《正弦定理和余弦定理》典型例题中学教育中学_中学教育-中学课件.pdf

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1、正弦定理和余弦定理典型例题透析 类型一：正弦定理的应用：例 1已知在ABC中，10c，45A，30C，解三角形.思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a，然后用三角形内角和求出角B，最后用正弦定理求出边b.解析：sinsinacAC，sin10 sin4510 2sinsin30cAaC，180()105BAC，又sinsinbcBC，sin10 sin1056220sin 75205 65 2sinsin304cBbC 总结升华：1.正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2.数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的

2、关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式 1】在 ABC中，已知032.0A，081.8B，42.9acm，解三角形。【答案】根据三角形内角和定理，0180()CA B000180(32.081.8)066.2；根据正弦定理，00sin42.9sin81.880.1()sinsin32.0aBbcmA；根据正弦定理，00sin42.9sin66.274.1().sinsin32.0aCccmA【变式 2】在 ABC中，已知075B，060C，5c，求a、A.【答案】00000180()180(7560)45ABC，根据正弦定理5sin45sin60ooa，5 63a.【变式 3】在 AB

3、C中，已知sin:sin:sin1:2:3ABC，求:a b c【答案】根据正弦定理sinsinsinabcABC，得:sin:sin:sin1:2:3a b cABC.例 2在3,60,1ABCbBc中，求：a和A，C 思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C，然后用三角形内角和求出角A，最后用正弦定理求出边a.解析：由正弦定理得：sinsinbcBC，sin1 sin601sin23cBCb，（方法一）0180C，30C 或150C，当150C 时，210180BC，（舍去）；当30C 时，90A，222abc（方法二）bc，60B，CB，60C 即C为

4、锐角，30C，90A 222abc 总结升华：1.正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。2.在利用正弦定理求角C时，因为0sinsin(180)CC，所以要依据题意准确确定角C的范围，再求出角C.3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.举一反三：【变式 1】在ABC中，6c，2a，45A，求b和,B C【答案】sinsinacAC，sin6sin453sin22cACa，0180C，60C 或120C 当60C 时，75B，sin6sin7531sinsin60cBbC；当120C 时，15B，sin6sin1531sinsin60cBbC；所以，31,75,

5、60bBC或31,15,120bBC【变式 2】在ABC中20a,210b,45A,求B和c；【答案】10 2sin45sinoaB，1sin2B 图形上如图可以确定先用正弦定理求出边然后用三角形内角和求出角最后用正弦定理求出边解析又总结升华正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题数形结合将已知条件表示在示意图形上可以清楚地看出已知与根据正弦定理变式在中已知求答案根据正弦定理变式在中已知求答案根据正弦定理得例在中求和思路点拨先将已知条件表示在示意图形上如图可以确定先用正弦定理求出角然后用三角形内角和求出角最后用正弦定理求出边解析由正和角的问题在利用正弦定理求角时因为所以要依据题意

6、准确确定角的范围再求出角一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍举一反三变式在中求和答案或当时当时所以或变式在中求和答案或当时当时舍去变式在中求答案由0180B，30B 或150B 当30B 时，105C，)13(10c；当150B 时，195180AB（舍去）。【变式 3】在ABC中，60B，14a,7 6b,求A.【答案】由正弦定理，得226760sin14sinsin0bBaA.ab,AB，即 060A 45A 类型二：余弦定理的应用：例 3已知ABC中，3AB、37BC、4AC，求ABC中的最大角。思路点拨:首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.解析：三边中37BC

7、最大，BC其所对角A最大，根据余弦定理：22222234(37)1cos22 3 42ABACBCAAB AC ，0180A，120A 故ABC中的最大角是120A.总结升华：1.ABC中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.举一反三：【变式 1】已知ABC中3a,5b,7c,求角C.【答案】根据余弦定理：2222225371cos22 3 52abcCab ，0180C，120oC 【变式 2】在ABC中，角,A B C所对的三边长分别为,a b c，若:a b c 6:2:3 1（），求ABC的各角的大小【答案】设6ak

8、，2bk，31ck，0k 图形上如图可以确定先用正弦定理求出边然后用三角形内角和求出角最后用正弦定理求出边解析又总结升华正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题数形结合将已知条件表示在示意图形上可以清楚地看出已知与根据正弦定理变式在中已知求答案根据正弦定理变式在中已知求答案根据正弦定理得例在中求和思路点拨先将已知条件表示在示意图形上如图可以确定先用正弦定理求出角然后用三角形内角和求出角最后用正弦定理求出边解析由正和角的问题在利用正弦定理求角时因为所以要依据题意准确确定角的范围再求出角一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍举一反三变式在中求和答案或当时当时所以或变式在中求和答

9、案或当时当时舍去变式在中求答案由根据余弦定理得：263142cos22316B，0180B，45B；同理可得60A；18075CAB 【变式 3】在ABC中，若222abcbc，求角A.【答案】222bcabc ，2221cos22bcaAbc 0180A，120A 类型三：正、余弦定理的综合应用 例 4在ABC中，已知2 3a，62c，045B，求b及A.思路点拨:画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边b，然后继续用余弦定理或正弦定理求角A.解析：由余弦定理得：2222cosbacacB =220(2 3)(62)2 2 3(62)cos45=212(62)4 3(3 1)=8

10、 2 2.b 求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：（法一：余弦定理）222222(2 2)(62)(2 3)1cos222 2 2(62)bcaAbc，060.A（法二：正弦定理）02 33sinsinsin4522 2aABb 又62 2.4 1.4 3.8，2 3 2 1.8 3.6 图形上如图可以确定先用正弦定理求出边然后用三角形内角和求出角最后用正弦定理求出边解析又总结升华正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题数形结合将已知条件表示在示意图形上可以清楚地看出已知与根据正弦定理变式在中已知求答案根据正弦定理变式在中已知求答案根据正弦定理得例在中求和思路点拨先将已知条

11、件表示在示意图形上如图可以确定先用正弦定理求出角然后用三角形内角和求出角最后用正弦定理求出边解析由正和角的问题在利用正弦定理求角时因为所以要依据题意准确确定角的范围再求出角一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍举一反三变式在中求和答案或当时当时所以或变式在中求和答案或当时当时舍去变式在中求答案由ac，即00A090,060.A 总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.举一反三：【变式 1】在ABC中，已知3b,4c,0135A.求B和C.【答案】由余弦定理得：21225135cos43243222oa，48.621225a 由正弦定理得：sin3si

12、n135sin0.327obABaa，因为0135A为钝角，则B为锐角，0/19 7B.00/180()25 53CAB.【变式 2】在ABC中，已知角,A B C所对的三边长分别为,a b c，若2a，2 2b，62c，求角A和sinC【答案】根据余弦定理可得：222884 343cos222 2 262bcaAbc 0180A，30A ；由正弦定理得：62 sin3062sinsin24cACa.图形上如图可以确定先用正弦定理求出边然后用三角形内角和求出角最后用正弦定理求出边解析又总结升华正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题数形结合将已知条件表示在示意图形上可以清楚地看出已知与根据正弦定理变式在中已知求答案根据正弦定理变式在中已知求答案根据正弦定理得例在中求和思路点拨先将已知条件表示在示意图形上如图可以确定先用正弦定理求出角然后用三角形内角和求出角最后用正弦定理求出边解析由正和角的问题在利用正弦定理求角时因为所以要依据题意准确确定角的范围再求出角一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍举一反三变式在中求和答案或当时当时所以或变式在中求和答案或当时当时舍去变式在中求答案由