含参不等式恒成立问题中求参数取值范围一般方法中学教育高考3_中学教育-高中教育.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法 温州中学 叶昭蓉 恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。一、分离参数 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若 af x恒成立，只须求出 maxf x，则 m a xaf x；若 af x恒成立，只须求出 minf x，则 m i naf x，转化为函数求最值。例 1、已知函数 lg2afxxx，若对任意2,x恒有 0f x，试确定a的取值范围。解：根据题意得：21axx 在2,x上恒成立，即：2

2、3axx 在2,x上恒成立，设 23f xxx ，则 23924f xx 当2x 时，max2f x 所以2a 在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若 f ag x恒成立，只须求出 maxg x，则 maxf ag x，然后解不等式求出参数a的取值范围；若 f ag x恒成立，只须求出 ming x，则 mi nfag x，然后解不等式求出参数a的取值范围，问题还是转化为函数求最值。例 2、已知,1x 时，不等式 21240 xxaa 恒成立，求a的取值范围。解：令2xt，,1x 0,2t 所以原不等式可化为：221taat，要使上式在0,

3、2t上恒成立，只须求出 21tf tt在0,2t上的最小值即可。22211111124tf ttttt 11,2t min324f tf 234aa 1322a 二、分类讨论 在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分学习必备 欢迎下载 类讨论的思想来解决。例 3、若 2,2x时，不等式23xaxa 恒成立，求a的取值范围。解：设 23f xxaxa，则问题转化为当 2,2x时，f x的最小值非负。（1）当22a 即：4a 时，min2730f xfa 73a 又4a 所以a不存在；（2）当222a 即：44a 时，2min3024aafxfa 62a 又44

4、a 42a （3）当22a 即：4a 时，m i n270fxfa 7a 又4a 74a 综上所得：72a 三、确定主元 在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x看成是主元（未知数），而把另一个变量a看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。例 4、若不等式 2211xm x 对满足2m 的所有m都成立，求x的取值范围。解：设 2121f mm xx，对满足2m 的m，0f m 恒成立，2221210202021210 xxffxx 解得：171322x 四、利用集合与集合间的关系 在给出的不等式中，若能

5、解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：,m nf ag a，则 f am且 g an，不等式的解即为实数a的取值范围。例 5、当1,33x时，log1ax 恒成立，求实数a的取值范围。解：1log1ax（1）当1a 时，1xaa，则问题转化为11,3,3aa 3113aa 3a 题也是历年高考的一个热点大多是在不等式中已知一个变量的取值范围求另一个变量的取值范围的形式出现下面介绍几种常用的处理方法一分离参数在给出的不等式中如果能通过恒等变形分离出参数即若恒成立只须求出则若恒成立设则时当所以在给出的不等式中如果通过恒等变形不能直接解出参数则可将两变量分别于不等式的两

6、边即若恒成立只须求出则然后解不等式求出参数的取值范围若恒成立只须求出则然后解不等式求出参数的取值范围问题还是转化为可解令在二分类讨论在给出的不等式中如果两变量不能通过恒等变形分别于不等式的两边则可利用分学习必备欢迎下载类讨论的思想来解决恒成立求的取值范围解设时不等式例若则问题转化为当即时当时的最小值非负又所以不存在学习必备 欢迎下载（2）当01a 时，1axa，则问题转化为11,3,3aa 1313aa103a 综上所得：103a 或3a 五、数形结合 数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式

7、。例 6、若不等式23log0axx在10,3x内恒成立，求实数a的取值范围。解：由题意知：23logaxx在10,3x内恒成立，在 同 一 坐 标 系 内，分 别 作 出 函 数23yx和logayx 观察两函数图象，当10,3x时，若1a 函数logayx的图象显然在函数23yx图象的下方，所以不成立；当01a 时，由图可知，logayx的图象必须过点1 1,3 3或在这个点的上方，则，11log33a 127a 1127a 综上得：1127a 上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。题也是历年高考的一个热点大多是在不等式中已知一个变量的取值范围求另一个变量的取值范围的形式出现下面介绍几种常用的处理方法一分离参数在给出的不等式中如果能通过恒等变形分离出参数即若恒成立只须求出则若恒成立设则时当所以在给出的不等式中如果通过恒等变形不能直接解出参数则可将两变量分别于不等式的两边即若恒成立只须求出则然后解不等式求出参数的取值范围若恒成立只须求出则然后解不等式求出参数的取值范围问题还是转化为可解令在二分类讨论在给出的不等式中如果两变量不能通过恒等变形分别于不等式的两边则可利用分学习必备欢迎下载类讨论的思想来解决恒成立求的取值范围解设时不等式例若则问题转化为当即时当时的最小值非负又所以不存在