柯西不等式中学教育高考_中学教育-高中教育.pdf

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1、柯西不等式 复习回顾】1.二维形式的柯西不等式：定理 1：若 a、b、c、d为实数，则(a2 b2)(c2 d2)(ac bd)2.当且仅当 ad bc 时，等号成立.证明：证法一：作差比较法 证法二：(综合法)(a2 b2)(c2 d 2)a2c2 a2d2 b2c2 b2d 2(ac bd)2(ad bc)2(ac bd)2.(要点：展开 配方)证法三：(向量法)设向量 m(a,b)，n(c,d)，则|m|a2 b2，|n|c2 d2.m n ac bd，且 m n|m|n|cos m,n，则|m n|m|n|.证法四：(函数法)设 f(x)(a2 b2)x2 2(ac bd)x c2 d

2、2，则 f(x)(ax c)2(bx d)2 0 恒成立.2 2 2 2 2 2(ac bd)2 4(a2 b2)(c2 d2)0，即 【常见变式】(1)a2 b2 c2 d2|ac bd|(2)a2 b2 c2 d2|ac|bd|(3)a2 b2 c2 d2 ac bd.【简单应用】例 1：已知 a,b 为实数，求证(a4 b4)(a2 b2)(a3 b3)2 中等号当且仅当 b1 b2 a1 a2 bn 时成立(当 ai 0 时，约定 bi 0，i 1，2，n)。an 例 2：设 a,b 是正实数，a+b=1，求证 1 1 4 ab 分析：注意到 1 1(a b)(1 1)，有了(a b)

3、(1 1)就可以用柯西不等式了。a b a b a b 例 3：已知 3x 2y 1，求 x2 y2 的最小值.1 1 1 解答要点：(凑配法)x2 y2 1(x2 y2)(32 22)1(3x 2y)2 1.其它方法(数形结合法)13 13 13 例 4：求函数 y 5 x 1 10 2x 的最大值。解：函数的定义域为【1，5】，且 y0 y 5 x 1 2 5 x 52(2)2(x 1)2(5 x)2 27 4 6 3 127 当且仅当 2 x 1 5 5 x 时，等号成立，即 x 时，函数取最大值 6 3 27 定理 2：(柯西不等式的向量形式)设,是两个向量，则|.当且仅当 是零向量，

4、或存在实数 k，使 k 时，等号成立 定理 3：(二维形式的三角不等式)设 x1,y1,x2,y2 R，则 x12 y12 x22 y22(x1 x2)2(y1 y2)2.2.一般形式的柯西不等式：定理：设 n为大于 1的自然数，ai,bi(i 1，2，n)为任意实数，则：n n n(a12 a22 an2)(b12 b22 bn2)(a1b1 a2b2 anbn)即 ai2 bi2(aibi)2，其 i 1 i 1 i 1 合法要点展开配方证法三向量法设向量则且则证法四函数法设则恒成立即常见变式简单应用例已知为实数求证例设是正实数求证分析注意到有了就可以用柯西不等式了例已知求的最小值解答要点

5、凑配法其它方法数形结合法例求函数当且仅当是零向量或存在实数使时等号成立定理二维形式的三角不等式设则一般形式的柯西不等式定理设为大于的自然数为任意实数则即其中等号当且仅当时成立当时约定引入类似的从空间向量的几何背景业能得到将空间向量的坐维形式的柯西不等式你能猜想出一般形式的柯西不等式吗证明构造二次函数即构造了一个二次函数由于对任意实数恒成立则其即即等号当且仅当即等号当且仅当时成立当时约定如果全为结论显然成立简单应用例已知都是实数求证例引入：类似的，从空间向量的几何背景业能得到|.|.|将|空 间|向量的坐标代入，可得到(a12 a22 a32)(b 12 b22 b32)(a 1b1 a2b2

6、a3 b3)2当且仅当 ，共线时，这就是 即 0，或存在一个实数 k，使得 ai kbi(i 1,2,3)时，等号 成立.三维形式的柯西不等式.对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？证明：构造二次函数：f(x)(a1x b1)2(a2 x b2)2(anx bn)2 n n n 即构造了一个二次函数：f(x)(ai2)x2 2(aibi)x bi2 i 1 i 1 i 1 由于对任意实数 x，f(x)0恒成立，则其 0，n n n 即：(aibi)2(ai2)(bi2)，i 1 i 1 i 1 等号当且仅当 a1x b1 a2x b2 anx bn 0，即等号当

7、且仅当 b1 b2 a1 a2 bn 时成立(当 ai 0时，约定 bi 0，i 1，2，n)。an 如果 ai(1 i n)全为 0，结论显然成立。简单应用】例 2：已知 a，b，c，d是不全相等的实数，证明：a2+b2+c2+d2 ab+bc+cd+dan 即：4(ai bi)2 i1 nn 4(ai2)(bi 2)0，i 1 i 1 例 1：已知 a1,a2,an都是实数，求证：1 2 2 2 2 1(a1 a2 an)2 a12 a22 an2 合法要点展开配方证法三向量法设向量则且则证法四函数法设则恒成立即常见变式简单应用例已知为实数求证例设是正实数求证分析注意到有了就可以用柯西不等

8、式了例已知求的最小值解答要点凑配法其它方法数形结合法例求函数当且仅当是零向量或存在实数使时等号成立定理二维形式的三角不等式设则一般形式的柯西不等式定理设为大于的自然数为任意实数则即其中等号当且仅当时成立当时约定引入类似的从空间向量的几何背景业能得到将空间向量的坐维形式的柯西不等式你能猜想出一般形式的柯西不等式吗证明构造二次函数即构造了一个二次函数由于对任意实数恒成立则其即即等号当且仅当即等号当且仅当时成立当时约定如果全为结论显然成立简单应用例已知都是实数求证例例3：已知 x 2y 3z 1,求x2 y2 z2 的最小值.分析：由 x 2y 3z 1以及 x2 y2 z2 的 形式，联系柯西不等

9、式，可以通过构造(12+22+32)作 为一个因式而解决问题。例 4：已知 a，b，c为正实数，且 a2+2b2+3c2=6，求 a+b+c 的最小值 例 5：已知 a，b，c为正实数，且 a+2b+3c=9，求 3a 2b c 的最大值。111 例 6：已知 a，b，c为正实数，且 a+2b+c=1，求 的最小值 abc【典型例题】证明不等式 11 例 1：设 a,b 0，求证：(a b)()4 ab 111 例 2：设 a,b,c 0，求证：(a b c)()9 abc 1 1 1 9 例 3：设 a,b,c 0，求证：(a b c)(1 1 1)9 a b b c c a 2 例 4：已

10、知 a b c 1，求证：a2 b2 c2 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 证明：a2 b2 c2(a b c)2(2ab 2bc 2ac)(a b c)2 2(a2 b2 c2)3(a2 b2 c2)(a b c)2 1 a2 b2 c2 1 3 2 2 2 2 1 2 2 2(a b c)另法一：a2 b2 c2 a2 b2 c2 33 31(2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac)1(a b)2(b c)2(a c)2 0 a2 b2 c2 13 合法要点展开配方证法三向量法设向量则且则证法四函数法设则恒成立即常见变式简单应用例已知为实数求证例设是正实数求证分析注意到有了

11、就可以用柯西不等式了例已知求的最小值解答要点凑配法其它方法数形结合法例求函数当且仅当是零向量或存在实数使时等号成立定理二维形式的三角不等式设则一般形式的柯西不等式定理设为大于的自然数为任意实数则即其中等号当且仅当时成立当时约定引入类似的从空间向量的几何背景业能得到将空间向量的坐维形式的柯西不等式你能猜想出一般形式的柯西不等式吗证明构造二次函数即构造了一个二次函数由于对任意实数恒成立则其即即等号当且仅当即等号当且仅当时成立当时约定如果全为结论显然成立简单应用例已知都是实数求证例 习题精练】A 组】1.a b 1,a2 b2 的最小值为 11 2.a,b R，a b 1,最小值为 ab 111 3

12、.a b c 1,a,b,c R,最小值为 _ 9 abc 4.已知 x 0,y 0且x 2y 1，则 u 1 1的最小值为 _ 3 2 2 xy 149 5.已知 a,b,c R,a b c 1,则 的最小值为 _ 36 xyz 6.a,b,c R,a b c 3,2a 1 2b 1 2c 1 最大值为 _ 8.求函数 y 3 x 5 4 6 x 的最大值 _ 5 解：(3 x 5 4 6 x)2(32 42)(x 5)2(6 x)2)25 另法二：(12 12 12)(a2 b2 c2)(a b c)2 1 即 3(a2 b2 c2)1，a2 b2 c2 13 111 例 5：已知 a b

13、 c d，求证：a b b c c a 9 ad 证明：a b c d,a b 0,b c 0,c d 0(a1b ab 1 1 1 b1c c1a)(a d)(1 1 a b b c c1a)(a b)(b c)(c d)33 a1b b1c c1a 33(a b)(b c)(c d)9 1 ab 11 b c c a 9 ad 33 7.a,b R，a b 1,2a 1 的最大值合法要点展开配方证法三向量法设向量则且则证法四函数法设则恒成立即常见变式简单应用例已知为实数求证例设是正实数求证分析注意到有了就可以用柯西不等式了例已知求的最小值解答要点凑配法其它方法数形结合法例求函数当且仅当是零

14、向量或存在实数使时等号成立定理二维形式的三角不等式设则一般形式的柯西不等式定理设为大于的自然数为任意实数则即其中等号当且仅当时成立当时约定引入类似的从空间向量的几何背景业能得到将空间向量的坐维形式的柯西不等式你能猜想出一般形式的柯西不等式吗证明构造二次函数即构造了一个二次函数由于对任意实数恒成立则其即即等号当且仅当即等号当且仅当时成立当时约定如果全为结论显然成立简单应用例已知都是实数求证例9.若 a,b,c R，且 a b c 1，则 a b c 的最大值是 _ _ 3 10.若a,b,c R，且 a 2b 3c 13，则 3a 2b c的最大值是 11.若实数 m,n,x,y 满足 m2 n

15、2 a,x2 y2 b(a b),则 mx ny 的最大值是 _ ab a2 b2 12.若(0,),a b 0,f()a2 b2 的最小值为 _ (a b)2 2 cos2 sin2 11n 13.设 a b c,n N*,且 恒成立，则 n 的最大值是 _ 4 a b b c a c 14.已知不等式（x y）（1 a）9对任意正实数 x,y恒成立，则正实数 a的最小值为（C）xy（）8（）6（C）4（D）2 15.a 0,b 0,且 a b 2，则(C)11(A)ab(B)ab(C)a2 b2 2(D)a2 b2 3 22 16设 a、b 为正数，且 a+b4，则下列各式中正确的一个是（

16、B）11 11 11 11 A1 B 1 C 2 D 2 ab ab ab ab 17若 a,b R，且 a b,M a b,ba N a b，则 M 与 N 的大小关系是 A M N B M N C M N D M N 18.设实数 a,b,c,d,e满足 a b c d e 8，a2 b2 c2 d2 e2 16，求 e的最大值 解：a b c d 8 e，a2 b2 c2 d2 16 e2，根据柯西不等式有(8 e)2 4(16 e2)，解得 0 e 16，当 a b c d 6时，e 有最大值 e 16 5 5 5 19.a,b,c R 且 a b c 1，求证：(a 1)2(b 1)

17、2(c 1)2 100 a b c 3 12 12 12 1 2 2 2 12 1 2 12 1 1 1 1 2(a)2(b)2(c)2(12 12 12)(a)2(b)2(c)2)(a b c)2 13 3 3 解：A a b,b 2 a,b a ab a 2 b 2 a，即 ba 合法要点展开配方证法三向量法设向量则且则证法四函数法设则恒成立即常见变式简单应用例已知为实数求证例设是正实数求证分析注意到有了就可以用柯西不等式了例已知求的最小值解答要点凑配法其它方法数形结合法例求函数当且仅当是零向量或存在实数使时等号成立定理二维形式的三角不等式设则一般形式的柯西不等式定理设为大于的自然数为任意

18、实数则即其中等号当且仅当时成立当时约定引入类似的从空间向量的几何背景业能得到将空间向量的坐维形式的柯西不等式你能猜想出一般形式的柯西不等式吗证明构造二次函数即构造了一个二次函数由于对任意实数恒成立则其即即等号当且仅当即等号当且仅当时成立当时约定如果全为结论显然成立简单应用例已知都是实数求证例a b c 3 a b c 3 a b c 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 100(1()2(1(a b c)()2(1 9)2 3 a b c 3 a b c 3 3 合法要点展开配方证法三向量法设向量则且则证法四函数法设则恒成立即常见变式简单应用例已知为实数求证例设是正实数求证分析注意到有了就可以用柯西不等式了例已知求的最小值解答要点凑配法其它方法数形结合法例求函数当且仅当是零向量或存在实数使时等号成立定理二维形式的三角不等式设则一般形式的柯西不等式定理设为大于的自然数为任意实数则即其中等号当且仅当时成立当时约定引入类似的从空间向量的几何背景业能得到将空间向量的坐维形式的柯西不等式你能猜想出一般形式的柯西不等式吗证明构造二次函数即构造了一个二次函数由于对任意实数恒成立则其即即等号当且仅当即等号当且仅当时成立当时约定如果全为结论显然成立简单应用例已知都是实数求证例