向量的坐标表示及其运算教案中学教育中学学案_中学教育-中学学案.pdf

《向量的坐标表示及其运算教案中学教育中学学案_中学教育-中学学案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《向量的坐标表示及其运算教案中学教育中学学案_中学教育-中学学案.pdf（9页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、学习必备 欢迎下载 8.1 向量的坐标表示及其运算 教学目标 知识目标：了解基本单位向量、位置向量、向量的正交分解等概念；理解向量的坐标表示方法及其运算法则；掌握向量模的求法，知道模的几何意义；理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充要条件的证明方式 能力目标：会用两向量的坐标形式的和、差及实数与向量的积等运算解决相关问题；会用平行的充要条件解决点共线问题 情感目标：感知数学中的运动、变化、相互联系与相互转化的规律，加深对辩证唯物主义观点的体验；发展从数学的角度分析和解决问题的能力，以及通过积极参与数学学习和问题解决的过程，增强学习的主体意识，形成数学的应用意识，养成严谨、慎密的思维习

2、惯.教学重、难点 重点：如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用 难点：向量坐标形式的运算及其应用 一、新课引入：上海市莘庄中学的健美操队四名队员 A、B、C、D在一个长 10 米，宽 8 米的矩形表演区域 EFGH 内进行健美操表演.（1）若在某时刻1t，四名队员 A、B、C、D保持如图 1 所示的平行四边形队形.队员 A位于点 F处，队员 B在边 FG上距 F点 3 米处，队员 D位于距 EF边 2 米距 FG边 5 米处.你能确定此时队员 C的位置吗？EFGHHGFE图 2图 18m10mDCBADCBA10m8m 说明 此时队员 C在位于距 EF边 5 米距 FG边 5 米处.这

3、个图形比较特殊，学生很快就会得学习必备 欢迎下载 到答案，这时教师引入第二个问题.（2）若在某时刻2t，四名队员 A、B、C、D保持如图 2 所示的平行四边形队形.队员A位于距 EF边 2 米距 FG边 1 米处，队员 B在距 EF边 6 米距 FG边 3 米处，队员 D位于距 EF边 4米距 FG边 5 米处.你能确定此时队员 C的位置吗？说明 不要求学生写出结果，只引导学生思考.这个图形更为一般一些，学生解决的可能不是很顺，这时，教师就可以说，这一节我们就来学习一个新的内容：向量的坐标表示及其运算，学习了这个内容之后，同学们只要花上两分钟或者只要一分钟的时间就可以解决这个问题了，引起学生学

4、习的兴趣与探究的欲望.二、新课讲授 1、向量的正交分解（1）基本单位向量：我们称在平面直角坐标系中，方向与 x 轴和 y 轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为,i j。（2）位置向量：如图，称以原点 O为起点的向量为位置向量，如下图左，OA即为一个位置向量.思考 1：对于任一位置向量OA，我们能用基本单位向量,i j来表示它吗？如上图右，设如果点 A的坐标为,x y，它在小 x 轴，y 轴上的投影分别为 M，N，那么向量OA能用向量OM与ON来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得OAOMON），OM与ON能用基本单位向量,i j来表示吗？（依向量与实数相乘的几何意义可

5、得,OMxi ONy j），于是可得：OAOMONxiy j 理解向量的坐标表示方法及其运算法则掌握向量模的求法知道模的几何意义理解并掌握两个非零向量平行的充要条件巩固加深充要条件的证明方式能力目标会用两向量的坐标形式的和差及实数与向量的积等运算解决相关问题会用平点的体验发展从数学的角度分析和解决问题的能力以及通过积极参与数学学习和问题解决的过程增强学习的主体意识形成数学的应用意识养成严谨慎密的维习惯教学重难点重点如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用难内进行健美操表演若在某时刻四名队员保持如图所示的平行四边形队形队员位于点处队员在边上距点米处队员位于距边米距边米处你能确定此时队员的位

6、置吗图图说明此时队员在位于距边米距边米处这个图形比较特殊学生很快就会学习必备 欢迎下载（3）向量的正交分解：由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向量OA都能表示成两个相互垂直的基本单位向量,i j的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解.2、向量的坐标表示 思考 2：对于平面直角坐标系内的任意一个向量a，我们都能将它正交分解为基本单位向量,i j的线性组合吗？如下图左.由于任意一个位置向量都可以正交分解为基本单位向量,i j的线性组合，所以平面内任意的一个向量a都可以正交分解为基本单位向量,i j的线性组合.即：a=OA=xiy j 为了简便，通常我们将系数 x

7、,y抽取出来，得到有序实数对（x,y）.可知有序实数对（x,y）与向量a的位置向量OA是一一对应的.因而可用有序实数对（x,y）表示向量a，并称（x,y）为向量a的坐标，记作：a=（x,y）说明（x,y）不仅是向量a的坐标，而且也是与a相等的位置向量OA的终点 A的坐标！当将向量a的起点置于坐标原点时，其终点 A 的坐标是唯一的，所以向量a的坐标也是唯一的.这样，我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简单化.显然，依上面的表示法，我们有：(1,0),(0,1),0(0,0)ij.3、例题举隅 理解向量的坐标表示方法及其运算法则掌握向量模的求法知道模的几何意义理解并掌握两个非零向量平行

8、的充要条件巩固加深充要条件的证明方式能力目标会用两向量的坐标形式的和差及实数与向量的积等运算解决相关问题会用平点的体验发展从数学的角度分析和解决问题的能力以及通过积极参与数学学习和问题解决的过程增强学习的主体意识形成数学的应用意识养成严谨慎密的维习惯教学重难点重点如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用难内进行健美操表演若在某时刻四名队员保持如图所示的平行四边形队形队员位于点处队员在边上距点米处队员位于距边米距边米处你能确定此时队员的位置吗图图说明此时队员在位于距边米距边米处这个图形比较特殊学生很快就会学习必备 欢迎下载 例 1.（课本例题）如图，写出向量,a b c的坐标.解：由图知

9、1,2a，与向量b相等的位置向量为OA，可知 1,2bOA，与向量c相等的位置向量为OB，可知 1,2cOB 说明 对于位置向量a，它的终点的坐标就是向量的坐标；对于起点不在原点的向量,b c，我们是通过先找到与它相等的位置向量，再利用位置向量的坐标得到它们的坐标.那么，有没有不通过位置向量，直接就写出任意向量的坐标的方法呢？答案是肯定的，而且很简便，但我们需几分钟后再来解决这个问题.让我们先学习向量坐标表示的运算：4、向量的坐标表示运算 我们学过向量的运算，知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算，那么，在学习了向量的坐标表示以后，我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢？设是一个实数，

10、1122(,),(,).ax ybx y 由于1111(,),ax yx iy j 2222(,)bx yx iy j 所以1122(,)(,)abx yx y 1122x iy jx iy j 121212121212,x ix iy jy jxxiyyjxxyy 11111111(,),ax yx iy jx iy jxy 于是有：（1）向量的和（差）：1122(,)(,)x yxy1212,xx yy（2）数与向量的积：1111(,),x yxy 说明 上面第一个式子用语言可表述为：两个向量的和(差)的横坐标等于它们对应的横坐标的和(差)，两个向量的和(差)的纵坐标也等于它们对应的纵坐标

11、的和(差)，可笼统地简称为：两个向量和(差)的坐标等于对应坐标的和(差)；同样，第二个式子用语言可表述为：数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的积，数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标理解向量的坐标表示方法及其运算法则掌握向量模的求法知道模的几何意义理解并掌握两个非零向量平行的充要条件巩固加深充要条件的证明方式能力目标会用两向量的坐标形式的和差及实数与向量的积等运算解决相关问题会用平点的体验发展从数学的角度分析和解决问题的能力以及通过积极参与数学学习和问题解决的过程增强学习的主体意识形成数学的应用意识养成严谨慎密的维习惯教学重难点重点如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用难内进

12、行健美操表演若在某时刻四名队员保持如图所示的平行四边形队形队员位于点处队员在边上距点米处队员位于距边米距边米处你能确定此时队员的位置吗图图说明此时队员在位于距边米距边米处这个图形比较特殊学生很快就会学习必备 欢迎下载 的积，也可笼统地简称为：数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积.5、例题举隅 例 2、如下图左，设11,P x y、22,Q x y是平面直角坐标系内的任意两点，如何用 P、Q的坐标来表示向量PQ？解：如上图右，向量PQOQOP 22112121,xyx yxx yy 从而有 2121,PQxx yy 说明 平面直角坐标系内的任意向量的横坐标等于它终点的横坐标与它起点的横坐标的

13、差，纵坐标也等于它终点的纵坐标与它起点的纵坐标的差，可简称为“任意向量坐标=终点坐标-起点坐标”.例 3、如图，平面上 A、B、C三点的坐标分别为 2,1、3,2 1,3.（1）写出向量,AC BC的坐标；（2）如果四边形 ABCD 是平行四边形，求 D的坐标.解：（1）12,313,2AC 13,322,1BC （2）在上图中，因为四边形 ABCD是平行四边形，所以DCAB DC(-1,3)A(2,1)B(-3,2)yxO理解向量的坐标表示方法及其运算法则掌握向量模的求法知道模的几何意义理解并掌握两个非零向量平行的充要条件巩固加深充要条件的证明方式能力目标会用两向量的坐标形式的和差及实数与向

14、量的积等运算解决相关问题会用平点的体验发展从数学的角度分析和解决问题的能力以及通过积极参与数学学习和问题解决的过程增强学习的主体意识形成数学的应用意识养成严谨慎密的维习惯教学重难点重点如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用难内进行健美操表演若在某时刻四名队员保持如图所示的平行四边形队形队员位于点处队员在边上距点米处队员位于距边米距边米处你能确定此时队员的位置吗图图说明此时队员在位于距边米距边米处这个图形比较特殊学生很快就会学习必备 欢迎下载 设点 D的坐标为,DDxy，于是有1,3DDxyAB 又 32,215,1AB ，故 1,35,1DDxy 由此可得1531DDxy 解得42DD

15、xy 因此点 D的坐标为 4,2.例 4、已知向量 4,1a 与 5,2b，求23ab的坐标.解：因为 28,2a，315,6b 所以 23815,2623,4ab 例 5、已知平面内两点 P、Q的坐标分别为（-2,4）、（2,1），求PQ的单位向量0a 解：因为 22,1 44,3PQ ，故5PQ，所以01434,3,555PQaPQ 7、向量的平行（1）向量平行的概念：对任意两个向量,a b，若存在一个常数，使得ab 成立，则两向量a与向量b平行，记为：/ab.思考 1：在坐标平面上描出下列三点(0,1),(1,3),(3,7)ABC,完成下列问题：请把下列向量的坐标与模填在表格内：AB

16、BC AC 向量坐标(1,2)(2,4)(3,6)向量的模 5 2 5 3 5 通过画图，你得出什么结论？三点 A、B、C在一条直线上 分析表格中向量的模，你发现了什么？ABBCAC 理解向量的坐标表示方法及其运算法则掌握向量模的求法知道模的几何意义理解并掌握两个非零向量平行的充要条件巩固加深充要条件的证明方式能力目标会用两向量的坐标形式的和差及实数与向量的积等运算解决相关问题会用平点的体验发展从数学的角度分析和解决问题的能力以及通过积极参与数学学习和问题解决的过程增强学习的主体意识形成数学的应用意识养成严谨慎密的维习惯教学重难点重点如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用难内进行健美操

17、表演若在某时刻四名队员保持如图所示的平行四边形队形队员位于点处队员在边上距点米处队员位于距边米距边米处你能确定此时队员的位置吗图图说明此时队员在位于距边米距边米处这个图形比较特殊学生很快就会学习必备 欢迎下载 分析表格中向量，你还发现了什么？2BCAB，3ACAB，分析表格中向量坐标，你又发现了什么？向量坐标之间存在比例关系.思考 3：如果向量,a b用坐标表示为),(),(2211yxbyxa，则2121yyxx是ba/的（）条件.A、充要 B、必要不充分 C、充分不必要 D、既不充分也不必要（2）判断三点共线的方法 方法一：计算三个向量的模长关系.方法二：看两个非零向量之间是否存在非零常数

18、.（向量的坐标存在比例关系）例 5、若,a b是两个非零向量，且1122(,),(,)ax ybxy，则/ab的充要条件是1221x yx y.证明：分两步证明，（）先证必要性：/ab1221x yx y 非零向量/ab存在非零实数，使得ab，即 1122(,)(,)x yxy，化简整理可得：1212xxyy，消去即得1221x yx y（）再证充分性：1221x yx y/ab（1）若12210 x yx y,则1x、2x、1y、2y全不为零，显然有11220 xyxy，即1122(,)(,)x yxyab/ab（2）若12210 x yx y，则1x、2x、1y、2y中至少有两个为零.如果

19、10 x，则由a是非零向量得出一定有10y，20 x，理解向量的坐标表示方法及其运算法则掌握向量模的求法知道模的几何意义理解并掌握两个非零向量平行的充要条件巩固加深充要条件的证明方式能力目标会用两向量的坐标形式的和差及实数与向量的积等运算解决相关问题会用平点的体验发展从数学的角度分析和解决问题的能力以及通过积极参与数学学习和问题解决的过程增强学习的主体意识形成数学的应用意识养成严谨慎密的维习惯教学重难点重点如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用难内进行健美操表演若在某时刻四名队员保持如图所示的平行四边形队形队员位于点处队员在边上距点米处队员位于距边米距边米处你能确定此时队员的位置吗图图

20、说明此时队员在位于距边米距边米处这个图形比较特殊学生很快就会学习必备 欢迎下载 又由b是非零向量得出20y，从而，此时存在120yy使12(0,)(0,)yy，即ab/ab 如果10 x，则有20y，同理可证/ab 综上，当1221x yx y时，总有/ab 所以，命题得证.两向量平行的充要条件：若,a b是两个非零向量，且1122(,),(,)ax ybxy，则/ab的充要条件是1221x yx y.8、例题举隅 例 6、已知 P是直线12PP上的一点，且12PPPP（为任意实数，且1），1P、2P的坐标分别为11,x y、22,xy，求点 P的坐标,x y 解：由12PPPP，可知 121

21、2xxxxyyyy 由于1，所以解得 121211xxxyyy 向量12PP的定比分点坐标公式：121211xxxyyy 特别地，当1时，P为1P、2P的中点，中点的坐标公式为121222xxxyyy 例 7、已知平面上 A、B、C三点的坐标分别为11(,)x y、22(,)xy、33(,)xy，G是ABC的重理解向量的坐标表示方法及其运算法则掌握向量模的求法知道模的几何意义理解并掌握两个非零向量平行的充要条件巩固加深充要条件的证明方式能力目标会用两向量的坐标形式的和差及实数与向量的积等运算解决相关问题会用平点的体验发展从数学的角度分析和解决问题的能力以及通过积极参与数学学习和问题解决的过程增

22、强学习的主体意识形成数学的应用意识养成严谨慎密的维习惯教学重难点重点如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用难内进行健美操表演若在某时刻四名队员保持如图所示的平行四边形队形队员位于点处队员在边上距点米处队员位于距边米距边米处你能确定此时队员的位置吗图图说明此时队员在位于距边米距边米处这个图形比较特殊学生很快就会学习必备 欢迎下载 心，求点 G的坐标 解：设 D为 A、B的中点，那么1212,22xxyyD，因为 G是ABC的重心，所以2CGGD，由定比分点公式可得 12312322122212xxxxyyyy 故123123,33xxxyyyG 三角形重心的坐标公式：A、B、C 三点的坐

23、标分别为11(,)x y、22(,)xy、33(,)xy，G 是ABC的重心，那么123123,33xxxyyyG 三、课堂小结 1、向量的正交分解：（1）基本单位向量（2）位置向量（3）向量的正交分解 2、向量的坐标表示 3、向量的坐标表示运算 4、两向量平行的充要条件 5、两点定比分点公式及中点公式 6、三角形重心的坐标公式 四、作业布置 同步练习 8.1AB、周末卷 理解向量的坐标表示方法及其运算法则掌握向量模的求法知道模的几何意义理解并掌握两个非零向量平行的充要条件巩固加深充要条件的证明方式能力目标会用两向量的坐标形式的和差及实数与向量的积等运算解决相关问题会用平点的体验发展从数学的角度分析和解决问题的能力以及通过积极参与数学学习和问题解决的过程增强学习的主体意识形成数学的应用意识养成严谨慎密的维习惯教学重难点重点如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用难内进行健美操表演若在某时刻四名队员保持如图所示的平行四边形队形队员位于点处队员在边上距点米处队员位于距边米距边米处你能确定此时队员的位置吗图图说明此时队员在位于距边米距边米处这个图形比较特殊学生很快就会