高考数学复习专题系列学案：基本不等式对勾函数中学教育高考_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第 1 页 基本不等式与对勾函数 一、对勾函数byaxx)0,0(ba的图像与性质 性质：1.定 义域：),0()0,(2.值域：),2()2,(abab 3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(xfxf 4.图像在一、三象限 当0 x 时，由基本不等式知byaxx ab2（当且仅当bxa取等号），即)(xf在 x=ab时，取最小值ab2 由奇函数性质知：当 x0 时，)(xf在 x=ab时，取最大值ab2 5.单调性：增区间为（,ab），（ab,）减区间是（0，ab），（ab,0）一、对勾函数的变形形式 类型一：函数

2、byaxx)0,0(ba的图像与性质 此函数与对勾函数xbxay)()(关于原点对称，故函数图像为 学习必备 欢迎下载 第 2 页 性质：类型二：斜勾函数byaxx)0(ab 0,0 ba作图如下 性质：0,0 ba作图如下：类 型 三：函 数)0()(2acxcbxaxxf 此类函数可变形为bxcaxxf)(，则)(xf可由对勾函数xcaxy上下平移得到 例 1作函数xxxxf1)(2的草图 解：11)(1)(2xxxfxxxxf作图如下：类型四：函数)0,0()(kakxaxxf 此类函数可变形为kkxakxxf)()(，则)(xf可由对勾函数xaxy左右平移，上下平移得到 例 2作函数2

3、1)(xxxf的草图 解：2212)(21)(xxxfxxxf作图如下：例 3作函数xxxxf23)(的作图：解：1212211212)(23)(xxxxxxxxfxxxxf 练习：1.求函数421)(xxxf在),2(上的最低点坐标 两个对勾的形状且函数图像关于原点呈中心对称即图像在一三象限当时由基本不等式知当且仅当取等号即在时取最小值由奇函数性质知当时在时取最大值单调性增区间为减区间是一对勾函数的变形形式类型一函数的图像与性质此函类型三函数此类函数可变形为则可由对勾函数上下平移得到例作函数的草图解作图如下类型四函数此类函数可变形为则可由对勾函数左右平移上下平移得到例作函数的草图解作图如下例

4、作函数的作图解练习求函数在上的最低点坐标数的单调性相反图像如下性质定义域值域奇偶性奇函数函数图像整体呈两个倒着的对勾的形状且函数图像关于原点呈中心对称即图像在一三象限当时由基本不等式知当且仅当取等号即在时取最大值由奇函数性质知当时在时取最小值学习必备 欢迎下载 第 3 页 2.求函数1)(xxxxf的单调区间及对称中心 类型五：函数)0,0()(2babxaxxf 此类函数定义域为R，且可变形为xbxaxbxaxf2)(a.若0a，则)(xf的单调性和对勾函数xbxy的单调性相反，图像如下：性质：1定义域：),(2.值域：)21,21(baba 3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个倒着的“对

5、勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(xfxf 4.图像在一、三象限 当0 x 时，由基本不等式知baxbxaxf22)(（当且仅当bx 取等号），即)(xf在bx 时，取最大值ba2 由奇函数性质知：当 x0 时，)(xf在 x=b时，取最小值ba2 5.单调性：减区间为（,b），（b,）增区间是,bb 两个对勾的形状且函数图像关于原点呈中心对称即图像在一三象限当时由基本不等式知当且仅当取等号即在时取最小值由奇函数性质知当时在时取最大值单调性增区间为减区间是一对勾函数的变形形式类型一函数的图像与性质此函类型三函数此类函数可变形为则可由对勾函数上下平移得到例作函数的草图解作图如

6、下类型四函数此类函数可变形为则可由对勾函数左右平移上下平移得到例作函数的草图解作图如下例作函数的作图解练习求函数在上的最低点坐标数的单调性相反图像如下性质定义域值域奇偶性奇函数函数图像整体呈两个倒着的对勾的形状且函数图像关于原点呈中心对称即图像在一三象限当时由基本不等式知当且仅当取等号即在时取最大值由奇函数性质知当时在时取最小值学习必备 欢迎下载 第 4 页 例 4作函数1)(2xxxf的草图 解：xxxxxfxxxf1111)(1)(22 b.若0a，作出函数图像：例 5作函数42)(2xxxf的草图 类型六：函数)0()(2amxcbxaxxf 此类函数可变形为)0()()()()(2at

7、smxtmxamxtmxsmxaxf，则)(xf可由对勾函数xtaxy左右平移，上下平移得到 例 6说明函数11)(2xxxxf由对勾函数xxy1如何变换而来 解：111111)1()1()(2xxxxxxf 故 此函数)(xf可由对勾函数xxy1向 （填“左”、“右”）平移 单位，向 （填“上”、“下”）平移 单位.草图如下：练习：1.已知1x，求函数1107)(2xxxxf的最小值 2.已知1x，求函数1109)(2xxxxf的最大值 类型七：函数)0()(2acbxaxmxxf 例 7求函数21)(2xxxxf在区间),1(上的最大值 解：当1x时，0)1(f 当1x时，3141114)

8、1(3)1(14)1(3)1(1)(22xxxxxxxxxf 问：若区间改为),4则)(xf的最大值为 两个对勾的形状且函数图像关于原点呈中心对称即图像在一三象限当时由基本不等式知当且仅当取等号即在时取最小值由奇函数性质知当时在时取最大值单调性增区间为减区间是一对勾函数的变形形式类型一函数的图像与性质此函类型三函数此类函数可变形为则可由对勾函数上下平移得到例作函数的草图解作图如下类型四函数此类函数可变形为则可由对勾函数左右平移上下平移得到例作函数的草图解作图如下例作函数的作图解练习求函数在上的最低点坐标数的单调性相反图像如下性质定义域值域奇偶性奇函数函数图像整体呈两个倒着的对勾的形状且函数图像

9、关于原点呈中心对称即图像在一三象限当时由基本不等式知当且仅当取等号即在时取最大值由奇函数性质知当时在时取最小值学习必备 欢迎下载 第 5 页 练习：1.求函数232)(22xxxxxf在区间),0上的最大值 类型八：函数axbxxf)(此类函数可变形为标准形式：)0()(abaxabaxaxabaxxf 例 8求函数13)(xxxf的最小值 解：141141)(xxxxxf 练习：1 求函数15)(xxxf的值域 2.求函数32)(xxxf的值域 类型九：函数)0()(22aaxbxxf 此类函数可变形为标准形式：)()()(22222oabaxabaxaxabaxxf 例 9求函数45)(2

10、2xxxf的最小值 解：45)(22xxxf414414)(2222xxxxxf 练习：1.求函数171)(22xxxf的值域 例 10已知2210,xaaxa 求函数y=的最小值。解：222211xaxaxaxa y=令 t=2xa(ta),则1tty=两个对勾的形状且函数图像关于原点呈中心对称即图像在一三象限当时由基本不等式知当且仅当取等号即在时取最小值由奇函数性质知当时在时取最大值单调性增区间为减区间是一对勾函数的变形形式类型一函数的图像与性质此函类型三函数此类函数可变形为则可由对勾函数上下平移得到例作函数的草图解作图如下类型四函数此类函数可变形为则可由对勾函数左右平移上下平移得到例作函

11、数的草图解作图如下例作函数的作图解练习求函数在上的最低点坐标数的单调性相反图像如下性质定义域值域奇偶性奇函数函数图像整体呈两个倒着的对勾的形状且函数图像关于原点呈中心对称即图像在一三象限当时由基本不等式知当且仅当取等号即在时取最大值由奇函数性质知当时在时取最小值学习必备 欢迎下载 第 6 页 当1a 即1a 时，1aaminy=当1a 即01a 时，2miny=两个对勾的形状且函数图像关于原点呈中心对称即图像在一三象限当时由基本不等式知当且仅当取等号即在时取最小值由奇函数性质知当时在时取最大值单调性增区间为减区间是一对勾函数的变形形式类型一函数的图像与性质此函类型三函数此类函数可变形为则可由对勾函数上下平移得到例作函数的草图解作图如下类型四函数此类函数可变形为则可由对勾函数左右平移上下平移得到例作函数的草图解作图如下例作函数的作图解练习求函数在上的最低点坐标数的单调性相反图像如下性质定义域值域奇偶性奇函数函数图像整体呈两个倒着的对勾的形状且函数图像关于原点呈中心对称即图像在一三象限当时由基本不等式知当且仅当取等号即在时取最大值由奇函数性质知当时在时取最小值