多元积分知识点小结高等教育微积分_高等教育-微积分.pdf

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1、多元积分知识点小结 与定积分、重积分类似，曲线积分及曲面积分也都是某种和式的极限,并且有类似的性质，他们都是从实际问题中抽象出来而产生的数学概念.由于他们的实际背景有差异，故曲线积分及曲面积分各分成两类：曲线积分分为对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）和对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）；曲面积分分为对面积的曲面积分（第一类曲面积分）和对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）.需要特别指出的是，对于定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分，这五种类型的积分的定义、性质、中值定理及物理应用都是类似的，可以把它们的定义、性质、中值定理及物理应用统一起来.首先约定，集合E的测度的含义是：如

2、果集合E是实轴上的区间，则E的测度即为该区间的长度；如果集合E是平面上的区域，则E的测度即为该区域的面积；如果集合E是空间立体，则E的测度即为该立体的体积；等等.1.定义：设函数()f P在集合E上有定义，以任意方式把集合E分成n部分12,nE EEL，它们的测度分别记为12,nEEEL.在iE上任取一点(1,2,)iP inL，作和式1()niiif PE，记1maxii nE的直径.如果不论集合E如何分法，也不论iP在iE上如何取法，极限 01lim()niiif PE 都存在并且是唯一的，则称函数()f P在集合E上可积分，并称该极限值为函数()f P在集合E上的积分，记为()Ef P

3、dE，即 01()lim()niiEif P dEf PE.例如，如果E是实轴上的区间,a b，()()f Pf x为一元函数，则上述积分即是定积分()baf x dx；如果E是平面上的区域D，()(,)f Pf x y为二元函数，则上述积分即是二重积分(,)Df x y d；如果E是空间曲面，()(,)f Pf x y z为三元函数，则上述积分即是第一类曲面积分(,)f x y z dS；等等.2.性质：上述五种类型的积分的性质是相通的，只要在定积分的各条性质中把()baf x dx换成()Ef P dE，则定积分的各条性质就成为二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的共性.例如

4、，（1）k为常数，则()()EEkf P dEkf P dE；（2）()()Ef Pg PdE()Ef P dE()Eg P dE；（3）EdE 集合E的测度；（4）如果12EEE，且12EE，则 12()()()EEEf P dEf P dEf P dE；M 3.中值定理：设函数()f P在集合E上连续，则在E上至少存在一点P，使得()()Ef P dEf P集合E的测度.例如，如果P是实轴上的区间,a b，()()f Pf x为一元函数，则()baf x dx()()fba，,a b；如果P是平面上的区域D，()(,)f Pf x y为二元函数，则(,)(,)Df x y df 区域D的面

5、积，(,)D；等等.由于考研大纲规定中值定理的考试范围只有定积分和二重积分，所以三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的中值定理不需要掌握.4.物理应用：第二类曲线积分的物理意义是变力沿曲线所做的功，第二类曲面积分的物理意义是流体沿曲面指定侧的流量.除此之外，二重积分，三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分在物理上的应用主要分为三个方面，分别是转动惯量（惯性矩）、质心和引力.因为这些物理应用都是类似的，所以我们对每个物理应用仅对上述四个积分中的部分积分作介绍.（1）转动惯量：设质点P的质量为m，质点P绕直线L转动时，转动半径为r，则转动惯量（此处不考虑转动惯量的方向）为2Imr.设集合E的

6、密度为()P，在E上任取微元dE，则dE的质量为()P dE.如果dE绕直线L转动的转动半径为r，则dE绕直线L转动的转动惯量为2(,)dIrx y dE，从而E绕直线L转动的转动惯量为2(,)EIrx y dE.如果E是平面区域D，密度为(,)x y，相应的dEd，(,)x yd，D绕x轴、y轴和原点的转动惯量分别为 22(,),(,)xyDDIyx y dIxx y d，22()(,)ODIxyx y d.如果E是空间区域，密度为(,)x y z，相应的dEdv，(,)x y zdv，绕x轴、从实际问题中抽象出来而产生的数学概念由于他们的实际背景有差异故曲线积分及曲面积分各分成两类曲线积分

7、分为对弧长的曲线积分第一类曲线积分和对坐标的曲线积分第二类曲线积分曲面积分分为对面积的曲面积分第一类曲面曲面积分这五种类型的积分的定义性质中值定理及物理应用都是类似的可以把它们的定义性质中值定理及物理应用统一起来首先约定集合的测度的含义是如果集合是实轴上的区间则的测度即为该区间的长度如果集合是平面上的区域意方式把集合分成部分它们的测度分别记为在上任取一点和式记的直径如果不论集合如何分法也不论在上如何取法极限都存在并且是唯一的则称函数在集合上可积分并称该极限值为函数在集合上的积分记为即例如如果是实轴上的区y轴，z轴和原点的转动惯量分别为 22()(,),xIyzx y z dv 22()(,),

8、yIxzx y z dv 22()(,),zIxyx y z dv 222()(,)OIxyzx y z dv.如果E是平面曲线L，密度为(,)x y，相应的dEds，(,)x yds，L绕x轴、y轴和原点的转动惯量分别为 22(,),(,)xyLLIyx y dsIxx y ds，22()(,)OLIxyx y ds.当E是空间曲线时，绕x轴、y轴，z轴和原点的转动惯量与上述类似.如果E是空间曲面，密度为(,)x y z，相应的dEdS，(,)x y zdS，绕x轴、y轴，z轴和原点的转动惯量分别为 22()(,),xIyzx y z dS 22()(,),yIxzx y z dS 22()

9、(,)zIxyx y z dS 222()(,)OIxyzx y z dS.（2）质心：设质点系12,nP PPL位于某坐标系中相应于u轴的坐标分别为12,nu uuL，质量分别为12,nm mmL则该质点系的质心相应于u轴的坐标为 1 12212nnnmum um uummm LL.设集合E的密度为()P，在E上任取微元dE，dE相应的坐标为u，dE的质量为()P dE，集合E的总质量为()EP dE，则集合E的质心相应于u轴的坐标为 ()()EEuP dEuP dE.如果E是平面区域D，密度为(,)x y，相应的dEd，则D的质心相应于x轴和y轴的坐标分别为 从实际问题中抽象出来而产生的数

10、学概念由于他们的实际背景有差异故曲线积分及曲面积分各分成两类曲线积分分为对弧长的曲线积分第一类曲线积分和对坐标的曲线积分第二类曲线积分曲面积分分为对面积的曲面积分第一类曲面曲面积分这五种类型的积分的定义性质中值定理及物理应用都是类似的可以把它们的定义性质中值定理及物理应用统一起来首先约定集合的测度的含义是如果集合是实轴上的区间则的测度即为该区间的长度如果集合是平面上的区域意方式把集合分成部分它们的测度分别记为在上任取一点和式记的直径如果不论集合如何分法也不论在上如何取法极限都存在并且是唯一的则称函数在集合上可积分并称该极限值为函数在集合上的积分记为即例如如果是实轴上的区(,)(,),(,)(,

11、)DDDDxx y dyx y dxyx y dx y d.特别地，当(,)x y常数时，上式成为 ,DDDDxdydxydd，此即平面区域D的形心坐标.如果E是空间区域，密度为(,)x y z，相应的dEdv，则的质心相应于x轴，y轴和z轴的坐标分别为(,)(,)(,),.(,)(,)(,)xx y z dvyx y z dvzx y z dvxyzx y z dvx y z dvx y z dv 如果E是平面曲线L，密度为(,)x y，相应的dEds，则L的质心相应于x轴和y轴的坐标分别为(,)(,),(,)(,)LLLLxx y dsyx y dsxyx y dsx y ds.当E是空间

12、曲线时时，的质心相应于x轴、y轴，z轴的坐标与上述类似.如果E是空间曲面，密度为(,)x y z，相应的dEdS，则的质心相应于x轴，y轴和z轴的坐标分别为(,)(,)(,),.(,)(,)(,)xx y z dSyx y z dSzx y z dSxyzx y z dSx y z dSx y z dS（3）引力：万有引力定律设有两个质点,p P，其质量分别为,m M，p与P的距离为r，则p与P之间的引力大小为 2,kmMFr 其中k是引力常数.设质点0P位于某坐标系中u轴的坐标为0u，其质量为M.设集合E的密度为()P，在E上任取微元dE，dE相应的坐标为u，dE的质量为()P dE，dE与

13、0P的距离为r，从实际问题中抽象出来而产生的数学概念由于他们的实际背景有差异故曲线积分及曲面积分各分成两类曲线积分分为对弧长的曲线积分第一类曲线积分和对坐标的曲线积分第二类曲线积分曲面积分分为对面积的曲面积分第一类曲面曲面积分这五种类型的积分的定义性质中值定理及物理应用都是类似的可以把它们的定义性质中值定理及物理应用统一起来首先约定集合的测度的含义是如果集合是实轴上的区间则的测度即为该区间的长度如果集合是平面上的区域意方式把集合分成部分它们的测度分别记为在上任取一点和式记的直径如果不论集合如何分法也不论在上如何取法极限都存在并且是唯一的则称函数在集合上可积分并称该极限值为函数在集合上的积分记为

14、即例如如果是实轴上的区则dE与0P之间的引力为2()kMP dEr，其中k是引力常数，该引力在u轴上的分力为02()uukMP dErr，从而集合E与0P之间引力在u轴上的分力大小为 03()().uEkM uuP dEFr 如果质点0P位于xOy平面内，其坐标为00(,)xy，而E是平面区域D，密度为(,)x y，相应的dEd，(,)x yd，则D与0P之间的引力在x轴和y轴上的分力分别为 0022 3/222 3/20000()(,)()(,),()()()()xyDDkM xxx ykM yyx yFdFdxxyyxxyy.M 如果质点0P位于空间直角坐标系内，其坐标为000(,)xyz

15、，而E是空间曲面，密度为(,)x y z，相应的dEdS，(,)x y zdS，则与0P之间的引力在x轴、y轴和z轴上的分力分别为 0222 3/2000()(,),()()()xkM xxx y zFdSxxyyzz 0222 3/2000()(,),()()()ykM yyx y zFdSxxyyzz 0222 3/2000()(,).()()()zkM zzx y zFdSxxyyzz 从实际问题中抽象出来而产生的数学概念由于他们的实际背景有差异故曲线积分及曲面积分各分成两类曲线积分分为对弧长的曲线积分第一类曲线积分和对坐标的曲线积分第二类曲线积分曲面积分分为对面积的曲面积分第一类曲面曲面积分这五种类型的积分的定义性质中值定理及物理应用都是类似的可以把它们的定义性质中值定理及物理应用统一起来首先约定集合的测度的含义是如果集合是实轴上的区间则的测度即为该区间的长度如果集合是平面上的区域意方式把集合分成部分它们的测度分别记为在上任取一点和式记的直径如果不论集合如何分法也不论在上如何取法极限都存在并且是唯一的则称函数在集合上可积分并称该极限值为函数在集合上的积分记为即例如如果是实轴上的区