八年级数学菱形定义中学教育中考_中学教育-中学课件.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 菱形的定义 学习目标：1.认识菱形的概念，熟悉菱形与平行四边形的关系.2.掌握菱形的性质，会用这些性质进行有关的计算和证明.3.了解菱形在生活中的应用实例，能根据菱形的性质解决简单的实际问题.4.理解菱形的面积公式，会选择适当的方法计算菱形的面积.一、知识回顾：1.两组对边分别平行的四边形称为 .2.平行四边形性质：平行四边形对边 且 平行四边形两条对角线 。平行四边形的对角 。3.如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形能够 ，那么这个图形是轴对称图形 。二.探究新知：1.阅读教材 P55“思考”以上的内容，然后与小组伙伴交流，并尝试回答下列问题：（1）菱形的定义：有一

2、组 相等的平行四边形叫菱形如图记作“菱形 ”（2）用定义证明菱形的推理步骤：四边形 ABCD 是 ，AB=BC 四边形 ABCD 是 2.菱形的性质：阅读教材 P55“思考”以上的内容，然后与小组伙伴交流，并尝试回答下列问题：（1）如图，在菱形 ABCD 中，说出它具有的平行四边形的性质 （2）如图，在菱形 ABCD 中，已知 AB=BC，把下面说明 AB=BC=CD=DA,AC BD,BD、DB 分别平分ABC 和ADC 的步骤补充完整.证明：菱形 ABCD 是平行四边形，AB=,BC=,AB=BC=CD=DA 菱形 ABCD 是平行四边形，OA=OC.AB=BC ABD=CBD,AC BD

3、(等腰三角形“三线合一”)BD 平分ABC 同理可证 BD 平分ABC（3）菱形的性质：、菱形的四条边 菱形的对角线互相 ，并且每一条对角线 一组对角。菱形是轴对称图形，它有 对称轴。3.完成下列习题（1）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A对角线互相平分 B邻角互补 C对角相等 D对角线互相垂直（2）（2011淮安）在菱形 ABCD 中，AB=7cm，则此菱形的周长为（）A7cm B21cm C28cm D35cm（3）如图，菱形 ABCD 周长为 8cm BAD=60，则 AC=23cm 考点：菱形的性质；解直角三角形 学习必备 欢迎下载（4）菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的

4、差是 32，则菱形较小的内角是 58 度 分析：根据菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是 32 即可求得菱形的内角的一半，根据菱形对角线垂直平分且为角平分线的性质，可以计算菱形较小的内角 解答：解：根据菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是 32，菱形对角线垂直平分且为角平分线 设菱形内角度数为 2x、2y，则 x-y=32，x+y=90，x=61，y=29，所以菱形的相邻内角为 122 和 58，故答案为 58 点评：本题考查了菱形对角线互相垂直平分且平分一组对角的性质，考查了菱形相邻内角的和为 180 的性质，本题中求菱形相邻内角的值是解题的关键 5.思考：如何求平行四边形的面积

5、？如何求菱形的面积吗？有新方法吗？（1）总结菱形的面积等于 或 .（2）已知菱形的对角线长分别为 2cm 和 3cm，则它的面积为 。（3）菱形是 图形，它有 对称轴，分别为对角线所在的直线。6.阅读教材 P56例 3，注意它的书写格式，完成 P57课后练习.三、知识总结：1、有一组 的平行四边形是菱形；2、菱形的四条边 菱形具有 条对称轴，它们分别是 3、菱形的对角线互相 并且每一条对角线平分 。4、菱形四条边上的高 ，菱形的面积公式是 。四.当堂检测 1.如图，在菱形 ABCD 中，BAD=80，AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F，垂足为 E，连接 DF，则CDF 等于（）A50

6、B60 C70 D80 分析：连接 BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出BAC，BCF=DCF，四条边都相等可得 BC=CD，再根据菱形的邻角互补求出ABC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AF=BF，根据等边对等角求出ABF=BAC，从而求出CBF，再利用“边角边”证明BCF 和DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得CDF=CBF 解答：解：如图，连接 BF，在菱形 ABCD 中，BAC=21BAD=21 80=40，BCF=DCF，BC=CD，质进行有关的计算和证明了解菱形在生活中的应用实例能根据菱形的性质解决简单的实际问题理解菱形的面积公式会选择适当的方法计算

7、菱形的面积一知识回顾两组对边分别平行的四边形称为平行四边形性质平行四边形对边且平行形二探究新知阅读教材思考以上的内容然后与小组伙伴交流并尝回答下列问题菱形的定义有一组相等的平行四边形叫菱形如图记作菱形用定义证明菱形的推理步骤四边形是四边形是菱形的性质阅读教材思考以上的内容然后与小组伙的步骤补充完整证明菱形是平行四边形菱形是平行四边形等腰三角形三线合一平分同理可证平分一组对角菱形的性质菱形的四条边菱形的对角线互相并且每一条对角线菱形是轴对称图形它有对称轴完成下列习题菱形具有而一般平行学习必备 欢迎下载 BAD=80，ABC=180-BAD=180-80=100，EF 是线段 AB 的垂直平分线，

8、AF=BF，ABF=BAC=40，CBF=ABC-ABF=100-40=60，在BCF 和DCF 中，BCCD BCF DCF,CF=CF，BCF DCF（SAS），CDF=CBF=60 故选 B 点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键 2.矩形具有而菱形不具有的性质是（）A两组对边分别平行 B对角线相等 C对角线互相平分 D两组对角分别相等 3.若菱形的两条对角线分别为2 和 3，则此菱形的面积是 3 4.如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC、BD 相交于点 O，DHAB 于 H

9、，连接 OH，求证：DHO=DCO 5.（2012 舟山）如图，已知菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，延长 AB 至点 E，使 BE=AB，连接 CE （1）求证：BD=EC；（2）若E=50，求BAO 的大小 考点：菱形的性质；平行四边形的判定与性质 专题：证明题 分析：（1）根据菱形的对边平行且相等可得 AB=CD，ABCD，然后证明得到 BE=CD，BECD，从而证明四边形 BECD 是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；（2）根据两直线平行，同位角相等求出 ABO 的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得 ACBD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解 解答：（1）证

10、明：菱形 ABCD，AB=CD，ABCD，又BE=AB，BE=CD，BECD，四边形 BECD 是平行四边形，BD=EC；（2）解：平行四边形 BECD，BDCE，ABO=E=50，又菱形 ABCD，AC 丄 BD，BAO=90-ABO=40 质进行有关的计算和证明了解菱形在生活中的应用实例能根据菱形的性质解决简单的实际问题理解菱形的面积公式会选择适当的方法计算菱形的面积一知识回顾两组对边分别平行的四边形称为平行四边形性质平行四边形对边且平行形二探究新知阅读教材思考以上的内容然后与小组伙伴交流并尝回答下列问题菱形的定义有一组相等的平行四边形叫菱形如图记作菱形用定义证明菱形的推理步骤四边形是四边

11、形是菱形的性质阅读教材思考以上的内容然后与小组伙的步骤补充完整证明菱形是平行四边形菱形是平行四边形等腰三角形三线合一平分同理可证平分一组对角菱形的性质菱形的四条边菱形的对角线互相并且每一条对角线菱形是轴对称图形它有对称轴完成下列习题菱形具有而一般平行学习必备 欢迎下载 点评：本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直是解本题的关键 6.（2013 淄博）如图，菱形纸片 ABCD 中，A=60，折叠菱形纸片 ABCD，使点 C 落在 DP（P 为 AB中点）所在的直线上，得到经过点 D 的折痕 DE则DEC 的大小为（）A78B75 C6

12、0 D45 考点：翻折变换（折叠问题）；菱形的性质 专题：计算题 分析：连接 BD，由菱形的性质及A=60，得到三角形 ABD 为等边三角形，P 为 AB 的中点，利用三线合一得到 DP 为角平分线，得到ADP=30，ADC=120，C=60，进而求出PDC=90，由折叠的性质得到CDE=PDE=45，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数 解答：解：连接 BD，四边形 ABCD 为菱形A=60，ABD 为等边三角形，ADC=120，C=60，P 为 AB 的中点，DP 为ADB 的平分线，即ADP=BDP=30，PDC=90，由折叠的性质得到CDE=PDE=45，在DEC 中，DEC=1

13、80-（CDE+C）=75 故选 B 点评：此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键 7.（2012 本溪）在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AB=5，AC=6，过点 D 作 AC 的平行线交 BC 的延长线于点 E，则BDE 的面积为（）A22 B 24 C 48 D 44 质进行有关的计算和证明了解菱形在生活中的应用实例能根据菱形的性质解决简单的实际问题理解菱形的面积公式会选择适当的方法计算菱形的面积一知识回顾两组对边分别平行的四边形称为平行四边形性质平行四边形对边且平行形二探究新知阅读教材思考以上

14、的内容然后与小组伙伴交流并尝回答下列问题菱形的定义有一组相等的平行四边形叫菱形如图记作菱形用定义证明菱形的推理步骤四边形是四边形是菱形的性质阅读教材思考以上的内容然后与小组伙的步骤补充完整证明菱形是平行四边形菱形是平行四边形等腰三角形三线合一平分同理可证平分一组对角菱形的性质菱形的四条边菱形的对角线互相并且每一条对角线菱形是轴对称图形它有对称轴完成下列习题菱形具有而一般平行学习必备 欢迎下载 考点：菱形的性质；勾股定理 分析：先判断出四边形 ACED 是平行四边形，从而得出 DE 的长度，根据菱形的性质求出 BD 的长度，利用勾股定理的逆定理可得出BDE 是直角三角形，计算出面积即可 解答：解

15、：ADBE，ACDE，四边形 ACED 是平行四边形，AC=DE=6，在 RTBCO 中，BO=AB2 AO=4，即可得 BD=8，又BE=BC+CE=BC+AD=10，BDE 是直角三角形，SBDE=21DEBD=24 故选 B 点评：此题考查了菱形的性质、勾股定理的逆定理及三角形的面积，属于基础题，求出BD 的长度，判断BDE 是直 8.（2013 临沂）如图，菱形 ABCD 中，AB=4，B=60，AEBC，AFCD，垂足分别为 E，F，连接EF，则AEF 的面积是 33 考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质 分析：首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出 AEF 是等边三角形

16、，再根据三角函数计算出AE=EF 的值，再过 A 作 AMEF，再进一步利用三角函数计算出 AM 的值，即可算出三角形的面积 解答：解：四边形 ABCD 是菱形，BC=CD，B=D=60，AEBC，AFCD，ABAE=ADAF，BAE=DAF=30，AE=AF，B=60，BAD=120，EAF=120-30-30=60，AEF 是等边三角形，AE=EF，AEF=60，AB=4，AE=23，EF=AE=23，过 A 作 AMEF，AM=AEsin60=3，AEF 的面积是：21EFAM=21 23 3=33 故答案为：33 质进行有关的计算和证明了解菱形在生活中的应用实例能根据菱形的性质解决简单

17、的实际问题理解菱形的面积公式会选择适当的方法计算菱形的面积一知识回顾两组对边分别平行的四边形称为平行四边形性质平行四边形对边且平行形二探究新知阅读教材思考以上的内容然后与小组伙伴交流并尝回答下列问题菱形的定义有一组相等的平行四边形叫菱形如图记作菱形用定义证明菱形的推理步骤四边形是四边形是菱形的性质阅读教材思考以上的内容然后与小组伙的步骤补充完整证明菱形是平行四边形菱形是平行四边形等腰三角形三线合一平分同理可证平分一组对角菱形的性质菱形的四条边菱形的对角线互相并且每一条对角线菱形是轴对称图形它有对称轴完成下列习题菱形具有而一般平行学习必备 欢迎下载 点评：此题考查菱形的性质，等边三角形的判定及三

18、角函数的运用关键是掌握菱形的性质，证明AEF是等边三角形 9.（2010 嘉兴）如图，已知菱形 ABCD 的一个内角BAD=80，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 在AB 上且 BE=BO，则BEO=65 度 分析：因为 AB=AD，BAD=80，可求ABD=50；又 BE=BO，所以BEO=BOE，根据三角形内角和定理求解 解答：解：ABCD 是菱形，AB=ADABD=ADB BAD=80，ABD=21（180-80）=50 又BE=BO，BEO=BOE=21（180-50）=65 故答案为：65 点评：此题考查了菱形的性质和等腰三角形的性质以及三角形内角和定理 10.（2013 株

19、洲）已知四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD=60，对角线 AC 与 BD 交于点 O，过点 O 的直线 EF 交 AD 于点 E，交 BC 于点 F（1）求证：AOECOF；（2）若EOD=30，求 CE 的长 考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理 分析：（1）根据菱形的对角线互相平分可得 AO=CO，对边平行可得 ADBC，再利用两直线平行，内错角相等可得OAE=OCF，然后利用“角边角”证明AOE 和COF 全等；（2）根据菱形的对角线平分一组对角求出DAO=30，然后求出AEF=90，然后求出 AO 的长，再求

20、出 EF 的长，然后在 RtCEF 中，利用勾股定理列式计算即可得解 解答：（1）证明：四边形 ABCD 是菱形，AO=CO，ADBC，OAE=OCF，在AOE 和COF 中，可证AOECOF（ASA）；（2）解：BAD=60，DAO=21BAD=21 60=30，质进行有关的计算和证明了解菱形在生活中的应用实例能根据菱形的性质解决简单的实际问题理解菱形的面积公式会选择适当的方法计算菱形的面积一知识回顾两组对边分别平行的四边形称为平行四边形性质平行四边形对边且平行形二探究新知阅读教材思考以上的内容然后与小组伙伴交流并尝回答下列问题菱形的定义有一组相等的平行四边形叫菱形如图记作菱形用定义证明菱形

21、的推理步骤四边形是四边形是菱形的性质阅读教材思考以上的内容然后与小组伙的步骤补充完整证明菱形是平行四边形菱形是平行四边形等腰三角形三线合一平分同理可证平分一组对角菱形的性质菱形的四条边菱形的对角线互相并且每一条对角线菱形是轴对称图形它有对称轴完成下列习题菱形具有而一般平行学习必备 欢迎下载 EOD=30，AOE=90-30=60，AEF=180-DAO-AOE=180-30-60=90，菱形的边长为 2，DAO=30，OD=21AD=21 2=1，AO=3AE=CF=323=23，菱形的边长为 2，BAD=60，高 EF=223=3 在 RtCEF 中，CE=221 点评：本题考查了菱形的性质

22、，全等三角形的判定与性质，直角三角形30 角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，（2）求出CEF 是直角三角形是解题的关键，也是难点 11.（2012 南通）菱形 ABCD 中，B=60，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 CD 上（1）如图 1，若 E 是 BC 的中点，AEF=60，求证：BE=DF；（2）如图 2，若EAF=60，求证：AEF 是等边三角形 考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定 专题：证明题；压轴题 分析：（1）首先连接 AC，由菱形 ABCD 中，B=60，根据菱形的性质，易得ABC 是等边三角形，又由三线合一，可证得 AEBC，继

23、而求得FEC=CFE，即可得 EC=CF，继而证得 BE=DF；质进行有关的计算和证明了解菱形在生活中的应用实例能根据菱形的性质解决简单的实际问题理解菱形的面积公式会选择适当的方法计算菱形的面积一知识回顾两组对边分别平行的四边形称为平行四边形性质平行四边形对边且平行形二探究新知阅读教材思考以上的内容然后与小组伙伴交流并尝回答下列问题菱形的定义有一组相等的平行四边形叫菱形如图记作菱形用定义证明菱形的推理步骤四边形是四边形是菱形的性质阅读教材思考以上的内容然后与小组伙的步骤补充完整证明菱形是平行四边形菱形是平行四边形等腰三角形三线合一平分同理可证平分一组对角菱形的性质菱形的四条边菱形的对角线互相并

24、且每一条对角线菱形是轴对称图形它有对称轴完成下列习题菱形具有而一般平行学习必备 欢迎下载（2）首先由ABC 是等边三角形，即可得 AB=AC，以求得ACF=B=60，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得AEB=AFC，证得AEBAFC，即可得 AE=AF，证得：AEF 是等边三角形 解答：证明：（1）连接 AC，在菱形 ABCD 中，B=60，AB=BC=CD，C=180-B=120，ABC 是等边三角形，E 是 BC 的中点，AEBC，AEF=60，FEC=90-AEF=30，CFE=180-FEC-ECF=180-30-120=30，FEC=CFE，EC=CF，BE=DF；（2）ABC

25、 是等边三角形，AB=AC，ACB=60，B=ACF=60，ADBC，AEB=EAD=EAF+FAD=60+FAD，AFC=D+FAD=60+FAD，AEB=AFC，在ABE 和ACF 中，可证ABEACF（AAS），AE=AF，EAF=60，AEF 是等边三角形 点评：此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质此题难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用 12.（2012 海南）如图（1），在矩形 ABCD 中，把B、D 分别翻折，使点 B、D 恰好落在对角线 AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN，（1）求证：ADNCBM；

26、（2）请连接 MF、NE，证明四边形 MFNE 是平行四边形；四边形 MFNE 是菱形吗？请说明理由；（3）如图（2）所示，若 AB=4cm，BC=3cm，求 PC 的长度 考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定 质进行有关的计算和证明了解菱形在生活中的应用实例能根据菱形的性质解决简单的实际问题理解菱形的面积公式会选择适当的方法计算菱形的面积一知识回顾两组对边分别平行的四边形称为平行四边形性质平行四边形对边且平行形二探究新知阅读教材思考以上的内容然后与小组伙伴交流并尝回答下列问题菱形的定义有一组相等的平行四边形叫菱形如图记作菱形用定义证明菱形的推理步骤

27、四边形是四边形是菱形的性质阅读教材思考以上的内容然后与小组伙的步骤补充完整证明菱形是平行四边形菱形是平行四边形等腰三角形三线合一平分同理可证平分一组对角菱形的性质菱形的四条边菱形的对角线互相并且每一条对角线菱形是轴对称图形它有对称轴完成下列习题菱形具有而一般平行学习必备 欢迎下载 专题：压轴题 分析：（1）根据折叠的性质得出DAN=NAC，BCM=ACM，从而根据 ADBC 可得出DAN=BCM，从而即可判断出ADNCBM （2）连接 NE、MF，根据（1）的结论可得出 NF=ME，再由NFE=MEF 可判断出 NFME，在直角三角形 NFE 中，NE 为斜边，NF 为直角边，可判断四边形 M

28、FNE 不是菱形（3）设 AC 与 MN 的交点为 O，EF=x，作 QG PC 于 G 点，首先求出 AC=5，根据翻折变换知：AF=CE=3，于是可得 AF+（CE-EF）=5，可得 EF=1，解答：（1）证明：由折叠的性质得出DAN=NAC，BCM=ACM，ADBC，DAC=BCA，DAN=BCM，在 RtADN 和 RtCBM 中，可证ADNCBM，（2）解：连接 NE、MF，ADNCBM，NF=ME，NFE=MEF，NFME，四边形 MFNE 是平行四边形，MN 与 EF 不垂直，四边形 MFNE 不是菱形；（3）解：设 AC 与 MN 的交点为 O，EF=x，作 QG PC 于 G

29、 点，AB=4，BC=3，AC=5，AF=CE=BC=3，2AF-EF=AC，即 6-x=5，解得 x=1，EF=1，CF=2，点评：本题主要考查翻折变换的知识点，还涉及平行四边形、菱形的证明，解答（3）问的关键是求出 EF的长，此题难度较大，要熟练掌握此类试题的解答，此类题经常出现中考试卷中，请同学们关注 质进行有关的计算和证明了解菱形在生活中的应用实例能根据菱形的性质解决简单的实际问题理解菱形的面积公式会选择适当的方法计算菱形的面积一知识回顾两组对边分别平行的四边形称为平行四边形性质平行四边形对边且平行形二探究新知阅读教材思考以上的内容然后与小组伙伴交流并尝回答下列问题菱形的定义有一组相等的平行四边形叫菱形如图记作菱形用定义证明菱形的推理步骤四边形是四边形是菱形的性质阅读教材思考以上的内容然后与小组伙的步骤补充完整证明菱形是平行四边形菱形是平行四边形等腰三角形三线合一平分同理可证平分一组对角菱形的性质菱形的四条边菱形的对角线互相并且每一条对角线菱形是轴对称图形它有对称轴完成下列习题菱形具有而一般平行