向量法求空间距离和角中学教育高考_中学教育-中学课件.pdf

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1、的平而角“a牆 向量法求空间距离和角 用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题，其传统的“三步曲”解 法：“作图、证明、解三角形”，作辅助线多、技巧性强，是教学和学习的难点.向 量进入高中教材，为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,木专题将运用 向量方法简捷地解决这些问题.1求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角.(1)求异而直线所成的角 .=arcsinli I/IIHI 法一、在Q内 N丄/,在0内b丄/,其方向如图，则二面角 设方、乙分别为异而直线a、b的方向向量,a 则两异而直线所成的角 a arccos 1

2、 而Q 所成的角 方向向量，；是平而&的法(3)求二而向量法求空间距离和角 法二、设入云是二而角a-/-0的两个半平而的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角a-1-p 的平而角a=arccos彳2 2求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求 法，象异而直线间的距离、线而距离；而而距离都可化为点而距离来求.（1）求点而距离 法一、设;是平面Q的法向量，在a内取一点B,则A I “到&的距离d=1 AB II cos 0=空叫 n 法二、设AO丄a于O,利用AO丄a和点0在&内 的向量表示，可确定点O的位置，从而求出I走1（2）求异而直线的距离

3、二 _?法一、找平而0使比0且砂0,则异而直线a、b的距 离就转化为直线a到平面0的距离，又转化为点A到 平面0的距离.法二、在a上取一点A,在b上取一点B,设方、b分别 为异面直线a、b的方向向量,求；（万丄方，齐丄乙），则 D 三步曲解法作图证明解三角形作辅助线多技巧性强是教学和学习的难点向量进入高中教材为立体几何增添了活力新思想新方法与时俱进木专题将运用向量方法简捷地解决这些问题求空间角问题空间的角主要有异面直线所成的角直线向量是平而的法而所成的角法一在内丄在内丄其方向如图则二面角的平而角牆向量法求空间距离和角法二设入云是二而角的两个半平而的法向量其方向一个指向内侧另一个指向外侧则二面角

4、的平而角彳求空间距离问题构成空间的点求点而距离法一设是平面的法向量在内取一点则到的距离空叫于点而距异而直线的距离心而弘空叫此方法移植丨川求异而直线与所成的角例如图在棱长为的正方体中向量法求空间距离和角分别是棱久心的中点求和所成的角求到面的于点而距异而直线a、b的距离心而llcos弘空叫（此方法移植 丨川三步曲解法作图证明解三角形作辅助线多技巧性强是教学和学习的难点向量进入高中教材为立体几何增添了活力新思想新方法与时俱进木专题将运用向量方法简捷地解决这些问题求空间角问题空间的角主要有异面直线所成的角直线向量是平而的法而所成的角法一在内丄在内丄其方向如图则二面角的平而角牆向量法求空间距离和角法二设

5、入云是二而角的两个半平而的法向量其方向一个指向内侧另一个指向外侧则二面角的平而角彳求空间距离问题构成空间的点求点而距离法一设是平面的法向量在内取一点则到的距离空叫于点而距异而直线的距离心而弘空叫此方法移植丨川求异而直线与所成的角例如图在棱长为的正方体中向量法求空间距离和角分别是棱久心的中点求和所成的角求到面的(I)求异而直线DE与FG所成的角;rh 向量法求空间距离和角 例1.如图，在棱长为2的正方体ABCD-gCQ中,分别是棱4久心的中点 (II)求 g 和ffiEFBD所成的角;(III)求 Q到面EFBD的距离 解：(I)记异而直线DE与 g 所成的角为 则&等于向量码运的夹角或其补角,

6、DE.FC、|cos a=1:_ I DE.FC(II)缈初万冷万石)(两霸頁艸坐标系D-小,I 一 I I DE bl FC 丨呢=(1,0,2),面=(220)设面E単翌進|=二a回風Xs=(l)A/5V5 5 _ v、DEH=0/3,一 1皿 一 2)(II)陌=(711,2),由 BC丄 BP,得远丽=0 即 2+2(“一2)=0;.a=又BC、丄B】C BCX丄面CBf 向量法求空间距离和角 BC；=（-、疗丄2）是面CB/的法向量 设面GBf的法向量为n=（l,y,z）,由 竺 2 BJCJ-n=0 得7=（1“,-2 Q,设二面角C-Bf-q的大小为&则耐=西匚卫 IBC（II/

7、?I 4 二二面角C-BP-C的大小为arccosf.设计说明：1前面选择的两个题，可有现成的坐标轴，但本题X、Z轴需要 自己添加（也可不这样建立）.2.第（1）小题是证明题，同样可用向量方法解答，是特殊情况；木小题也 可证明这条直线与这个面的法向量不平行.通过上面的例子，我们看到向量方法（更确切地讲，是用公式：a.b=abCosO）解决空间角和距离的作用，当然，以上所举例子，用传统方法去做，也是可行的，甚至有的（例2）还较为简单，用向量法的好处在于克服传统立几以纯几何解决问 题带来的高度的技巧性和随机性.向量法可操作性强-运算过程公式化、程序 三步曲解法作图证明解三角形作辅助线多技巧性强是教

8、学和学习的难点向量进入高中教材为立体几何增添了活力新思想新方法与时俱进木专题将运用向量方法简捷地解决这些问题求空间角问题空间的角主要有异面直线所成的角直线向量是平而的法而所成的角法一在内丄在内丄其方向如图则二面角的平而角牆向量法求空间距离和角法二设入云是二而角的两个半平而的法向量其方向一个指向内侧另一个指向外侧则二面角的平而角彳求空间距离问题构成空间的点求点而距离法一设是平面的法向量在内取一点则到的距离空叫于点而距异而直线的距离心而弘空叫此方法移植丨川求异而直线与所成的角例如图在棱长为的正方体中向量法求空间距离和角分别是棱久心的中点求和所成的角求到面的化，有效地突破了立体几何教学和学习中的难点

9、，是解决立体几何问题的重要工 具.充分体现出新教材新思想、新方法的优越性.这是继解析几何后用又一次用代 数的方法研究几何形体的一块好内容，数形结合，在这里得到淋漓尽致地体现.练习：1.在正四面体S-ABC中，棱长为a,E,F分别为SA和BC的中点，求异而 直线BE和SF所成的角.（arccos-）3 三步曲解法作图证明解三角形作辅助线多技巧性强是教学和学习的难点向量进入高中教材为立体几何增添了活力新思想新方法与时俱进木专题将运用向量方法简捷地解决这些问题求空间角问题空间的角主要有异面直线所成的角直线向量是平而的法而所成的角法一在内丄在内丄其方向如图则二面角的平而角牆向量法求空间距离和角法二设入

10、云是二而角的两个半平而的法向量其方向一个指向内侧另一个指向外侧则二面角的平而角彳求空间距离问题构成空间的点求点而距离法一设是平面的法向量在内取一点则到的距离空叫于点而距异而直线的距离心而弘空叫此方法移植丨川求异而直线与所成的角例如图在棱长为的正方体中向量法求空间距离和角分别是棱久心的中点求和所成的角求到面的5.如图，向量法求空间距离和角 2 在边长为1的菱形ABCD中，ZABC=60，将菱形沿对角线AC折起，使 折 起后BD,求二面角D的余弦值.中 3在四棱锥P-ABCD中，底面A3CD为矩形，PD丄底 PD=AD=a,问平而PBA与平而P3C能否垂直？试说明理 由.(不垂直)4.在直三棱柱

11、ABC-AQ 中，ZA=90 OQG 分别为 BC.BAA,的中点，Q.AB=AC=AA=2.(1)求q到面ACE的距离；(f)(2)求BC到面GBG的距离.(半)三角形，ZABC=90,庞和G?都垂直于平面遞;且BE=AB=2,CD=,点尸是血 的中点.(I)求证：矿平面ABC；(II)求肋与平面BDF所成角的大小.2(arcsin-)3 P 而，且 D E 三步曲解法作图证明解三角形作辅助线多技巧性强是教学和学习的难点向量进入高中教材为立体几何增添了活力新思想新方法与时俱进木专题将运用向量方法简捷地解决这些问题求空间角问题空间的角主要有异面直线所成的角直线向量是平而的法而所成的角法一在内丄在内丄其方向如图则二面角的平而角牆向量法求空间距离和角法二设入云是二而角的两个半平而的法向量其方向一个指向内侧另一个指向外侧则二面角的平而角彳求空间距离问题构成空间的点求点而距离法一设是平面的法向量在内取一点则到的距离空叫于点而距异而直线的距离心而弘空叫此方法移植丨川求异而直线与所成的角例如图在棱长为的正方体中向量法求空间距离和角分别是棱久心的中点求和所成的角求到面的