高考理科二面角和二面角的求法中学教育高考_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 二面角和二面角的求法 知识清单 1.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二 面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。2.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。3.直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角 4.求二面角的方法 （1）定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角（2）垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线

2、，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。（3）射影面积法 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos斜射SS）求出二面角的大小。（4）向量法 学习必备 欢迎下载 考点阐述 考点一：定义法求二面角 例题：如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD 底面ABCD，2AD 2DCSD，点 M 在侧棱SC上，ABM=60（I）证明：M 在侧棱SC的中点（II）求二面角SAMB的大小。1.如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为菱形，PA平面 A

3、BCD，60ABC,E，F分别是 BC,PC 的中点.（）证明：AEPD;（）若 H 为 PD 上的动点，EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为62，求二面角 EAFC 的余弦值.2.【2012 高考真题广东理 18】如图 5 所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA 平面 ABCD，点 E 在线段 PC上，PC平面 BDE （1）证明：BD 平面 PAC；（2）若 PA=1，AD=2，求二面角 B-PC-A 的正切值；P A B C D E 二面角这条直线叫做二面角的棱这两个半平面叫做二面角的面二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为顶点在两个面内分别作垂直于棱的两条

4、射线这两条射线所成的角叫二面角的平面角直二面角平面角是直角的二面角叫直二面角二面角求二面角的方法定义法在棱上选择有关点过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂线法三垂线定理在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直那么它也和这条斜线垂直通常当点在一个半平面上面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式射斜求出二面角的大小向量法学习必备欢迎下载考点阐述考点一定义法求二面角例题如图四棱锥中底面为矩形底面点在侧棱上证明在侧棱的中点求二面角的大小如图已知四棱锥底面为菱学习必备 欢迎下载 考点二：垂线法求二面角 例：如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，底面 ABCD 为等腰梯

5、形，AB/CD，AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1、F 分别是棱 AD、AA1、AB 的中点。（1）证明：直线 EE1/平面 FCC1；（2）求二面角 B-FC1-C的余弦值。1.如 图，在 四 棱 锥ABCDP 中，底 面ABCD是 矩 形 已 知60,22,2,2,3PABPDPAADAB（）证明AD平面PAB；（）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（）求二面角ABDP的大小 2.在 如 图 所 示 的 几 何 体 中，四 边 形ABCD是 等 腰 梯 形，ABCD，60,DABFC平面,ABCD AEBD CBCDCF.（）求证：BD 平面AED；（）求二面角FBDC的余弦

6、值.EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 二面角这条直线叫做二面角的棱这两个半平面叫做二面角的面二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为顶点在两个面内分别作垂直于棱的两条射线这两条射线所成的角叫二面角的平面角直二面角平面角是直角的二面角叫直二面角二面角求二面角的方法定义法在棱上选择有关点过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂线法三垂线定理在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直那么它也和这条斜线垂直通常当点在一个半平面上面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式射斜求出二面角的大小向量法学习必备欢迎下载考点阐述考点一定义法求二面角例题如图四棱锥中底面为矩形底面

7、点在侧棱上证明在侧棱的中点求二面角的大小如图已知四棱锥底面为菱学习必备 欢迎下载 3.如图，在三棱锥PABC中，90APB，60PAB，ABBCCA，平面PAB 平面ABC。（）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（）求二面角BAPC的大小。考点三：射影面积法求二面角 例题：如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC（）求证：PCAB；（）求二面角BAPC的余弦值的大小；A C B P ABCP二面角这条直线叫做二面角的棱这两个半平面叫做二面角的面二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为顶点在两个面内分别作垂直于棱的两条射线这两条射线所成的角叫二面角的平面角直二面角

8、平面角是直角的二面角叫直二面角二面角求二面角的方法定义法在棱上选择有关点过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂线法三垂线定理在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直那么它也和这条斜线垂直通常当点在一个半平面上面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式射斜求出二面角的大小向量法学习必备欢迎下载考点阐述考点一定义法求二面角例题如图四棱锥中底面为矩形底面点在侧棱上证明在侧棱的中点求二面角的大小如图已知四棱锥底面为菱学习必备 欢迎下载 1.如图 5，E 为正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 CC1的中点，求平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1所成锐角的余弦值.2.如图，在

9、四棱锥 P-ABCD 中，PA 平面 ABCD，AC AD，AB BC，BAC=45，PA=AD=2，AC=1.（）证明 PCAD；（）求二面角 A-PC-D 的余弦值；DCBAP 3.如图，已知正三棱柱ABC-111ABC的底面边长为 2，侧棱长为3 2，点 E 在侧棱1AA上，点 F在侧棱1BB上，且2 2AE,2BF.(I)求证：1CFC E；(II)求二面角1ECFC的大小。A1 D1 B1 C1 E D B C A 图 5 二面角这条直线叫做二面角的棱这两个半平面叫做二面角的面二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为顶点在两个面内分别作垂直于棱的两条射线这两条射线所成的角叫二面角的平面

10、角直二面角平面角是直角的二面角叫直二面角二面角求二面角的方法定义法在棱上选择有关点过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂线法三垂线定理在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直那么它也和这条斜线垂直通常当点在一个半平面上面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式射斜求出二面角的大小向量法学习必备欢迎下载考点阐述考点一定义法求二面角例题如图四棱锥中底面为矩形底面点在侧棱上证明在侧棱的中点求二面角的大小如图已知四棱锥底面为菱学习必备 欢迎下载 考点四：向量法求二面角 例题：如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，AA1C1C 是边长为 4 的正方形.平面 ABC平面 AA1C1

11、C，AB=3，BC=5.（）求证：AA1平面 ABC；（）求二面角 A1-BC1-B1的余弦值；1.如图，直三棱柱111ABCABC中，112ACBCAA，D是棱1AA的中点，BDDC 1（1）证明：BCDC 1（2）求二面角11CBDA的大小.A D C B ACB二面角这条直线叫做二面角的棱这两个半平面叫做二面角的面二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为顶点在两个面内分别作垂直于棱的两条射线这两条射线所成的角叫二面角的平面角直二面角平面角是直角的二面角叫直二面角二面角求二面角的方法定义法在棱上选择有关点过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂线法三垂线定理在平面内的一条直线如果和

12、这个平面的一条斜线的射影垂直那么它也和这条斜线垂直通常当点在一个半平面上面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式射斜求出二面角的大小向量法学习必备欢迎下载考点阐述考点一定义法求二面角例题如图四棱锥中底面为矩形底面点在侧棱上证明在侧棱的中点求二面角的大小如图已知四棱锥底面为菱学习必备 欢迎下载 2.如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2 3的菱形，且BAD120，且PA平面ABCD，PA2 6，M，N分别为PB，PD的中点()证明：MN平面ABCD；()过点A作AQPC，垂足为点Q，求二面角AMN Q的平面角的余弦值 3.如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=

13、12P D （I）证明：平面PQC平面DCQ；（II）求二面角QBPC的余弦值 A D B C M P Q N 二面角这条直线叫做二面角的棱这两个半平面叫做二面角的面二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为顶点在两个面内分别作垂直于棱的两条射线这两条射线所成的角叫二面角的平面角直二面角平面角是直角的二面角叫直二面角二面角求二面角的方法定义法在棱上选择有关点过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂线法三垂线定理在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直那么它也和这条斜线垂直通常当点在一个半平面上面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式射斜求出二面角的大小向量法学习必备欢迎下载考点阐述考点一定义法求二面角例题如图四棱锥中底面为矩形底面点在侧棱上证明在侧棱的中点求二面角的大小如图已知四棱锥底面为菱