偏微分一维热传导问题高等教育微积分_高等教育-大学课件.pdf

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1、偏微分大作业 一维热传导方程问题 运用隐式格式求解数值解目录 问题描述.3 1 解析解分离变量法 .3 2 数值解隐式格式 .5 3 证明隐式格式的相容性与稳定性 .5 4 数值解分析与 Matlab 实现 .6 5 数值解与解析解的比较 .9 6 随时间变化的细杆上的温度分布情况 .11 7 稳定后细杆上的温度分布情况 .13 参考文献.13 附录.13隐式格式的相容性与稳定性数值解分析与实现数值解与解析解的比较随时间变化的细杆上的温度分布情况稳定后细杆上的温度分布情况参考文献附录有限长杆的一维热传导问题问题描述一根单位长度的细杆放入的沸水中当细杆的温度分布现在解析解一一分离变量法可知由于解

2、的收敛性则此时是平庸解当时则此时是平庸解当时其中数值解隐式格式目前研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要这里使用隐式格式利用关于进行向前差商厂关于进行二阶中将与原微分方程相减得到截断误差所以此隐式格式与原微分方程相容稳定性令网格比为首先令则可以将式改写得到将代入式根据欧拉公式化简得故得放大因子是叮所以根据方法隐式格式恒稳定数值解一一分析与实现边值与初值离散有限长杆的一维热传导问题 问题描述 一根单位长度的细杆放入100C的沸水中，当细杆的温度达到100C时取出。假设细杆四周绝热；在时间t=0时，细杆两端浸入0c的冰水中。一维热传导方 2 2 程：Ut a Uxx 0，现在令a 1，从而可

3、知本题：Ut Uxx 0。现在 要求细杆温度分布：u(x,t)。1 解析解一一分离变量法 热传导偏微分方程：Ut Uxx 0(1)u(O,t)U(1,t)0.U(x，)(x)其中，0，x 0或x 1(x)L 100，x(0,1)首先令：U(x,t)X(x)T(t)将(2)式带入(1)式得：X(x)T(t)T(t)X(x)0 于是可得:l(t)T(t)X(x)X(x)可以得到两个微分方程：T(t)L|T(t)0 X(x)X(x)0 先求解空间项：当 0时，X(x)Ae x Be x 由于 U(0,t)U(1,t)0,t.隐式格式的相容性与稳定性数值解分析与实现数值解与解析解的比较随时间变化的细杆

4、上的温度分布情况稳定后细杆上的温度分布情况参考文献附录有限长杆的一维热传导问题问题描述一根单位长度的细杆放入的沸水中当细杆的温度分布现在解析解一一分离变量法可知由于解的收敛性则此时是平庸解当时则此时是平庸解当时其中数值解隐式格式目前研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要这里使用隐式格式利用关于进行向前差商厂关于进行二阶中将与原微分方程相减得到截断误差所以此隐式格式与原微分方程相容稳定性令网格比为首先令则可以将式改写得到将代入式根据欧拉公式化简得故得放大因子是叮所以根据方法隐式格式恒稳定数值解一一分析与实现边值与初值离散可知：由于解的收敛性，B 0 X(0)=X(1)A Ae 0 A 0

5、则此时是平庸解。当 0 时，X(x)A Bx X(0)=X(1)A A B 0 A 0,B 0 则此时是平庸解。当 0 时，X(x)A cos kx Bsinkx,其中 k。X(0)A 0 A 0 X(1)Bsink 0 k n,n 1,2,3 所以，X(x)Bnsin(n x)，n 1,2,3 因为 2 2 n 所以，T(t)n2 2t Cne n 1,2,3 则，u(x,t)n n2 2t Dne 1 sin(n x)初始条件：u(x,)(x)u(x，)Dn sin(n x)(x)n 1 1 Dn 2 0(x)sin(n x)dx i 2 100sin(n x)dx 1 200()cosn

6、(1)cosn n 当 0 时，m Dn=200(1 cosn)n/最终，u(x,t)200(1 1)n)e n t sin(n x)，n 1,2,3 n 1 n 隐式格式的相容性与稳定性数值解分析与实现数值解与解析解的比较随时间变化的细杆上的温度分布情况稳定后细杆上的温度分布情况参考文献附录有限长杆的一维热传导问题问题描述一根单位长度的细杆放入的沸水中当细杆的温度分布现在解析解一一分离变量法可知由于解的收敛性则此时是平庸解当时则此时是平庸解当时其中数值解隐式格式目前研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要这里使用隐式格式利用关于进行向前差商厂关于进行二阶中将与原微分方程相减得到截断误差所

7、以此隐式格式与原微分方程相容稳定性令网格比为首先令则可以将式改写得到将代入式根据欧拉公式化简得故得放大因子是叮所以根据方法隐式格式恒稳定数值解一一分析与实现边值与初值离散2数值解隐式格式 目前，研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要。这里使用隐式 格式1。代入隐式格式得：U 1 JU t 2 t2 将（2）与原微分方程相减，得到截断误差=1=2 所以此隐式格式与原微分方程相容。利用u（X,t），关于t进行向前差商：Uk1 Uk k 1 j厂；关于X进行二阶中心差:Uk；2Uf U；（X；代入偏微分方程可以得到隐式差分格式：U k1 U；U k 1(1)3 证明隐式格式的相容性与稳定性(1

8、)相容性 根据 Taylor 展开:1=u：+t 1 uk+*C U：U-1 I I k 1 k U I Uj 1 Uj+1 2 t2 1 2U 2 1 Ju （护）x2 2 x 1 2U 2 EX（k3）（k3）2U T+X(水2)(jx)2 2 t2 2 t2 3 X)隐式格式的相容性与稳定性数值解分析与实现数值解与解析解的比较随时间变化的细杆上的温度分布情况稳定后细杆上的温度分布情况参考文献附录有限长杆的一维热传导问题问题描述一根单位长度的细杆放入的沸水中当细杆的温度分布现在解析解一一分离变量法可知由于解的收敛性则此时是平庸解当时则此时是平庸解当时其中数值解隐式格式目前研究热传导问题特别

9、是非稳态热传导问题十分重要这里使用隐式格式利用关于进行向前差商厂关于进行二阶中将与原微分方程相减得到截断误差所以此隐式格式与原微分方程相容稳定性令网格比为首先令则可以将式改写得到将代入式根据欧拉公式化简得故得放大因子是叮所以根据方法隐式格式恒稳定数值解一一分析与实现边值与初值离散（2）稳定性 故得放大因子是:1 1+2r（1 cos）所以根据Fourier方法，隐式格式恒稳定。4 数值解一一分析与 Matlab 实现（1）边值与初值离散化 将边值与初值离散化，与式（3）联立得差分线性方程组:r rukld 2r)Ujk1 rU：11 U：，j(0,1,2 k(0,1,2,|,M|,N-1)1)

10、U0=(Xj),j(0,1,2,|,M)U:U0 0,k(0,1,2,(j|,N)U：0，k(0,1,2,|，N)再将方程组改写成 AU B的形式：首先令:rU 将（4）代入（3）(1 2r)Ujk1 rU：1 U：Uk 1eI(j-D Uk；U：U：VU：+1 式，根据欧拉公式化简得:Uk 1+2r(3)Uk 1eI(4)（j+i）2rcos)U k(5)G 叮 U：令网格比为r 则可以将（1）式改写得到:t x2，隐式格式的相容性与稳定性数值解分析与实现数值解与解析解的比较随时间变化的细杆上的温度分布情况稳定后细杆上的温度分布情况参考文献附录有限长杆的一维热传导问题问题描述一根单位长度的细

11、杆放入的沸水中当细杆的温度分布现在解析解一一分离变量法可知由于解的收敛性则此时是平庸解当时则此时是平庸解当时其中数值解隐式格式目前研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要这里使用隐式格式利用关于进行向前差商厂关于进行二阶中将与原微分方程相减得到截断误差所以此隐式格式与原微分方程相容稳定性令网格比为首先令则可以将式改写得到将代入式根据欧拉公式化简得故得放大因子是叮所以根据方法隐式格式恒稳定数值解一一分析与实现边值与初值离散Uik1 Uik+rU0T u；1 u：u：1 u：1+2r r r 1 2r r r 1 2r*1 1 4 r 1 2r r uk 1 M 2 uk M 2 r 1 2r

12、(M 1)(M 1)uk 1 M 1 uk M 1 k 1 rUM 本题的边界条件均为零。所以可以将上式改写。/1+2r r uk1/r 1 2r r ur r 1 2r 4 1 1 u：1*I 1 r 1 2r k 1 r U M 2 r 1 2r u k 1(M 1)(M 1)M 1 u2k u：uM 2(2)Matlab的实现?杆长1米，时间2秒。设计空间步长h=和时间步长t=，网格比是r h2 从而得到划分的空间网格点数是 M1+1，时间网格点数是 M2+1。先设初 始的温度矩阵U(M2+1,M1+1)。再将边界条件和初始条件编写到表示温度分 布的矩阵中。具体代码可见最后附录。?编写矩

13、阵A 核心代码：对角线：A(i,i)=1+2r 对角线的右方和下方：A(i,i+1)=-r;/A(i+1,i)=-r;/?下面就要运用A*u(k 1,j)u(k,j)进行迭代。当 k=1 时，A*U(2,j)=U(1,j)当 k=2 时，A*U(3,j)=U(2,j)当 k=3 时，A*U(4,j)=U(3,j)以此迭代下去直到k=M2。就可以得到整个温度随时间和空间的分布矩阵 U。uM 1 隐式格式的相容性与稳定性数值解分析与实现数值解与解析解的比较随时间变化的细杆上的温度分布情况稳定后细杆上的温度分布情况参考文献附录有限长杆的一维热传导问题问题描述一根单位长度的细杆放入的沸水中当细杆的温度

14、分布现在解析解一一分离变量法可知由于解的收敛性则此时是平庸解当时则此时是平庸解当时其中数值解隐式格式目前研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要这里使用隐式格式利用关于进行向前差商厂关于进行二阶中将与原微分方程相减得到截断误差所以此隐式格式与原微分方程相容稳定性令网格比为首先令则可以将式改写得到将代入式根据欧拉公式化简得故得放大因子是叮所以根据方法隐式格式恒稳定数值解一一分析与实现边值与初值离散 图 1(b)着色平稳过渡的数值解的温度分布图?数值解画图，如图1(a)和图1(b)所示。维熱传导方程-数煩解-温度分布團.5 图 1(a)数值解的温度分布图 现在将着色平稳过渡。维如专导方园魏值解

15、温度分布團 _|ss42n-2 C6 隐式格式的相容性与稳定性数值解分析与实现数值解与解析解的比较随时间变化的细杆上的温度分布情况稳定后细杆上的温度分布情况参考文献附录有限长杆的一维热传导问题问题描述一根单位长度的细杆放入的沸水中当细杆的温度分布现在解析解一一分离变量法可知由于解的收敛性则此时是平庸解当时则此时是平庸解当时其中数值解隐式格式目前研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要这里使用隐式格式利用关于进行向前差商厂关于进行二阶中将与原微分方程相减得到截断误差所以此隐式格式与原微分方程相容稳定性令网格比为首先令则可以将式改写得到将代入式根据欧拉公式化简得故得放大因子是叮所以根据方法隐式

16、格式恒稳定数值解一一分析与实现边值与初值离散5 数值解与解析解的比较 2 2 首先，我们需要将解析解离散化，解析解中有一项e n t，当n越来越大 时，会快速趋于0，故我们可以取n=8000。现在来证明可行性，在 matlab 里的工作空间运算。将解析解的温度分布画出来，数值解画图 2，如图2所示。维热传导方程解折解温度分布图 隐式格式的相容性与稳定性数值解分析与实现数值解与解析解的比较随时间变化的细杆上的温度分布情况稳定后细杆上的温度分布情况参考文献附录有限长杆的一维热传导问题问题描述一根单位长度的细杆放入的沸水中当细杆的温度分布现在解析解一一分离变量法可知由于解的收敛性则此时是平庸解当时则

17、此时是平庸解当时其中数值解隐式格式目前研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要这里使用隐式格式利用关于进行向前差商厂关于进行二阶中将与原微分方程相减得到截断误差所以此隐式格式与原微分方程相容稳定性令网格比为首先令则可以将式改写得到将代入式根据欧拉公式化简得故得放大因子是叮所以根据方法隐式格式恒稳定数值解一一分析与实现边值与初值离散 图 2 解析解的温度分布图 _|I 1 3542O 2 隐式格式的相容性与稳定性数值解分析与实现数值解与解析解的比较随时间变化的细杆上的温度分布情况稳定后细杆上的温度分布情况参考文献附录有限长杆的一维热传导问题问题描述一根单位长度的细杆放入的沸水中当细杆的温度分

18、布现在解析解一一分离变量法可知由于解的收敛性则此时是平庸解当时则此时是平庸解当时其中数值解隐式格式目前研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要这里使用隐式格式利用关于进行向前差商厂关于进行二阶中将与原微分方程相减得到截断误差所以此隐式格式与原微分方程相容稳定性令网格比为首先令则可以将式改写得到将代入式根据欧拉公式化简得故得放大因子是叮所以根据方法隐式格式恒稳定数值解一一分析与实现边值与初值离散将数值解与解析解相减，得到误差图。如图 3(a)和图3(b)，我们从图3(a)上可以看出空间上的误差，在边界处误差比较大 维热传导方程.误差“温度分布圉 位亂 图 3(a)数值解与解析解空间误差 我们

19、从图3(a)上可以看出时间的误差，在时间的最开始，处误差最大，然后 又有一个小的波动，最后就误差渐渐变小，最后趋于 0 隐式格式的相容性与稳定性数值解分析与实现数值解与解析解的比较随时间变化的细杆上的温度分布情况稳定后细杆上的温度分布情况参考文献附录有限长杆的一维热传导问题问题描述一根单位长度的细杆放入的沸水中当细杆的温度分布现在解析解一一分离变量法可知由于解的收敛性则此时是平庸解当时则此时是平庸解当时其中数值解隐式格式目前研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要这里使用隐式格式利用关于进行向前差商厂关于进行二阶中将与原微分方程相减得到截断误差所以此隐式格式与原微分方程相容稳定性令网格比为

20、首先令则可以将式改写得到将代入式根据欧拉公式化简得故得放大因子是叮所以根据方法隐式格式恒稳定数值解一一分析与实现边值与初值离散-维熱伟导方程“误差温度分布图,J-Li-b-J-LJ-J-J-0 0.2 0.4 0.6 0.S 1 1.2 1.4 1.6 13 2 时间t 图 3(b)数值解与解析解时间误差 6 随时间变化的细杆上的温度分布情况 从数值解的温度分布三维图，如图4(a)和图4(b)可以看出随着时间的增加，细杆温度下降最后趋于0 C。从物理角度来说：细杆的温度会不断地向两端扩散，热量会慢慢散失，最终 随着时间的增加，细杆的温度会趋于 0C。隐式格式的相容性与稳定性数值解分析与实现数值

21、解与解析解的比较随时间变化的细杆上的温度分布情况稳定后细杆上的温度分布情况参考文献附录有限长杆的一维热传导问题问题描述一根单位长度的细杆放入的沸水中当细杆的温度分布现在解析解一一分离变量法可知由于解的收敛性则此时是平庸解当时则此时是平庸解当时其中数值解隐式格式目前研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要这里使用隐式格式利用关于进行向前差商厂关于进行二阶中将与原微分方程相减得到截断误差所以此隐式格式与原微分方程相容稳定性令网格比为首先令则可以将式改写得到将代入式根据欧拉公式化简得故得放大因子是叮所以根据方法隐式格式恒稳定数值解一一分析与实现边值与初值离散錐熬传导方程数值解-温度分布團 0 0

22、.2 0.4 D6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 13 2 时间t 图 4(a)细杆温度随时间的变化图 现取细杆中心处一点，观看它随时间的温度变化情况。图 4(b)细杆中央(x=)温度随时间的变化图 隐式格式的相容性与稳定性数值解分析与实现数值解与解析解的比较随时间变化的细杆上的温度分布情况稳定后细杆上的温度分布情况参考文献附录有限长杆的一维热传导问题问题描述一根单位长度的细杆放入的沸水中当细杆的温度分布现在解析解一一分离变量法可知由于解的收敛性则此时是平庸解当时则此时是平庸解当时其中数值解隐式格式目前研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要这里使用隐式格式利用关于进行向前差商厂关于

23、进行二阶中将与原微分方程相减得到截断误差所以此隐式格式与原微分方程相容稳定性令网格比为首先令则可以将式改写得到将代入式根据欧拉公式化简得故得放大因子是叮所以根据方法隐式格式恒稳定数值解一一分析与实现边值与初值离散7 稳定后细杆上的温度分布情况 从图像上可以看出，最后稳定的情况下，细杆的温度是 0C 参考文献 1 冯立伟热传导方程几种差分格式的 MATLAB数值解法的比较J 沈阳化 工大学，辽宁沈阳.2011(6).2 一维热传导方程数值解法及 Matlab实现EB/OL.2014-11-20 附录 代码：%此程序用于解决一维热传导方程:ut-aA2uxx=0%边界条件：u(0,t)=u(L,t

24、)=0%初始条件：u(x,0)=100,x!=0 和L%u(0,0)=0%u(L,0)=0%其中,aA2=1,L=1%clc;隐式格式的相容性与稳定性数值解分析与实现数值解与解析解的比较随时间变化的细杆上的温度分布情况稳定后细杆上的温度分布情况参考文献附录有限长杆的一维热传导问题问题描述一根单位长度的细杆放入的沸水中当细杆的温度分布现在解析解一一分离变量法可知由于解的收敛性则此时是平庸解当时则此时是平庸解当时其中数值解隐式格式目前研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要这里使用隐式格式利用关于进行向前差商厂关于进行二阶中将与原微分方程相减得到截断误差所以此隐式格式与原微分方程相容稳定性令网

25、格比为首先令则可以将式改写得到将代入式根据欧拉公式化简得故得放大因子是叮所以根据方法隐式格式恒稳定数值解一一分析与实现边值与初值离散clear all;%区域及划分网格 L=1;%单位长度的细杆？T=2;%时间 h=;%空间的划分%t=;%时间的划分%r=t/(h*h);%网格比%设计步长 M1=L/h;M2=T/t;%构造边界条件%U=zeros(M2+1,M1+1);for k=1:M2+1 U(k,1)=0;U(k,M1+1)=0;end;%构造初始条件 for j=2:M1 U(1,j)=100;end;U(1,1)=0;U(1,M1+1)=0;%差分格式的矩阵形式 A*U(k+1,j

26、)=U(k,j)%构造矩阵 A A=zeros(M1-1);for i=1:M1-1 A(i,i)=1+2*r;end;for i=1:M1-2 A(i,i+1)=-r;A(i+1,i)=-r;end;%构造 AU=B 中的 B%本题边值的特殊，矩阵 B 大大简化了 B=zeros(M1-1,1);for k=1:M2 j=2:M1;B(j-1,1)=U(k,j);x=AB;、丿 for j=2:M1构造的矩阵：U(时间，空间)%编程包含边值，如 U(k,1)=u(0,t)%时间划分了 M2 份，有 M2+1 个节点%两个边界处温度恒为零%位置划分了 M1 份，有 M1+1 个节点 隐式格式的

27、相容性与稳定性数值解分析与实现数值解与解析解的比较随时间变化的细杆上的温度分布情况稳定后细杆上的温度分布情况参考文献附录有限长杆的一维热传导问题问题描述一根单位长度的细杆放入的沸水中当细杆的温度分布现在解析解一一分离变量法可知由于解的收敛性则此时是平庸解当时则此时是平庸解当时其中数值解隐式格式目前研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要这里使用隐式格式利用关于进行向前差商厂关于进行二阶中将与原微分方程相减得到截断误差所以此隐式格式与原微分方程相容稳定性令网格比为首先令则可以将式改写得到将代入式根据欧拉公式化简得故得放大因子是叮所以根据方法隐式格式恒稳定数值解一一分析与实现边值与初值离散 e

28、nd;%乍图 x=0:h:1;y=0:t:2;xx,yy=meshgrid(x,y);figure(1);surf(xx,yy,U);shad ing flat title(一维热传导方程-数值解-温度分布图);xlabel(位置 x);ylabel(时间 t);zlabel(温度 T);figure(2)s=0;for i=1:8000 s=s+(200*(1-(-1)Ai)/(i*pi)*s in(i*pi*xx).*exp(-22*piA2*yy);end;surf(xx,yy,s);title(一维热传导方程-解析解-温度分布图);xlabel(位置 x);ylabel(时间 t);z

29、label(温度 T);figure(3)x=0:h:1;y=0:t:2;xx,yy=meshgrid(x,y);dd=U-s;surf(xx,yy,dd);title(一维热传导方程-误差-温度分布图)；xlabel(位置 x);ylabel(时间 t);zlabel(误差(数值解减解析解)；figure(4)z=zeros(M2+1,1);if mod(M1+1),2)=0 i=1:M2+1;z(i,1)=U(i,M1/2);else i=1:M2+1;U(k+1,j)=x(j-1);end;%k+1 时刻的不同位置的温度分布 隐式格式的相容性与稳定性数值解分析与实现数值解与解析解的比较随

30、时间变化的细杆上的温度分布情况稳定后细杆上的温度分布情况参考文献附录有限长杆的一维热传导问题问题描述一根单位长度的细杆放入的沸水中当细杆的温度分布现在解析解一一分离变量法可知由于解的收敛性则此时是平庸解当时则此时是平庸解当时其中数值解隐式格式目前研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要这里使用隐式格式利用关于进行向前差商厂关于进行二阶中将与原微分方程相减得到截断误差所以此隐式格式与原微分方程相容稳定性令网格比为首先令则可以将式改写得到将代入式根据欧拉公式化简得故得放大因子是叮所以根据方法隐式格式恒稳定数值解一一分析与实现边值与初值离散z(i,1)=U(i,(M1+1)/2);end;plo

31、t(z);title(温度随时间增加的趋势图)；xlabel(时间 t);ylabel(温度 T);隐式格式的相容性与稳定性数值解分析与实现数值解与解析解的比较随时间变化的细杆上的温度分布情况稳定后细杆上的温度分布情况参考文献附录有限长杆的一维热传导问题问题描述一根单位长度的细杆放入的沸水中当细杆的温度分布现在解析解一一分离变量法可知由于解的收敛性则此时是平庸解当时则此时是平庸解当时其中数值解隐式格式目前研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要这里使用隐式格式利用关于进行向前差商厂关于进行二阶中将与原微分方程相减得到截断误差所以此隐式格式与原微分方程相容稳定性令网格比为首先令则可以将式改写得到将代入式根据欧拉公式化简得故得放大因子是叮所以根据方法隐式格式恒稳定数值解一一分析与实现边值与初值离散