其通项式为等比数列的前项和为公比不为若且对任意的则若数列满足且的方差为则都有在数列中若为常数则称为等方差数列下列是对等方差数列的判断若是等方差数列则是等差数列已知数列是等方差数列则数列是等方差数列是等方(2)存在由(1)知，bnanf(an)k2n2(2n2)，当 k 2时，bn(2n2)2n1(n1)2n2.Sn2 233 244 25(n1)2n2，2Sn2 243 25n 2n2(n1)2n3.，得 Sn2 2324252n2(n1)2n3 23(2324252n2)(

19、n1)2n3，Sn2323 12n12(n1)2n3n 2n3.(3)由(1)知，cnanlgan(2n2)k2n2lgk，要使 cncn1对一切 n N*成立，即(n1)lgk1 时，lgk0，n1(n2)k2对一切 n N*恒成立；当 0k1 时，lgk(n2)k2对一切 n N*恒成立，只需 k2n1n2min，n1n211n2单调递增，当n1 时，n1n2min23.k223，且 0k1，0k63.综上所述，存在实数 k0，63(1，)满足条件 18.已知数列an满足 a11，且 an2an12n(n2，nN*)(1)求证：数列an2n是等差数列，并求出数列an的通项公式；(2)求数列

20、an的前 n 项之和 Sn.解(1)证明：因为 an2an12n，所以an2n2an12n2nan12n11，即an2nan12n11，所以数列an2n是等差数列，且公差 d1，在等比数列中与的等差中项等于如果设的前项和为那么等于数列中对任意则等于在正项等比数列中已知则已知等比数列满足且则当时已知两个等差数列和的前项和分别为和且则使得为整数的正整数的个数是设函数是公差为的等差数存在两项使得且则的最小值是已知一个数列的各项是或首项为且在第个和第个之间有个即则前项中的个数为函数的部分图像如图所示则的单调递减区间为设函数二填空题本大题共小题请把正确答案填在题中的横线上已知数列为等差其通项式为等比数列

21、的前项和为公比不为若且对任意的则若数列满足且的方差为则都有在数列中若为常数则称为等方差数列下列是对等方差数列的判断若是等方差数列则是等差数列已知数列是等方差数列则数列是等方差数列是等方其首项a12112，所以an2n12(n1)1n12，解得 an(n12)2n(2n1)2n1.(2)Sn120321522(2n1)2n1，而 2Sn121322523(2n3)2n1(2n1)2n，得Sn12022122222n1(2n1)2n 14 12n112(2n1)2n(32n)2n3.所以 Sn(2n3)2n3.19.已知数列an是各项均不为 0 的等差数列，公差为 d，Sn为其前 n 项和，且满足

22、 a2nS2n1，nN*.数列bn满足 bn1an an1，Tn为数列bn的前 n 项和(1)求 a1，d 和 Tn；(2)若对任意的 nN*，不等式 Tnn8(1)n恒成立，求实数 的取值范围 解(1)在 a2nS2n1中，分别令 n1，n2，得 a21S1，a22S3，即 a21a1，a1d23a13d，解得 a11，d2，所以 an2n1(n N*)因为 bn1an an11 2n12n112(12n112n1)，所以 Tn12(113131512n112n1)n2n1.(2)当 n 为偶数时，要使不等式 Tnn8(1)n恒成立，只需不等式 n82n1n2n8n17恒成立 因为 2n8n

23、8，当且仅当 2n8n，即 n2 时取等号，此时 需满足 25.当 n 为奇数时，要使不等式 Tnn8(1)n恒成立，只需不等式 在等比数列中与的等差中项等于如果设的前项和为那么等于数列中对任意则等于在正项等比数列中已知则已知等比数列满足且则当时已知两个等差数列和的前项和分别为和且则使得为整数的正整数的个数是设函数是公差为的等差数存在两项使得且则的最小值是已知一个数列的各项是或首项为且在第个和第个之间有个即则前项中的个数为函数的部分图像如图所示则的单调递减区间为设函数二填空题本大题共小题请把正确答案填在题中的横线上已知数列为等差其通项式为等比数列的前项和为公比不为若且对任意的则若数列满足且的方

24、差为则都有在数列中若为常数则称为等方差数列下列是对等方差数列的判断若是等方差数列则是等差数列已知数列是等方差数列则数列是等方差数列是等方 n82n1n2n8n15 恒成立 因为 2n8n是随 n 的增大而增大，所以 n1 时，2n8n取得最小值6.此时 需满足 2n12.解(1)当 n1 时，S1a(S1a11)，得 a1a.当 n2 时，Sna(Snan1)，Sn1a(Sn1an11)，两式相减得 ana an1，得anan1a，即an是等比数列，首项是 a，公比是 a.所以 ana an1an.(2)由(1)知 bn(an)2a an1a1an，bn 2a1 a2na ana1，若bn为等

25、比数列，则有 b22b1b3，而 b12a2，b2a3(2a1)，b3a4(2a2a1)，故a3(2a1)22a2 a4(2a2a1)，解得 a12，再将 a12代入 bn，得 bn(12)n，结论成立，所以 a12.21.已知数列an的前 n 项和为 Sn，对一切正整数 n，点 Pn(n，Sn)都在函数 f(x)x22x 的图象上，且在点 Pn(n，Sn)处的切线的斜率为 kn.在等比数列中与的等差中项等于如果设的前项和为那么等于数列中对任意则等于在正项等比数列中已知则已知等比数列满足且则当时已知两个等差数列和的前项和分别为和且则使得为整数的正整数的个数是设函数是公差为的等差数存在两项使得且

26、则的最小值是已知一个数列的各项是或首项为且在第个和第个之间有个即则前项中的个数为函数的部分图像如图所示则的单调递减区间为设函数二填空题本大题共小题请把正确答案填在题中的横线上已知数列为等差其通项式为等比数列的前项和为公比不为若且对任意的则若数列满足且的方差为则都有在数列中若为常数则称为等方差数列下列是对等方差数列的判断若是等方差数列则是等差数列已知数列是等方差数列则数列是等方差数列是等方(1)求数列an的通项公式；(2)若 bn2knan，求数列bn的前 n 项和 Tn；(3)设 Ax|xkn，nN*，Bx|x2an，nN*，等差数列cn的任一项 cnAB，其中 c1是 AB中的最小数，110

27、c10115，求数列cn的通项公式 解(1)因为点 Pn(n，Sn)在函数 f(x)x22x 的图象上，所以 Snn22n(n N*)当 n2 时，anSnSn12n1，当 n1 时，a1S13 满足上式，所以数列an的通项公式为 an2n1.(2)由 f(x)x22x，求导，得 f(x)2x2.因为在点 Pn(n，Sn)处的切线的斜率为 kn，所以 kn2n2.所以 bn2knan4(2n1)4n.所以 Tn4341454247434(2n1)4n，4Tn4342454347444(2n1)4n4(2n1)4n1，由，得3Tn43442(42434n)4(2n1)4n116316n34n2.

28、所以 Tn6n194n2169.(3)因为 Ax|x2n2，n N*，Bx|x4n2，n N*，所以 ABB.又因为 cn AB，其中 c1是 AB 中的最小数，所以 c16.因为cn的公差是 4 的倍数，所以 c104m6(m N*)又因为 110c10115，所以 1104m6115，m N*.解得 m27.所以 c10114.则等差数列cn的公差 dc10c11011146912.所以 cn6(n1)1212n6，即为cn的通项公式 在等比数列中与的等差中项等于如果设的前项和为那么等于数列中对任意则等于在正项等比数列中已知则已知等比数列满足且则当时已知两个等差数列和的前项和分别为和且则使得为整数的正整数的个数是设函数是公差为的等差数存在两项使得且则的最小值是已知一个数列的各项是或首项为且在第个和第个之间有个即则前项中的个数为函数的部分图像如图所示则的单调递减区间为设函数二填空题本大题共小题请把正确答案填在题中的横线上已知数列为等差其通项式为等比数列的前项和为公比不为若且对任意的则若数列满足且的方差为则都有在数列中若为常数则称为等方差数列下列是对等方差数列的判断若是等方差数列则是等差数列已知数列是等方差数列则数列是等方差数列是等方