含参不等式恒成立问题1中学教育高考_中学教育-高中教育.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 不等式中恒成立问题的解法研究 在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。恒成立问题的基本类型：类型 1：设)0()(2acbxaxxf，（1）Rxxf 在0)(上恒成 立00且a；（2）Rxxf 在0)(上恒成立00且a。类型 2：设)0()(2acbxaxxf（1）当0a时，,0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或，,0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff（2）当0a时，,0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff,0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或 类型 3：min)

2、()(xfIxxf恒成立对一切max)()(xfIxxf恒成立对一切。类型 4：)()()()()()()(maxminIxxgxfxgxfIxxgxf的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。一、用一次函数的性质 对于一次函数,)(nmxbkxxf有：0)(0)(0)(,0)(0)(0)(nfmfxfnfmfxf恒成立恒成立 例 1：若不等式)1(122xmx对满足22m的所有m都成立，求 x学习必备 欢迎下载 的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将 m 视为主变元，即将元不

3、等式化为：0)12()1(2xxm，；令)12()1()(2xxmmf，则22m时，0)(mf恒成立，所以只需0)2(0)2(ff即0)12()1(20)12()1(222xxxx，所以 x的范围是)231,271(x。二、利用一元二次函数的判别式 对于一元二次函数),0(0)(2Rxacbxaxxf有：（1）Rxxf 在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf 在0)(上恒成立00且a 例 2：若不等式02)1()1(2xmxm的解集是 R，求 m 的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数 m，所以要讨论 m-1是否是 0。（1）当 m-1=0时，元

4、不等式化为 20恒成立，满足题意；（2）01m时，只需0)1(8)1(012mmm，所以，)9,1 m。三、利用函数的最值（或值域）（1）mxf)(对任意 x 都成立mxfmin)(；（2）mxf)(对任意 x 都成立max)(xfm。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例 3：在ABC 中，已知2|)(|,2cos)24(sinsin4)(2mBfBBBBf且恒成立，求实数 m 的范围。解析：由 1,0(sin,0,1sin22cos)24(sinsin4)(2BBBBBBBf，3,1()(Bf，2|)(|mBf恒成立，2)(2mBf

5、，即2)(2)(BfmBfm恒成立，3,1(m 例 4：（1）求使不等式,0,cossinxxxa恒成立的实数 a的范围。某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题恒成立问题的基本类型类型设在上恒成立且在上恒成立且类型设当时在上恒成立或或在上恒成立当时在上恒成立在上恒成立或或类型恒成立对一切恒成立对一切类型的图象的上方或的图小值法数形结合等解题方法求解一用一次函数的性质对于一次函数有的所有都成立求恒成立恒成立例若不等式对满足学习必备欢迎下载的范围解析我们可以用改变主元的办法将视为主变元即将元不等式化为令时则恒成立所以只需即求的范围解析要想应用上面的结论就得保证是二次的才有判别式但二次项系数含有参

6、数所以要讨论是否是当时元不等式化为恒成立满足题意三利用函数的最值或值域时只需所以对任意都成立对任意都成立简单计作大的大于最大的小学习必备 欢迎下载 解析：由于函43,44),4sin(2cossinxxxxa，显然函数有最大值2，2a。如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式)2,0(4,cossinxxxa恒成立的实数 a的范围。解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得xxycossin的最大值取不到2，即 a取2也满足条件，所以2a。所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数 a的取值。利

7、用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。四：数形结合法 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例 5：已知恒成立有时当21)(,)1,1(,)(,1,02xfxaxxfaax，求实数 a的取值范围。解析：由xxaxaxxf2121)(22，得，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在 x=-1 和 x=1 处相交，则由12221)1(211aa及得 到 a 分 别 等 于 2 和 0.5，并 作 出 函 数xxyy)21(2及的图象，所以，要想使函数xax212在区间)1,1(x中恒成立，只须xy2在区间)1,1(x对应的图象在212xy

8、在区间)1,1(x对 应 图 象 的 上 面 即 可。当2,1aa只有时才 能 保 证，而2110aa时，只有才可以，所以 2,1()1,21a。由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。例 6：若当 P(m,n)为圆1)1(22 yx上任意一点时，不等式0cnm恒成立，则 c的取值范围是（）A、1221c B、1212c 某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题恒成立问题的基本类型类型设在上恒成立且在上恒成立且类型设当时在上恒成立或或在上恒成立当时在上恒成立在上恒成立或或类型恒成立对一切恒成立对一切类型的图象的上

9、方或的图小值法数形结合等解题方法求解一用一次函数的性质对于一次函数有的所有都成立求恒成立恒成立例若不等式对满足学习必备欢迎下载的范围解析我们可以用改变主元的办法将视为主变元即将元不等式化为令时则恒成立所以只需即求的范围解析要想应用上面的结论就得保证是二次的才有判别式但二次项系数含有参数所以要讨论是否是当时元不等式化为恒成立满足题意三利用函数的最值或值域时只需所以对任意都成立对任意都成立简单计作大的大于最大的小学习必备 欢迎下载 C、12 c D、12 c 解析：由0cnm，可以看作是点 P(m,n)在直线0cyx的右侧，而点 P(m,n)在圆1)1(22 yx上，实质相当于是1)1(22 yx

10、在直线的右侧并与它相离或相切。12111|10|01022ccc，故选 D。其实在习题中，我们也给出了一种解恒成立问题的方法，即求出不等式的解集后再进行处理。以上介绍了常用的五种解决恒成立问题。其实，对于恒成立问题，有时关键是能否看得出来题就是关于恒成立问题。下面，给出一些练习题，供同学们练习。练习题：1、对任意实数 x，不等式),(0cossinRcbacxbxa恒成立的充要条件是_。22bac 2、设 1,(7932lglg在ayxxx上有意义，求实数 a的取值范围.),95。3、当1|)3,31(xLogxa时，恒成立，则实数 a的范围是_。),331,0(4、已知不等式：32)1(12

11、11.2111aLognnnna 对一切大于 1某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题恒成立问题的基本类型类型设在上恒成立且在上恒成立且类型设当时在上恒成立或或在上恒成立当时在上恒成立在上恒成立或或类型恒成立对一切恒成立对一切类型的图象的上方或的图小值法数形结合等解题方法求解一用一次函数的性质对于一次函数有的所有都成立求恒成立恒成立例若不等式对满足学习必备欢迎下载的范围解析我们可以用改变主元的办法将视为主变元即将元不等式化为令时则恒成立所以只需即求的范围解析要想应用上面的结论就得保证是二次的才有判别式但二次项系数含有参数所以要讨论是否是当时元不等式化为恒成立满足题意三利用函数的最值或值域时只

12、需所以对任意都成立对任意都成立简单计作大的大于最大的小学习必备 欢迎下载 的自然数 n 恒成立，求实数 a的范围。)251,1(a 含参不等式恒成立问题的求解策略 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般

13、地，对于二次函数),0()(2Rxacbxaxxf,有 1）0)(xf对Rx恒成立00a;2）0)(xf对Rx恒成立.00a 例 1已知函数)1(lg22axaxy的定义域为 R，求实数a的取值范围。解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22axax对Rx恒成立，即有某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题恒成立问题的基本类型类型设在上恒成立且在上恒成立且类型设当时在上恒成立或或在上恒成立当时在上恒成立在上恒成立或或类型恒成立对一切恒成立对一切类型的图象的上方或的图小值法数形结合等解题方法求解一用一次函数的性质对于一次函数有的所有都成立求恒成立恒成立例若不等式对满足学习必备欢迎下载的范围解析我

14、们可以用改变主元的办法将视为主变元即将元不等式化为令时则恒成立所以只需即求的范围解析要想应用上面的结论就得保证是二次的才有判别式但二次项系数含有参数所以要讨论是否是当时元不等式化为恒成立满足题意三利用函数的最值或值域时只需所以对任意都成立对任意都成立简单计作大的大于最大的小学习必备 欢迎下载 04)1(22aa解得311aa或。所以实数a的取值范围为),31()1,(。若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。例 2设22)(2mxxxf，当),1x时，mxf)(恒成立，求实数m的取值范围。解：设mmxxxF22)(2，则当),1x时，0)(xF恒成立 当120)2)(1(4

15、mmm即时，0)(xF显然成立；当0时，如图，0)(xF恒成立的充要条件为：1220)1(0mF解得23m。综上可得实数m的取值范围为)1,3。二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）axf)(恒成立min)(xfa 2）axf)(恒成立max)(xfa 例 3 已 知xxxxgaxxxf4042)(,287)(232，当 3,3x时，)()(xgxf恒成立，求实数a的取值范围。解：设cxxxxgxfxF1232)()()(23，则由题可知0)(xF对任意 3,3x恒成立 令01266)(2xxxF，得21xx或 而,20)2(,7)1(aFaF,9

16、)3(,45)3(aFaF 045)(maxaxF 45a即实数a的取值范围为),45。例 4函数),1,2)(2xxaxxxf，若对任意),1 x，0)(xf恒成O x yx-1 某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题恒成立问题的基本类型类型设在上恒成立且在上恒成立且类型设当时在上恒成立或或在上恒成立当时在上恒成立在上恒成立或或类型恒成立对一切恒成立对一切类型的图象的上方或的图小值法数形结合等解题方法求解一用一次函数的性质对于一次函数有的所有都成立求恒成立恒成立例若不等式对满足学习必备欢迎下载的范围解析我们可以用改变主元的办法将视为主变元即将元不等式化为令时则恒成立所以只需即求的范围解析要

17、想应用上面的结论就得保证是二次的才有判别式但二次项系数含有参数所以要讨论是否是当时元不等式化为恒成立满足题意三利用函数的最值或值域时只需所以对任意都成立对任意都成立简单计作大的大于最大的小学习必备 欢迎下载 立，求实数a的取值范围。解：若对任意),1 x，0)(xf恒成立，即对),1 x，02)(2xaxxxf恒成立，考虑到不等式的分母),1 x，只需022axx在),1 x时恒成立而得 而抛物线axxxg2)(2在),1 x的最小值03)1()(minagxg得3a 注：本题还可将)(xf变形为2)(xaxxf，讨论其单调性从而求出)(xf最小值。三、分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形

18、使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1）为参数）aagxf)()(恒成立max)()(xfag 2）为参数）aagxf)()(恒成立max)()(xfag 实际上，上题就可利用此法解决。略 解：022axx在),1 x时 恒 成 立，只 要xxa22在),1 x时恒成立。而易求得二次函数xxxh2)(2在),1 上的最大值为3，所以3a。例 5已知函数 4,0(,4)(2xxxaxxf时0)(xf恒成立，求实数a的取值范围。解：将问题转化为xxxa24 对 4,0(x恒成立。令xxxxg

19、24)(，则min)(xga 由144)(2xxxxxg可 知)(xg在 4,0(上 为 减 函 数，故0)4()(mingxg 0a即a的取值范围为)0,(。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题恒成立问题的基本类型类型设在上恒成立且在上恒成立且类型设当时在上恒成立或或在上恒成立当时在上恒成立在上恒成立或或类型恒成立对一切恒成立对一切类型的图象的上方或的图小值法数形结合等解题方法求解一用一次函数的性质对于一次函数有的所有都成立求恒成立恒成立例若不等式对满足学习必备欢迎下载的范围解析我们可以用改变主元的办法将视为主变元即将元不等式化为令

20、时则恒成立所以只需即求的范围解析要想应用上面的结论就得保证是二次的才有判别式但二次项系数含有参数所以要讨论是否是当时元不等式化为恒成立满足题意三利用函数的最值或值域时只需所以对任意都成立对任意都成立简单计作大的大于最大的小学习必备 欢迎下载 四、变换主元法 处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例 6对任意 1,1a，不等式024)4(2axax恒成立，求x的取值范围。分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式044)2(2xxax在 1,1a上恒成立的问题。解：令44)2()(2x

21、xaxaf，则原问题转化为0)(af恒成立（1,1a）。当2x时，可得0)(af，不合题意。当2x时，应有0)1(0)1(ff解之得31xx或。故x的取值范围为),3()1,(。注：一般地，一次函数)0()(kbkxxf在,上恒有0)(xf的充要条件为0)(0)(ff。四、数形结合法 数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象上方；2）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象下上方。例 7设xxxf4

22、)(2,axxg134)(,若恒有)()(xgxf成立,求实数a的取值范围.分析：在同一直角坐标系中作出)(xf及)(xg 的图象 如图所示，)(xf的图象是半圆)0(4)2(22yyx )(xg的图象是平行的直线系03334ayx。x-2-4 y O-4 某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题恒成立问题的基本类型类型设在上恒成立且在上恒成立且类型设当时在上恒成立或或在上恒成立当时在上恒成立在上恒成立或或类型恒成立对一切恒成立对一切类型的图象的上方或的图小值法数形结合等解题方法求解一用一次函数的性质对于一次函数有的所有都成立求恒成立恒成立例若不等式对满足学习必备欢迎下载的范围解析我们可以用改

23、变主元的办法将视为主变元即将元不等式化为令时则恒成立所以只需即求的范围解析要想应用上面的结论就得保证是二次的才有判别式但二次项系数含有参数所以要讨论是否是当时元不等式化为恒成立满足题意三利用函数的最值或值域时只需所以对任意都成立对任意都成立简单计作大的大于最大的小学习必备 欢迎下载 要使)()(xgxf恒成立，则圆心)0,2(到直线03334ayx的距离 满足 25338ad 解得355aa或（舍去)由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。含参不等式恒成立问题中，求参数取

24、值范围一般方法 恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。一、分离参数 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若 af x恒成立，只须求出 maxf x，则 maxaf x；若 af x恒成立，只须求出 minf x，则 minaf x，转化为函数求最值。例 1、已知函数 lg2afxxx，若对任意2,x恒有 0f x，试确定a的取值范围。解：根据题意得：21axx 在2,x上恒成立，即：23axx 在2,x上恒成立，设 23f xxx ，则 23924f xx 当2

25、x 时，max2f x 所以2a 某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题恒成立问题的基本类型类型设在上恒成立且在上恒成立且类型设当时在上恒成立或或在上恒成立当时在上恒成立在上恒成立或或类型恒成立对一切恒成立对一切类型的图象的上方或的图小值法数形结合等解题方法求解一用一次函数的性质对于一次函数有的所有都成立求恒成立恒成立例若不等式对满足学习必备欢迎下载的范围解析我们可以用改变主元的办法将视为主变元即将元不等式化为令时则恒成立所以只需即求的范围解析要想应用上面的结论就得保证是二次的才有判别式但二次项系数含有参数所以要讨论是否是当时元不等式化为恒成立满足题意三利用函数的最值或值域时只需所以对任意都

26、成立对任意都成立简单计作大的大于最大的小学习必备 欢迎下载 在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若 fagx恒成立，只须求出 m a xg x，则 m a xfagx，然后解不等式求出参数a的取值范围；若 fagx恒成立，只须求出 m i ng x，则 m i nfagx，然后解不等式求出参数a的取值范围，问题还是转化为函数求最值。例 2、已知,1x 时，不等式 21240 xxaa 恒成立，求a的取值范围。解：令2xt，,1x 0,2t 所以原不等式可化为：221taat，要使上式在0,2t上恒成立，只须求出 21tf tt在0,2t上的

27、最小值即可。22211111124tf ttttt 11,2t min324f tf 234aa 1322a 二、分类讨论 在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。例 3、若 2,2x时，不等式23xaxa 恒成立，求a的取值范围。解：设 23f xxaxa，则问题转化为当 2,2x时，f x的最小值非负。（1）当22a 即：4a 时，min2730f xfa 73a 又4a 所以a不存在；（2）当222a 即：44a 时，2min3024aafxfa 62a 又44a 42a 某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题恒成立问题的基本类型

28、类型设在上恒成立且在上恒成立且类型设当时在上恒成立或或在上恒成立当时在上恒成立在上恒成立或或类型恒成立对一切恒成立对一切类型的图象的上方或的图小值法数形结合等解题方法求解一用一次函数的性质对于一次函数有的所有都成立求恒成立恒成立例若不等式对满足学习必备欢迎下载的范围解析我们可以用改变主元的办法将视为主变元即将元不等式化为令时则恒成立所以只需即求的范围解析要想应用上面的结论就得保证是二次的才有判别式但二次项系数含有参数所以要讨论是否是当时元不等式化为恒成立满足题意三利用函数的最值或值域时只需所以对任意都成立对任意都成立简单计作大的大于最大的小学习必备 欢迎下载（3）当22a 即：4a 时，min

29、270f xfa 7a 又4a 74a 综上所得：72a 三、确定主元 在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x看成是主元（未知数），而把另一个变量a看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。例 4、若不等式 2211xm x 对满足2m 的所有m都成立，求x的取值范围。解：设 2121f mm xx，对满足2m 的m，0f m 恒成立，2221210202021210 xxffxx 解得：171322x 四、利用集合与集合间的关系 在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包

30、含关系来求解，即：,m nf ag a，则 f am且 g an，不等式的解即为实数a的取值范围。例 5、当1,33x时，log1ax 恒成立，求实数a的取值范围。解：1log1ax（1）当1a 时，1xaa，则 问题 转化 为11,3,3aa 3113aa 3a （2）当01a 时，1axa，则问题转化为某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题恒成立问题的基本类型类型设在上恒成立且在上恒成立且类型设当时在上恒成立或或在上恒成立当时在上恒成立在上恒成立或或类型恒成立对一切恒成立对一切类型的图象的上方或的图小值法数形结合等解题方法求解一用一次函数的性质对于一次函数有的所有都成立求恒成立恒成立例若

31、不等式对满足学习必备欢迎下载的范围解析我们可以用改变主元的办法将视为主变元即将元不等式化为令时则恒成立所以只需即求的范围解析要想应用上面的结论就得保证是二次的才有判别式但二次项系数含有参数所以要讨论是否是当时元不等式化为恒成立满足题意三利用函数的最值或值域时只需所以对任意都成立对任意都成立简单计作大的大于最大的小学习必备 欢迎下载 11,3,3aa 1313aa103a 综上所得：103a 或3a 五、数形结合 数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。例 6、若不等式23log0axx在10

32、,3x内恒成立，求实数a的取值范围。解：由题意知：23logaxx在10,3x内恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数23yx和logayx 观察两函数图象，当10,3x时，若1a 函数logayx的图象显然在函数23yx图象的下方，所以不成立；当01a 时，由图可知，logayx的图象必须过点1 1,3 3或在这个点的上方，则，11log33a 127a 1127a 综上得：1127a 上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。含参数不等式恒成立问题的解题策略（专题探究）某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题恒成立问题的

33、基本类型类型设在上恒成立且在上恒成立且类型设当时在上恒成立或或在上恒成立当时在上恒成立在上恒成立或或类型恒成立对一切恒成立对一切类型的图象的上方或的图小值法数形结合等解题方法求解一用一次函数的性质对于一次函数有的所有都成立求恒成立恒成立例若不等式对满足学习必备欢迎下载的范围解析我们可以用改变主元的办法将视为主变元即将元不等式化为令时则恒成立所以只需即求的范围解析要想应用上面的结论就得保证是二次的才有判别式但二次项系数含有参数所以要讨论是否是当时元不等式化为恒成立满足题意三利用函数的最值或值域时只需所以对任意都成立对任意都成立简单计作大的大于最大的小学习必备 欢迎下载 一、教学目标：理解含参不等

34、式恒成立问题特征；能充分利用化归、数形结合、函数和分类讨论等数学思想解决含参不等式恒成立问题；培养学生分析解决综合问题的能力。二、教学方法：启发、探究 三、教学过程：通过含参数不等式恒成立问题的求解，通过变式、启发、引导学生探究解题策略，培养学生利用化归、数形结合、函数和分类讨论等数学思想进行解题的意识。例题 1：已知不等式(1)21xmx对 0,3x恒成立，求实数m的取值范围。变式：已知不等式(1)21xmx对 0,3m恒成立，求实数x的取值范围。例题 2：已知不等式2220 xax 对xR恒成立，求实数a的取值范围。变式 1：已知不等式2220 xax 对1,2x恒成立，求实数a的取值范围

35、。某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题恒成立问题的基本类型类型设在上恒成立且在上恒成立且类型设当时在上恒成立或或在上恒成立当时在上恒成立在上恒成立或或类型恒成立对一切恒成立对一切类型的图象的上方或的图小值法数形结合等解题方法求解一用一次函数的性质对于一次函数有的所有都成立求恒成立恒成立例若不等式对满足学习必备欢迎下载的范围解析我们可以用改变主元的办法将视为主变元即将元不等式化为令时则恒成立所以只需即求的范围解析要想应用上面的结论就得保证是二次的才有判别式但二次项系数含有参数所以要讨论是否是当时元不等式化为恒成立满足题意三利用函数的最值或值域时只需所以对任意都成立对任意都成立简单计作大的大于

36、最大的小学习必备 欢迎下载 变式 2：已知不等式2220 xax 对 1,2x恒成立，求实数a的取值范围。例题 3：当 1,2x时，不等式 21logaxx恒成立，求实数a的取值范围。练习 1：已知函数21()ln(2)2f xxax 在区间1,上为减函数，求实数a的取值范围。练习 2：对于满足|2p 的所有实数p，求使不等式212xpxpx 恒成立的x的取值范围。某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题恒成立问题的基本类型类型设在上恒成立且在上恒成立且类型设当时在上恒成立或或在上恒成立当时在上恒成立在上恒成立或或类型恒成立对一切恒成立对一切类型的图象的上方或的图小值法数形结合等解题方法求解一

37、用一次函数的性质对于一次函数有的所有都成立求恒成立恒成立例若不等式对满足学习必备欢迎下载的范围解析我们可以用改变主元的办法将视为主变元即将元不等式化为令时则恒成立所以只需即求的范围解析要想应用上面的结论就得保证是二次的才有判别式但二次项系数含有参数所以要讨论是否是当时元不等式化为恒成立满足题意三利用函数的最值或值域时只需所以对任意都成立对任意都成立简单计作大的大于最大的小学习必备 欢迎下载 思考：1、若不等式221(1)xm x 对满足|2m 的所有m都成立，求实数x的取值范围。2、设504a，若满足不等式|xab 的一切实数x，能使不等式21|2xa恒成立，求正实数b的取值范围。常见不等式恒

38、成立问题的几种求解策略 不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常出现，它综合考查函某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题恒成立问题的基本类型类型设在上恒成立且在上恒成立且类型设当时在上恒成立或或在上恒成立当时在上恒成立在上恒成立或或类型恒成立对一切恒成立对一切类型的图象的上方或的图小值法数形结合等解题方法求解一用一次函数的性质对于一次函数有的所有都成立求恒成立恒成立例若不等式对满足学习必备欢迎下载的范围解析我们可以用改变主元的办法将视为主变元即将元不等式化为令时则恒成立所以只需即求的范围解析要想应用上面的结论就得保证是二次的才有判别式但二次项系数含有参数所以要讨论是否是当时元不等式化为

39、恒成立满足题意三利用函数的最值或值域时只需所以对任意都成立对任意都成立简单计作大的大于最大的小学习必备 欢迎下载 数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连，本文结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略，以抛砖引玉。1 变量转换策略 例 1 已知对于任意的 a-1,1，函数 f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a0 恒成立，求 x 的取值范围.解析 本题按常规思路是分 a=0 时 f(x)是一次函数，a0 时是二次函数两种情况讨论，不容易求 x 的取值范围。因此，我们不能总是把 x 看成是变量，把 a看成常参数，我们可以通过变量转换，把

40、a看成变量，x 看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。令 g(a)=(x2+2x-1)a-4 x+3 在a-1,1 时，g(a)0恒成立，则0)1(0)1(gg，得133133x.点评 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。2 零点分布策略 例 2 已知aaxxxf3)(2，若0)(,2,2xfx恒成立，求 a的取值范围.解析 本题可以考虑 f(x)的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即 0 或0)2(0)2(220ffa或0)2(0)2(220ff

41、a，即 a的取值范围为-7，2.某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题恒成立问题的基本类型类型设在上恒成立且在上恒成立且类型设当时在上恒成立或或在上恒成立当时在上恒成立在上恒成立或或类型恒成立对一切恒成立对一切类型的图象的上方或的图小值法数形结合等解题方法求解一用一次函数的性质对于一次函数有的所有都成立求恒成立恒成立例若不等式对满足学习必备欢迎下载的范围解析我们可以用改变主元的办法将视为主变元即将元不等式化为令时则恒成立所以只需即求的范围解析要想应用上面的结论就得保证是二次的才有判别式但二次项系数含有参数所以要讨论是否是当时元不等式化为恒成立满足题意三利用函数的最值或值域时只需所以对任意都成

42、立对任意都成立简单计作大的大于最大的小学习必备 欢迎下载 点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在 x 轴的上方或在 x 轴上就行了.3 函数最值策略 例 3 已知aaxxxf3)(2，若2)(,2,2xfx恒成立，求 a的取值范围.解析 本题可以化归为求函数 f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意2)(,2,2minxfx.若2)(,2,2xfx恒成立2)(,2,2minxfx237)2()(22minafxfa 或243)2()(2222minaaafxfa或27)2()(22minafxfa，即 a 的取值范围为

43、222,5.点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用mxf)(恒成立mxfmin)(；mxf)(恒成立mxfmax)(.本题也可以用零点分布策略求解.4 变量分离策略 例 4 已知函数|54|)(2xxxf，若在区间 5,1上，kkxy3的图象位于函数 f(x)的上方，求 k 的取值范围.解 析 本 题 等 价 于 一 个 不 等 式 恒 成 立 问 题,即 对 于543,5,12xxkkxx恒成立,式子中有两个变量,可以通过变量分离化归某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题恒成立问题的基本类型类型设在上恒成立且在上恒成立且类型设当时

44、在上恒成立或或在上恒成立当时在上恒成立在上恒成立或或类型恒成立对一切恒成立对一切类型的图象的上方或的图小值法数形结合等解题方法求解一用一次函数的性质对于一次函数有的所有都成立求恒成立恒成立例若不等式对满足学习必备欢迎下载的范围解析我们可以用改变主元的办法将视为主变元即将元不等式化为令时则恒成立所以只需即求的范围解析要想应用上面的结论就得保证是二次的才有判别式但二次项系数含有参数所以要讨论是否是当时元不等式化为恒成立满足题意三利用函数的最值或值域时只需所以对任意都成立对任意都成立简单计作大的大于最大的小学习必备 欢迎下载 为求函数的最值问题.对于543,5,12xxkkxx恒成立3542xxxk

45、对 于 5,1 x恒 成 立,令 5,1,3542xxxxy,设 8,2,3ttx,则,8,2,10)16(ttty4t当,即 x=1时2maxy,k 的取值范围是 k2.变式 若本题中将kkxy3改为2)3(xky，其余条件不变，则也可以用变量分离法解.由题意得，对于54)3(,5,122xxxkx恒成立22)3(54xxxk对于 5,1 x恒 成 立,令 5,1,)3(5422xxxxy,设 8,2,3ttx,则,169)454(1101622ttty 8,2t，时即当51,454xt,169maxy,k 的取值范围是k169.点评 本题通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问

46、题，本题构造的函数求最值对学生来说有些难度，但通过换元后巧妙地转化为“对勾函数”，从而求得最值.变式题中构造的函数通过换元后转化为“二次函数型”，从而求得最值.本题也可以用零点分布策略和函数最值策略求解.5 数形结合策略 例 5 设函数xxaxf4)(2,aaxxg)(,若恒有)()(xgxf成立,试求实数 a的取值范围.解析 由题意得)()(xgxfaaxxx242,令xxy421,aaxy22.某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题恒成立问题的基本类型类型设在上恒成立且在上恒成立且类型设当时在上恒成立或或在上恒成立当时在上恒成立在上恒成立或或类型恒成立对一切恒成立对一切类型的图象的上方或

47、的图小值法数形结合等解题方法求解一用一次函数的性质对于一次函数有的所有都成立求恒成立恒成立例若不等式对满足学习必备欢迎下载的范围解析我们可以用改变主元的办法将视为主变元即将元不等式化为令时则恒成立所以只需即求的范围解析要想应用上面的结论就得保证是二次的才有判别式但二次项系数含有参数所以要讨论是否是当时元不等式化为恒成立满足题意三利用函数的最值或值域时只需所以对任意都成立对任意都成立简单计作大的大于最大的小学习必备 欢迎下载 可化为)0,40(4)2(1212yxyx，它表示以(2,0)为圆心，2 为半径的上半圆；表示经过定点(-2,0)，以 a为斜率的直线，要使)()(xgxf恒成立，只需所表

48、示的半圆在所表示的直线下方就可以了(如 图 所 示)当 直 线 与 半 圆 相 切 时 就 有21|22|2aaa，即33a，由图可知，要使)()(xgxf恒成立，实数a的取值范围是33a 点评 本题通过对已知不等式变形处理后，挖掘不等式两边式子的几何意义，通过构造函数，运用数形结合的思想来求参数的取值范围，不仅能使问题变得直观，同时也起到了化繁为简的效果.6 消元转化策略 例6 已 知f(x)是 定 义 在-1,1上 的 奇 函 数,且f(1)=1,若0)()(0,1,1,nmnfmfnmnm时，若12)(2attxf对 于 所 有 的 1,1,1,1ax恒成立，求实数 t 的取值范围.解析

49、 本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明 f(x)是定义在-1,1 上的增函数,故 f(x)在-1,1 上的最大值 为f(1)=1,则12)(2attxf对 于 所 有 的 1,1,1,1ax恒 成 立1212att对于所有的 1,1a恒成立，即022 tta对于所有的 1,1a恒成立，令22)(ttaag，只要0)1(0)1(gg，022ttt或或 x y O 某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题恒成立问题的基本类型类型设在上恒成立且在上恒成立且类型设当时在上恒成立或或在上恒成立当时在上恒成立在上恒成立或或类型恒成立对一切恒成立对一切类型的图象的上方

50、或的图小值法数形结合等解题方法求解一用一次函数的性质对于一次函数有的所有都成立求恒成立恒成立例若不等式对满足学习必备欢迎下载的范围解析我们可以用改变主元的办法将视为主变元即将元不等式化为令时则恒成立所以只需即求的范围解析要想应用上面的结论就得保证是二次的才有判别式但二次项系数含有参数所以要讨论是否是当时元不等式化为恒成立满足题意三利用函数的最值或值域时只需所以对任意都成立对任意都成立简单计作大的大于最大的小学习必备 欢迎下载 点评 对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决.以上介绍的几种常见不等式恒成立问题的求解策