名师指点解题技巧二面角的计算方法选讲中学教育高考_中学教育-中学课件.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 图 1 名师指点解题技巧：二面角的计算方法选讲 二面角是高中数学的主要内容之一，是每年高考数学的一个必考内容，本文主要通过一些典型的例子说明二面角的基本计算方法，供同学们学习参考。一、直接法：即先作出二面角的平面角，再利用解三角形知识求解之。通常作二面角的平面角的途径有：定义法：在二面角的棱上取一个特殊点，由此点出发在二面角的两个面内分别作棱的垂线；三垂线法：如图 1，C 是二面角AB的面内 的一个点，CO 平面于 O，只需作 ODAB 于 D，连接 CD，用三垂线定理可证明CDO 就是 所求二面角的平面角。垂面法：即在二面角的棱上取一点，过此点作平面，使垂直于二面角的棱，

2、则 与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角。例 1 如图 2，在四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD底面 ABCD （1）证明 AB平面 VAD；（2）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小 解：（1）证明：VADAB C DABADABVADABAB C DADVADAB C D平面平面平面平面平面平面 （2）解：取 VD 的中点 E，连结 AF，BE，VAD 是正三形，四边形 ABCD 为正方形，由勾股定理可知，2222BDABADABVAVB,AEVD，BEVD，AEB 就是所求二面角的平面角.学习必备 欢迎下载

3、又在 RtABE 中，BAE=90，AE=32AD=32AB，因此，tanAEB=.332AEAB 即得所求二面角的大小为.332arctan 例2 如图 3，AB平面 BCD，DCCB，AD 与平面BCD 成 30 的角，且 AB=BC.（1）求 AD 与平面 ABC 所成的角的大小；（2）求二面角 C-AD-B的大小；（3）若 AB=2，求点 B 到平面 ACD 的距离。解：(1)AB平面 BCD，ADB 就是 AD 与平面 BCD 所成的角,即ADB=300,且 CDAB，又DCBC，ABBCB,CD平面 ABC，AD 与平面 ABC 所成的角为DAC，设 AB=BC=a,则 AC=a2

4、，BD=acot300=a3,AD=2a,aBCBDCD222,tanDAC=122aaCDAC,045 DAC,即，AD 与平面 ABC 所成的角为 450.(2)作 CEBD 于 E，取 AD 的中点 F，连 CF，AB面 BCD，ABDAB面，面 ABD面 BCD，又 面 ABD面 BCD=BD，BCDCE 面，CEBD，CE面 ABD，又AC=BC=a2，AF=FD，ADEF，有三垂线定理的逆定理可知，CFE 就是所求二面角的平面角.计算可知,63BC CDCEaBD，222ADACCDa,12CFADa，一个必考内容本文主要通过一些典型的例子说明二面角的基本计算方法供同学们学习参考一

5、直接法即先作出二面角的平面角再利用解三角形知识求解之通常作二面角的平面角的途径有定义法在二面角的棱上取一个特殊点由此点出发可证明就是所求二面角的平面角垂面法即在二面角的棱上取一点过此点作平面使垂直于二面角的棱则与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角例如图在四棱锥中底面是正方形侧面是正三角形平面底面证明平面求面与知就是所求二面角的平面角学习必备欢迎下载又在中因此即得所求二面角的大小为例如图平面与平面成的角且求与平面所成的角的大小求二面角的大小若求点到平面的距离解平面就是与平面所成的角即且又平面与平面所成的角为设学习必备 欢迎下载 63CEsinCFECF，CFE=arcsin63.故

6、，所求的二面角为 arcsin63 3.略 例 3如图 4，P 是边长为 1 的正六边形 ABCDEF 所在平面外一点，1PA，P 在平面 ABC 内的射影为 BF 的中点 O.（1）证明PABF；（2）求面APB与面DPB所成二面角的大小。解：（1）在正六边形 ABCDEF 中，ABF为等腰三角形，P 在平面 ABC 内的射影为 O，PO平面 ABF，AO 为 PA 在平面 ABF 内的射影；又 O 为 BF 中点，ABF为等腰三角形，AOBF，有三垂线定理可知,PABF.（2）O 为 BF 中点，ABCDEF 是正六边形，A、O、D 共线，且直线 ADBF，PO平面 ABF，ABFBF 面

7、,由三垂线定理可知,ADPB,过 O 在平面 PBF 内作 OHPB 于 H，连 AH、DH，则 PB平面 AHD,所以AHD为所求二面角平面角。又正六边形 ABCDEF 的边长为 1，12AO，32DO，32BO。12172AHOtan,7212217AOOHAHOOH在中，3212DHOtan2217DODHOOH在中，；一个必考内容本文主要通过一些典型的例子说明二面角的基本计算方法供同学们学习参考一直接法即先作出二面角的平面角再利用解三角形知识求解之通常作二面角的平面角的途径有定义法在二面角的棱上取一个特殊点由此点出发可证明就是所求二面角的平面角垂面法即在二面角的棱上取一点过此点作平面使

8、垂直于二面角的棱则与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角例如图在四棱锥中底面是正方形侧面是正三角形平面底面证明平面求面与知就是所求二面角的平面角学习必备欢迎下载又在中因此即得所求二面角的大小为例如图平面与平面成的角且求与平面所成的角的大小求二面角的大小若求点到平面的距离解平面就是与平面所成的角即且又平面与平面所成的角为设学习必备 欢迎下载 721162122 21tantan().9721122 21AHDAHODHO 从而，故,所求的二面角为16 21-arctan9.二、面积射影法：如图 5，二面角l为锐二面角,ABC 在半 平面内,ABC 在平面内的射影为A1B1C1，那么二

9、面角l的大小1 1 1 cosABCABCSS应满足.例 4 如图 6，矩形 ABCD 中,AB=6,BC=32,沿对角线 BD 将ABC折起,使点A 移至点 P,且 P 在平面 BCD 内的射影为 O,且 O 在 DC 上.（1）求证:PDPC；（2）求二面角 P-DB-C的平面角的余弦值；（3）求 CD 与平面 PBD 所成的角的正弦值.解:（1）证明:PC 在面 BCD 内的射影为 OC,且 OCBC，由三垂线定理可知，BCPC，又PB=6，BC=32，PC=,62而 PD=32，DC=6 一个必考内容本文主要通过一些典型的例子说明二面角的基本计算方法供同学们学习参考一直接法即先作出二面

10、角的平面角再利用解三角形知识求解之通常作二面角的平面角的途径有定义法在二面角的棱上取一个特殊点由此点出发可证明就是所求二面角的平面角垂面法即在二面角的棱上取一点过此点作平面使垂直于二面角的棱则与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角例如图在四棱锥中底面是正方形侧面是正三角形平面底面证明平面求面与知就是所求二面角的平面角学习必备欢迎下载又在中因此即得所求二面角的大小为例如图平面与平面成的角且求与平面所成的角的大小求二面角的大小若求点到平面的距离解平面就是与平面所成的角即且又平面与平面所成的角为设学习必备 欢迎下载 22PCPD36=DC2，PDPC.（2）PBD1OBDS6 2 36

11、32PBD 在面BCD内的射影为，且，OC322136SSS BOCCBDOBD.设 OC=x,则 OD=6-x,2222BDDOBCCO,2261224xx,.4x ,323436 BODS 设二面角 P-DB-C的大小为，则.313632cos 1arccos.3故，所求二面角为 三、空间向量法：I、先用传统方法作出二面角的平面角，再利用向量的夹角公式进行计算。例 5 如图 7，直二面角 D-AB-E中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AEEB，F 为 CE 上的点，且 BF平面 ACE（1）求证：AE平面 BCE；（2）求二面角 B-AC-E的大小；（3）求点 D 到平面 AC

12、E 的距离。解：（1）二面角 D-AB-E为直二面角，AB 为棱，CBAB，CB平面 EAB，进而可得，CBAE，又 BF平面 ACE，AEBF，而BCBCE,BFBCE,BCBF=F,平面平面且AE平面 BCE.（2）连结 BD 交 AC 于点 O，连结 OF，由于 ABCD 为正方形，所以 OBAC，又因为 BF平面 ACE，由三垂线定理的逆定理可知，OFAC，BOF 就是所求二面角的平面角.在平面 ABE 内作 AxAB,以 A 为原点，分别以 Ax、AB、AD 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立 如图 7 的空间直角坐标系，易知AEB 为等腰直角三角形，所以，A(0,0,0),O(0,1

13、,1),B(0,2,0),C(0,2,2),E(1,1,0),设 F（m,n,t），C、E、F 三点共线，一个必考内容本文主要通过一些典型的例子说明二面角的基本计算方法供同学们学习参考一直接法即先作出二面角的平面角再利用解三角形知识求解之通常作二面角的平面角的途径有定义法在二面角的棱上取一个特殊点由此点出发可证明就是所求二面角的平面角垂面法即在二面角的棱上取一点过此点作平面使垂直于二面角的棱则与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角例如图在四棱锥中底面是正方形侧面是正三角形平面底面证明平面求面与知就是所求二面角的平面角学习必备欢迎下载又在中因此即得所求二面角的大小为例如图平面与平面成

14、的角且求与平面所成的角的大小求二面角的大小若求点到平面的距离解平面就是与平面所成的角即且又平面与平面所成的角为设学习必备 欢迎下载 CF=CE,-2 t-21 1 2m,n,即 2 t22 2 22m,n,即点F坐标为（，），又 BFAC，-0,2,2=0,，即，23,故，点的坐标为，2 110 113 33OF,OB,.33OF OBcosBOF.OF OB 故，所求的二面角为 arccos33 II、直接求出平面 和的法向量12n n、，利用向量的夹角公式求12n n、的夹角，再根据法向量12n n、分别相对于二面角l的方向确定出二面角l的大小。一般地，当法向量12n n、都是从二面角l

15、的内部向外部（或外部向内部）穿行时，二面角l 的大小就是12n n、的夹角的补角；当法向量12n n、一个从二面角l的内部向外部穿行，另一个从二面角l的外部向内部穿行时，二面角l的大小就是12n n、的夹角。例 6（2006 年四川卷）如图 8，在长方体1111ABCDA B C D中，,E P分别是11,BC AD的中点，,M N分别是1,AE CD的中点，1,2ADAAaABa（）求证：/MN面11ADDA；（）求二面角PAED的大小。（）求三棱锥PDEN的体积。解：以D为原点，1,DADCDD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系，则 11,0,0,2,0,0,2,0,0,0,0

16、,A aB aaCaAaaDa,E P M N分别是111,BC AD AE CD的中点 一个必考内容本文主要通过一些典型的例子说明二面角的基本计算方法供同学们学习参考一直接法即先作出二面角的平面角再利用解三角形知识求解之通常作二面角的平面角的途径有定义法在二面角的棱上取一个特殊点由此点出发可证明就是所求二面角的平面角垂面法即在二面角的棱上取一点过此点作平面使垂直于二面角的棱则与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角例如图在四棱锥中底面是正方形侧面是正三角形平面底面证明平面求面与知就是所求二面角的平面角学习必备欢迎下载又在中因此即得所求二面角的大小为例如图平面与平面成的角且求与平面所

17、成的角的大小求二面角的大小若求点到平面的距离解平面就是与平面所成的角即且又平面与平面所成的角为设学习必备 欢迎下载 3,2,0,0,0,0,2242aaaaEaPaMaNa（1）3,0,42aMNa 取0,1,0n，显然n 面11ADD A 又0MNn，MNn 而MN 面11ADD A /MN面11ADD A （2）显然，10,0,1m 是平面 ABCD 的一个法向量；设2,mx y z是平面 PAE的一个法向量，则2200.mAEmAP且而,0,2,0.22aaAPaAEa 0,220.2axazaxay 可取212,1,2m 12121222 21cos,2121m mm mm m 又法向

18、量10,0,1m 是从二面角PAED的外部向内部穿行的，法向量212,1,2m是从二面角PAED的内部向外部穿行的.故，所求二面角为2 21arccos.21 （3）设1111,nx y z为平面DEN的法向量，则11,nDE nDN 又,2,0,0,0,222aaaDEaDNaDPa 1111202202axayayz 即 111142xyzy 可取14,1,2n P点到平面DEN的距离为11224161421DP naaadn 一个必考内容本文主要通过一些典型的例子说明二面角的基本计算方法供同学们学习参考一直接法即先作出二面角的平面角再利用解三角形知识求解之通常作二面角的平面角的途径有定义

19、法在二面角的棱上取一个特殊点由此点出发可证明就是所求二面角的平面角垂面法即在二面角的棱上取一点过此点作平面使垂直于二面角的棱则与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角例如图在四棱锥中底面是正方形侧面是正三角形平面底面证明平面求面与知就是所求二面角的平面角学习必备欢迎下载又在中因此即得所求二面角的大小为例如图平面与平面成的角且求与平面所成的角的大小求二面角的大小若求点到平面的距离解平面就是与平面所成的角即且又平面与平面所成的角为设学习必备 欢迎下载 8cos,85DE DNDE DNDEDN，21sin,85DE DN 2121sin,28DENSDEDNDE DNa 32112143

20、38621P DENDENaaVSda 一个必考内容本文主要通过一些典型的例子说明二面角的基本计算方法供同学们学习参考一直接法即先作出二面角的平面角再利用解三角形知识求解之通常作二面角的平面角的途径有定义法在二面角的棱上取一个特殊点由此点出发可证明就是所求二面角的平面角垂面法即在二面角的棱上取一点过此点作平面使垂直于二面角的棱则与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角例如图在四棱锥中底面是正方形侧面是正三角形平面底面证明平面求面与知就是所求二面角的平面角学习必备欢迎下载又在中因此即得所求二面角的大小为例如图平面与平面成的角且求与平面所成的角的大小求二面角的大小若求点到平面的距离解平面就是与平面所成的角即且又平面与平面所成的角为设