高考理科数学专题突破四立体几何中学教育高考_中学教育-高考.pdf

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1、学习好资料 欢迎下载 2016高考里数学专题突破四立体几何问题 考点自测 1某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()A4 B.143 C.163 D6 2已知 m，n 为异面直线，m平面 ，n平面 .直线 l 满足 lm，ln，l ，l ，则()A 且 l B 且 l C 与 相交，且交线垂直于 l D 与 相交，且交线平行于 l 3如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 为线段 BD 的中点设点 P在线段 CC1上，直线 OP 与平面 A1BD 所成的角为 ，则 sin的取值范围是()A33，1 B63，1 C63，2 23 D2 23，1 4三棱锥 PABC 中，D，E

2、 分别为 PB，PC 的中点，记三棱锥 DABE 的体积为 V1，PABC 的体积为 V2，则V1V2_.5如图，在三棱锥 PABC 中，D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点若 PAAC，PA6，BC8，DF5.则 PA与平面 DEF 的位置关系是_；平面 BDE 与平面 ABC 的位置关系是_(填“平行”或“垂直”)学习好资料 欢迎下载 题型四空间向量与立体几何 例 4(2014 辽宁)如图，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且 ABBCBD2，ABCDBC120，E，F 分别为 AC，DC 的中点(1)求证：EFBC；(2)求二面角 EBFC 的正弦值 在如图所示的几何体中，底

3、面 ABCD 为菱形，BAD60，AA1綊 DD1綊 CC1BE，且 AA1AB，D1E平面 D1AC，AA1底面 ABCD.(1)求二面角 D1ACE 的大小；(2)在 D1E 上是否存在一点 P，使得 A1P平面 EAC，若存在，求D1PPE的值，若不存在，说明理由 测已知为异面直线平面平面直线满足则且且与相交且交线垂直于与相交且交线平行于如图在正方体中点为线段的中点设点在线段上直线与平面所成的角为则的取值范围是三棱锥中分别为的中点记三棱锥的体积为则如图在三棱锥中分四空间向量与立体几何例辽宁如图和所在平面互相垂直且分别为的中点求证求二面角的正弦值在如图所示的几何体中底面为菱形綊綊且平面底面

4、求二面角的大小在上是否存在一点使得平面若存在求的值若不存在说明理由学习好资料底面为直角三角形由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱侧棱与底面垂直的棱柱截取得到的在长方体中分析还原如图所示故该几何体的直观图如图所示在图中直角梯形的面积为计算可得直角梯形的面积为因为平面平面所学习好资料 欢迎下载 (时间：70 分钟)1(2014 重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A54B60C66D72 答案 B 解析由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的

5、直观图如图(2)所示在图(1)中，直角梯形 ABPA1的面积为12(25)414，计算可得 A1P5.直角梯形 BCC1P 的面积为12(25)5352.因为 A1C1平面 A1ABP，A1P平面 A1ABP，所以 A1C1A1P，故 Rt A1PC1的面积为1253152.测已知为异面直线平面平面直线满足则且且与相交且交线垂直于与相交且交线平行于如图在正方体中点为线段的中点设点在线段上直线与平面所成的角为则的取值范围是三棱锥中分别为的中点记三棱锥的体积为则如图在三棱锥中分四空间向量与立体几何例辽宁如图和所在平面互相垂直且分别为的中点求证求二面角的正弦值在如图所示的几何体中底面为菱形綊綊且平面

6、底面求二面角的大小在上是否存在一点使得平面若存在求的值若不存在说明理由学习好资料底面为直角三角形由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱侧棱与底面垂直的棱柱截取得到的在长方体中分析还原如图所示故该几何体的直观图如图所示在图中直角梯形的面积为计算可得直角梯形的面积为因为平面平面所学习好资料 欢迎下载 又 Rt ABC 的面积为12436，矩形 ACC1A1的面积为 5315，故几何体 ABCA1PC1的表面积为 1435215261560.2已知 m，n 分别是两条不重合的直线，a，b 分别垂直于两不重合平面 ，有以下四个命题：若 m，nb，且 ，则 mn；若 ma，nb，且 ，则 mn；若

7、 m，nb，且 ，则 mn；若 m，nb，且 ，则 mn.其中正确的命题是()ABCD 答案 D 解析对于，b，n b，n，m，且 ，mn，错误；对于，a，b 分别垂直于两不重合平面 ，ab，m a，n b，mn，正确；对于，n b，b，n，m ，mn，正确；对于，m，b，mb，nb，m n 或 mn 或 m，n 相交，不正确所以正确 3如图梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90，ADBCAB234，E、F 分别是 AB、CD 的中点，将四边形 ADFE 沿直线 EF 进行翻折，给出四个结论：DFBC；BDFC；平面 DBF平面 BFC；平面 DCF平面 BFC.在翻折过程中，可能成立的结论

8、是_(填写结论序号)答案 解析因为 BC AD，AD 与 DF 相交不垂直，所以 BC 与 DF 不垂直，则不成立；设点 D 在平面 BCF 上的射影为点 P，当 BPCF 时就有BDFC，而 ADBCAB234，可使条件满足，所以正确；当点 P 落在 BF 上时，DP平面 BDF，从而平面 BDF平面 BCF，所以正确；因为点 D 的射影不可能在 FC 上，所以平面 DCF平面 BFC 不成立，即错误故答案为.测已知为异面直线平面平面直线满足则且且与相交且交线垂直于与相交且交线平行于如图在正方体中点为线段的中点设点在线段上直线与平面所成的角为则的取值范围是三棱锥中分别为的中点记三棱锥的体积为

9、则如图在三棱锥中分四空间向量与立体几何例辽宁如图和所在平面互相垂直且分别为的中点求证求二面角的正弦值在如图所示的几何体中底面为菱形綊綊且平面底面求二面角的大小在上是否存在一点使得平面若存在求的值若不存在说明理由学习好资料底面为直角三角形由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱侧棱与底面垂直的棱柱截取得到的在长方体中分析还原如图所示故该几何体的直观图如图所示在图中直角梯形的面积为计算可得直角梯形的面积为因为平面平面所学习好资料 欢迎下载 4如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 是棱 BC 的中点，点 F是棱 CD 上的动点，当CFFD_时，D1E平面 AB1F.答案 1 解析如

10、图，连接 A1B，则 A1B 是 D1E 在平面 ABB1A1内的射影 AB1A1B，D1EAB1，又 D1E平面 AB1FD1EAF.连接 DE，则 DE 是 D1E 在底面 ABCD 内的射影，D1EAFDEAF.ABCD 是正方形，E 是 BC 的中点，当且仅当F 是 CD 的中点时，DEAF，即当点 F 是 CD 的中点时，D1E平面 AB1F，CFFD1 时，D1E平面 AB1F.5如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G 四点共面；(2)平面 EFA1平面 BCHG.证明(1)GH 是 A1B1C

11、1的中位线，GH B1C1.又 B1C1 BC，GH BC，B，C，H，G 四点共面(2)E，F 分别为 AB，AC 的中点，EF BC，EF 平面 BCHG，BC平面 BCHG，EF平面BCHG.A1G 与 EB 平行且相等，四边形A1EBG 是平行四边形，A1E GB.A1E 平面 BCHG，GB平面 BCHG，A1E平面BCHG.测已知为异面直线平面平面直线满足则且且与相交且交线垂直于与相交且交线平行于如图在正方体中点为线段的中点设点在线段上直线与平面所成的角为则的取值范围是三棱锥中分别为的中点记三棱锥的体积为则如图在三棱锥中分四空间向量与立体几何例辽宁如图和所在平面互相垂直且分别为的中

12、点求证求二面角的正弦值在如图所示的几何体中底面为菱形綊綊且平面底面求二面角的大小在上是否存在一点使得平面若存在求的值若不存在说明理由学习好资料底面为直角三角形由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱侧棱与底面垂直的棱柱截取得到的在长方体中分析还原如图所示故该几何体的直观图如图所示在图中直角梯形的面积为计算可得直角梯形的面积为因为平面平面所学习好资料 欢迎下载 A1E EFE，平面EFA1平面BCHG.6如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是棱 DD1的中点在棱 C1D1上是否存在一点 F，使 B1F平面 A1BE？并证明你的结论 解在棱 C1D1上存在点 F，使 B1F平面

13、A1BE.因为平面ABB1A1平面DCC1D1，所以A1B与平面A1EB和平面DCC1D1的交线平行，如图所示，取 CD 的中点 G，连接 EG，BG，则 EG，BG 就是平面 A1BE 分别与平面 DCC1D1和平面 ABCD 的交线 取 C1D1的中点 F，CC1的中点 H，连接 HF，B1F，B1H.因为 HF EG，所以 HF平面A1EB.因为 A1B1 C1D1 HE，所以 A1，B1，H，E 四点共面，又平面 BB1C1C平面AA1D1D，所以 B1H A1E，从而 B1H平面A1EB，因为 B1H HFH，所以平面 B1HF平面A1EB，所以 B1F平面A1EB.7(2014 福

14、建)在平面四边形 ABCD 中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.将ABD 沿 BD 折起，使得平面 ABD平面 BCD，如图所示(1)求证：ABCD；(2)若 M 为 AD 中点，求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值(1)证明平面ABD平面 BCD，平面 ABD平面BCDBD，AB平面 ABD，ABBD，AB平面 BCD.测已知为异面直线平面平面直线满足则且且与相交且交线垂直于与相交且交线平行于如图在正方体中点为线段的中点设点在线段上直线与平面所成的角为则的取值范围是三棱锥中分别为的中点记三棱锥的体积为则如图在三棱锥中分四空间向量与立体几何例辽宁如图和所在平面互相垂直且分别为的中点

15、求证求二面角的正弦值在如图所示的几何体中底面为菱形綊綊且平面底面求二面角的大小在上是否存在一点使得平面若存在求的值若不存在说明理由学习好资料底面为直角三角形由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱侧棱与底面垂直的棱柱截取得到的在长方体中分析还原如图所示故该几何体的直观图如图所示在图中直角梯形的面积为计算可得直角梯形的面积为因为平面平面所学习好资料 欢迎下载 又 CD平面 BCD，ABCD.(2)解过点 B 在平面 BCD 内作 BEBD，如图 由(1)知 AB平面 BCD，BE平面 BCD，BD平面 BCD，ABBE，ABBD.以 B 为坐标原点，分别以BE，BD，BA的方向为 x 轴，y

16、 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 依题意，得 B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，M(0，12，12)，则BC(1,1,0)，BM(0，12，12)，AD(0,1，1)设平面 MBC 的法向量 n(x0，y0，z0)，则 n BC0，n BM0，即 x0y00，12y012z00，取 z01，得平面 MBC 的一个法向量 n(1，1,1)设直线 AD 与平面 MBC 所成角为 ，则 sin|cosn，AD|n AD|n|AD|63，即直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值为63.8如图所示，平面 ABDE平面 ABC，ABC 是等腰直角三角形，AC

17、BC4，四边形 ABDE 是直角梯形，BDAE，BDBA，BD12AE2，O，M 分别为 CE，AB 的中点(1)求证：OD平面 ABC；(2)求直线 CD 和平面 ODM 所成角的正弦值；(3)能否在 EM 上找一点 N，使得 ON平面 ABDE？若能，请指出点 N 的位置，并加以证明；若不能，请说明理由(1)证明取 AC 中点 F，连接 OF，FB.F 是 AC 中点，O 为 CE 中点，测已知为异面直线平面平面直线满足则且且与相交且交线垂直于与相交且交线平行于如图在正方体中点为线段的中点设点在线段上直线与平面所成的角为则的取值范围是三棱锥中分别为的中点记三棱锥的体积为则如图在三棱锥中分四

18、空间向量与立体几何例辽宁如图和所在平面互相垂直且分别为的中点求证求二面角的正弦值在如图所示的几何体中底面为菱形綊綊且平面底面求二面角的大小在上是否存在一点使得平面若存在求的值若不存在说明理由学习好资料底面为直角三角形由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱侧棱与底面垂直的棱柱截取得到的在长方体中分析还原如图所示故该几何体的直观图如图所示在图中直角梯形的面积为计算可得直角梯形的面积为因为平面平面所学习好资料 欢迎下载 OF EA且 OF12EA.又 BD AE且 BD12AE，OF DB，OFDB，四边形BDOF 是平行四边形，OD FB.又 FB平面 ABC，OD 平面 ABC，OD平面A

19、BC.(2)解平面ABDE平面 ABC，平面 ABDE平面ABCAB，DB平面 ABDE，且 BDBA，DB平面 ABC.BD AE，EA平面 ABC.如图所示，以 C 为原点，分别以 CA，CB 所在直线为 x，y 轴，以过点 C 且与平面 ABC 垂直的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 ACBC4，C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)，D(0,4,2)，E(4,0,4)，O(2,0,2)，M(2,2,0)，CD(0,4,2)，OD(2,4,0)，MD(2,2,2)设平面 ODM 的法向量为 n(x，y，z)，则由 nMD，nOD，可得 2x4y0，2x2y2z0.令 x2

20、，得 y1，z1.n(2,1,1)设直线 CD 和平面 ODM 所成角为 ，则 sin|n CD|n|CD|2，1，1 0，4，2|221212 02422266 2 53010.直线CD 和平面 ODM 所成角的正弦值为3010.测已知为异面直线平面平面直线满足则且且与相交且交线垂直于与相交且交线平行于如图在正方体中点为线段的中点设点在线段上直线与平面所成的角为则的取值范围是三棱锥中分别为的中点记三棱锥的体积为则如图在三棱锥中分四空间向量与立体几何例辽宁如图和所在平面互相垂直且分别为的中点求证求二面角的正弦值在如图所示的几何体中底面为菱形綊綊且平面底面求二面角的大小在上是否存在一点使得平面若

21、存在求的值若不存在说明理由学习好资料底面为直角三角形由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱侧棱与底面垂直的棱柱截取得到的在长方体中分析还原如图所示故该几何体的直观图如图所示在图中直角梯形的面积为计算可得直角梯形的面积为因为平面平面所学习好资料 欢迎下载(3)解当 N 是 EM 中点时，ON平面 ABDE.方法一取 EM 中点 N，连接 ON，CM，ACBC，M 为 AB 中点，CMAB.又平面ABDE平面 ABC，平面 ABDE平面ABCAB，CM平面 ABC，CM平面 ABDE.N 是 EM 中点，O 为 CE 中点，ON CM，ON平面 ABDE.方法二由(2)设 N(a，b，c)，

22、MN(a2，b2，c)，NE(4a，b,4c)点N 在 ME 上，MN NE，即(a2，b2，c)(4a，b,4c)，a2 4a，b2 b，c 4c，解得 a4 2 1，b2 1，c4 1.N(4 2 1，2 1，4 1)BD(0,0,2)是平面 ABC 的一个法向量，ONBD，4 12，解得 1.MNNE，即 N 是线段 EM 的中点，当N 是 EM 的中点时，ON平面 ABDE.测已知为异面直线平面平面直线满足则且且与相交且交线垂直于与相交且交线平行于如图在正方体中点为线段的中点设点在线段上直线与平面所成的角为则的取值范围是三棱锥中分别为的中点记三棱锥的体积为则如图在三棱锥中分四空间向量与立体几何例辽宁如图和所在平面互相垂直且分别为的中点求证求二面角的正弦值在如图所示的几何体中底面为菱形綊綊且平面底面求二面角的大小在上是否存在一点使得平面若存在求的值若不存在说明理由学习好资料底面为直角三角形由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱侧棱与底面垂直的棱柱截取得到的在长方体中分析还原如图所示故该几何体的直观图如图所示在图中直角梯形的面积为计算可得直角梯形的面积为因为平面平面所