浙教版初中数学圆的知识点综合中学教育初中教育_中学教育-初中教育.pdf

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1、一、圆的概念 集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直

2、线。二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 dr 点C在圆内；2、点在圆上 dr 点B在圆上；3、点在圆外 dr 点A在圆外；三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 dr 无交点；2、直线与圆相切 dr 有一个交点；3、直线与圆相交 dr 有两个交点；drd=rrd 四、圆与圆的位置关系 外离（图 1）无交点 dRr；rddCBAO外切（图 2）有一个交点 dRr；相交（图 3）有两个交点 RrdRr ；内切（图 4）有一个交点 dRr；内含（图 5）无交点 dRr；图1rRd 图3rRd 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直

3、于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：AB是直径 ABCD CEDE 弧BC弧BD 弧AC弧AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在O中，ABCD 弧AC弧BD 六、圆心角定理 图2rRd图4rRd图5rRdOEDCBAOCDAB到定点的距离大于定长的点的集合圆的内部可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合圆到定

4、点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径的圆补充垂直平分线到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线到两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线二点与圆的位置关系点在圆内点在圆内点在圆上点在圆上点在圆外点在圆外三直线与圆交点外切图有一个交点相交图有两个交点内切图有一个交点内含图无交点图图图图图五垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论平分弦不是直径的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

5、此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即：AOBDOE；ABDE；OCOF；弧BA弧BD 七、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 2AOBACB 2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在O中，C、D都是所对的圆周角 CD 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在O中，AB是直径 或90C 90C AB是直径 推论 3：若三角形一

6、边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在ABC中，OCOAOB ABC是直角三角形或90C 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。FEDCBAOCBAODCBAOCBAOCBAO到定点的距离大于定长的点的集合圆的内部可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合圆到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径的圆补充垂直平分线到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线到两条平行线距离相等

7、的点的轨迹是平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线二点与圆的位置关系点在圆内点在圆内点在圆上点在圆上点在圆外点在圆外三直线与圆交点外切图有一个交点相交图有两个交点内切图有一个交点内含图无交点图图图图图五垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论平分弦不是直径的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆 即：在O中，四边形ABCD是内接四边形 180CBAD 180BD DAEC 九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：MNOA且MN过半径OA外端 MN是O的切线（2

8、）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线 PAPB PO平分BPA 十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在O中，弦AB、CD相交于点P，PA PBPC PD EDCBANMAOPBAOPODCBA到定点的距离大于定长的点的集合

9、圆的内部可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合圆到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径的圆补充垂直平分线到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线到两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线二点与圆的位置关系点在圆内点在圆内点在圆上点在圆上点在圆外点在圆外三直线与圆交点外切图有一个交点相交图有两个交点内切图有一个交点内含图无交点图图图图图五垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论平分弦不是直径的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆（2）推论：如果弦与直径

10、垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O中，直径ABCD，2CEAE BE（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O中，PA是切线，PB是割线 2PAPC PB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在O中，PB、PE是割线 PC PBPD PE 十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：12O O垂直平分AB。即：1O、2O相交于A、B两点 12O O垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的

11、计算公式：（1）公切线长：12Rt O O C中，22221122ABCOO OCO；（2）外公切线长：2CO是半径之差；内公切线长：2CO是半径之和。十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形 在 O中 ABC是 正 三 角 形，有 关 计 算 在Rt BOD中 进 行：:1:3:2O DB DO B；OEDCBADECBPAOBAO1O2CO2O1BADCBAOECBADO到定点的距离大于定长的点的集合圆的内部可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合圆到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径的圆补充垂直平分线到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分这条直线且到这条直线的

12、距离等于定长的两条直线到两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线二点与圆的位置关系点在圆内点在圆内点在圆上点在圆上点在圆外点在圆外三直线与圆交点外切图有一个交点相交图有两个交点内切图有一个交点内含图无交点图图图图图五垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论平分弦不是直径的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆（2）正四边形 同理，四边形的有关计算在Rt OAE中进行，:1:1:2OE AE OA：（3）正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt OAB中进行，:1:3:2AB OB OA.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

13、1、扇形：（1）弧长公式：180n Rl；（2）扇形面积公式：213602n RSlR n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积 2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图 2SSS侧表底=222rhr（2）圆柱的体积：2Vr h（2）圆锥侧面展开图（1）SSS侧表底=2Rrr（2）圆锥的体积：213Vr h 五、圆有关问题辅助线的常见作法 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边

14、作出中垂线。还要作个内切圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。BAOSlBAO母线长底面圆周长C1D1DCBAB1RrCBAO到定点的距离大于定长的点的集合圆的内部可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合圆到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径的圆补充垂直平分线到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线到两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线二点与圆的位置关系点在圆内点在圆内点在圆上点在圆上点在圆外点在圆外三

15、直线与圆交点外切图有一个交点相交图有两个交点内切图有一个交点内含图无交点图图图图图五垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论平分弦不是直径的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆 到定点的距离大于定长的点的集合圆的内部可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合圆到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径的圆补充垂直平分线到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线到两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线二点与圆的位置关系点在圆内点在圆内点在圆上点在圆上点在圆外点在圆外三直线与圆交点外切图有一个交点相交图有两个交点内切图有一个交点内含图无交点图图图图图五垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论平分弦不是直径的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆