八年级数学下册二次根式及其性质中学教育中考_中学教育-中学课件.pdf

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1、二次根式及其性质 一、一周知识概述 1、二次根式 一般地，我们把形如(0)的式子叫做二次根式，其中为整式或分式，叫做被开方式 2、二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件是0，即被开方式是非负数 3、二次根式的性质 (3)4、积的算术平方根的性质(a 0，b0)即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积 5、商的算术平方根的性质(a 0，b0)商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 6、最简二次根式 如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且被开方式中不含有能开得尽方的因式，这样的二次根式称为最简二次根式 二、重难点知识归纳 1、从二次根式的定义看出，二次

2、根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，且被开方数必须是非负数 2、二次根式的性质具有双重非负性，即二次根式中被开方数非负（a0）,算术平方根非负(0).3、利用得到成立，可以把任意一个非负数或式写成一个数或式的平方的形式如 4、注意逆用二次根式的性质，即，利用这两个性质可以对二次根式进行化简 5、运用二次根式的性质化简时，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方式中不含分母；(2)被开方式中不含能开得尽方的因数或因式 三、典型例题讲解 例 1、已知实数 a、b 在数轴上的位置如图 化简：分析：式二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件是即被

3、开方式是非负数二次根式的性质积的算术平方根的性质即两个非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积商的算术平方根的性质商的算术平方根等于被除式的算得尽方的因式这样的二次根式称为最简二次根式二重难点知识归纳从二次根式的定义看出二次根式的被开方数可以是一个数也可以是一个式子且被开方数必须是非负数二次根式的性质具有双重非负性即二次根式中被开方数非负算术利用这两个性质可以对二次根式进行化简运用二次根式的性质化简时最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式最简二次根式必须满足两个条件被开方式中不含分母被开方式中不含能开得尽方的因数或因式三典型例题讲解例 待求式中的五个二次根式的被开方数都是完全

4、平方式，且结构特征符合性质 3的，但由题设中的 a、b 在数轴上的位置可知 a、b 有正有负，因此本题的关键是确定各个数的正负性 解：由数轴上点的位置可知 ab，0a1，b0，b0，b10，a10 总结：（1）由数轴上点的位置应确定两个要素：一是各数的正负性，二是比较各数的大小；（2）在运用性质计算时一定要明确底数的正负性 例 2、化简下列二次根式：分析：（1）（4）题均不含分母，因此要将其化为最简二次根式，即是将被开方数中能开得尽方的因数或因式运用积的算术平方根的性质，将其移至根号外，（5）（8）题都含有分母，应首先根据分式的基本性质，将分母化为能开得尽方的，然后式二次根式有意义的条件二次根

5、式有意义的条件是即被开方式是非负数二次根式的性质积的算术平方根的性质即两个非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积商的算术平方根的性质商的算术平方根等于被除式的算得尽方的因式这样的二次根式称为最简二次根式二重难点知识归纳从二次根式的定义看出二次根式的被开方数可以是一个数也可以是一个式子且被开方数必须是非负数二次根式的性质具有双重非负性即二次根式中被开方数非负算术利用这两个性质可以对二次根式进行化简运用二次根式的性质化简时最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式最简二次根式必须满足两个条件被开方式中不含分母被开方式中不含能开得尽方的因数或因式三典型例题讲解例再运用商的算术平方根的

6、性质将其化简，但不要忽视分子中含有能开得尽方的因式或因数也要化简 总结：（1）当被开方数中不含有分母，则用积的算术平方根性质进行化简；（2）当被开方数中含有分母，化简时既要用到商的算术平方根，也要用到积的算术平方根 例 3、若 x 为实数，化简下列各式 （1）（2）分析：由于 x 为实数，要确定中的 x1 和中的 x2 的正负号，必须将实数划分为几个区域来讨论 式二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件是即被开方式是非负数二次根式的性质积的算术平方根的性质即两个非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积商的算术平方根的性质商的算术平方根等于被除式的算得尽方的因式这样的二次根式称为最简

7、二次根式二重难点知识归纳从二次根式的定义看出二次根式的被开方数可以是一个数也可以是一个式子且被开方数必须是非负数二次根式的性质具有双重非负性即二次根式中被开方数非负算术利用这两个性质可以对二次根式进行化简运用二次根式的性质化简时最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式最简二次根式必须满足两个条件被开方式中不含分母被开方式中不含能开得尽方的因数或因式三典型例题讲解例解：（1）=|x 1|当 x10，即 x1 时，|x 1|=x 1 当 x10，即 x1 时，|x 1|=(x 1)=x1 （2）=2=|x 2|2|1 x|令 x2=0，则 x=2，令 x1=0，则 x=1，x=2,x=1 称为

8、零点值 把 x=2，x=1 这两点标在数轴上(如上图)这时数轴被分成三段：x2，1x2，x1,就按这三种情况去讨论脱绝对值符号 1）当 x2 时|x 2|2|1 x|=(x 2)2(1 x)=3x；2）当1x2 时，|x 2|2|1 x|=(x 2)2(1 x)=x 4；3）当 x1 时|x 2|2|1 x|=(x 2)2(1 x)=3x 说明：式二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件是即被开方式是非负数二次根式的性质积的算术平方根的性质即两个非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积商的算术平方根的性质商的算术平方根等于被除式的算得尽方的因式这样的二次根式称为最简二次根式二重难点

9、知识归纳从二次根式的定义看出二次根式的被开方数可以是一个数也可以是一个式子且被开方数必须是非负数二次根式的性质具有双重非负性即二次根式中被开方数非负算术利用这两个性质可以对二次根式进行化简运用二次根式的性质化简时最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式最简二次根式必须满足两个条件被开方式中不含分母被开方式中不含能开得尽方的因数或因式三典型例题讲解例 解这类题的大致步骤：找出零点值(使绝对值等于零的 x 的值)；在数轴上标出这些点，将整个数轴分成若干区间；按区间范围逐个讨论如何脱绝对值符号；从而达到化简目的 例 4、已知 x、y 为实数，且实数 m适合关系式，试确定 m的值 分析：x199y

10、 与 199xy 互为相反数，且 x199y0，199xy0 同时成立，x199y=0，即 xy=199，又由算术平方根是非负数，可得到关于 x、y、m的方程组，从而求出 m的值 解：由二次根式有意义的条件知 ，xy=199 将其代入已知等式得 又根据算术平方根为非负实数有 2得 xym 2=0，结合得 m=x y2=1992=201 总结：式二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件是即被开方式是非负数二次根式的性质积的算术平方根的性质即两个非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积商的算术平方根的性质商的算术平方根等于被除式的算得尽方的因式这样的二次根式称为最简二次根式二重难点知识

11、归纳从二次根式的定义看出二次根式的被开方数可以是一个数也可以是一个式子且被开方数必须是非负数二次根式的性质具有双重非负性即二次根式中被开方数非负算术利用这两个性质可以对二次根式进行化简运用二次根式的性质化简时最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式最简二次根式必须满足两个条件被开方式中不含分母被开方式中不含能开得尽方的因数或因式三典型例题讲解例 当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零 中考解析 例 1、（河南）实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，化简：解析：由数轴上实数 a、b 的位置可知，ab0，例 2、（绵阳市）已知是正整数，则实数 n 的

12、最大值为（）A12 B11 C8 D3 解析：是正整数，12n 是一个整数的平方数，当 n 增大时，12n 减小，所以当 n=11 时，12n=1，所以 n 的最大值为 11 答案：B 例 3、（荆门市）若，则 xy 的值为（）A1 B1 C2 D3 式二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件是即被开方式是非负数二次根式的性质积的算术平方根的性质即两个非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积商的算术平方根的性质商的算术平方根等于被除式的算得尽方的因式这样的二次根式称为最简二次根式二重难点知识归纳从二次根式的定义看出二次根式的被开方数可以是一个数也可以是一个式子且被开方数必须是非负数

13、二次根式的性质具有双重非负性即二次根式中被开方数非负算术利用这两个性质可以对二次根式进行化简运用二次根式的性质化简时最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式最简二次根式必须满足两个条件被开方式中不含分母被开方式中不含能开得尽方的因数或因式三典型例题讲解例解析：本题考查二次根式的意义，由题意可知 x 10 且 1x0,，xy=2，故选 C 答案：C 式二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件是即被开方式是非负数二次根式的性质积的算术平方根的性质即两个非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积商的算术平方根的性质商的算术平方根等于被除式的算得尽方的因式这样的二次根式称为最简二次根式二重难点知识归纳从二次根式的定义看出二次根式的被开方数可以是一个数也可以是一个式子且被开方数必须是非负数二次根式的性质具有双重非负性即二次根式中被开方数非负算术利用这两个性质可以对二次根式进行化简运用二次根式的性质化简时最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式最简二次根式必须满足两个条件被开方式中不含分母被开方式中不含能开得尽方的因数或因式三典型例题讲解例