含参不等式恒成立问题中学教育高考_中学教育-高中教育.pdf

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1、学习好资料 欢迎下载 不等式中恒成立问题的解法研究 在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。恒成立问题的基本类型：类型 1：设)0()(2acbxaxxf（1）Rxxf 在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf 在0)(上恒成立00且a。类型 2：设)0()(2acbxaxxf（1）当0a时，,0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或，,0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff（2）当0a时，,0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff,0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或 类型 3：min)(

2、)(xfIxxf恒成立对一切max)()(xfIxxf恒成立对一切。类型 4：)()()()()()()(maxminIxxgxfxgxfIxxgxf的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。一、用一次函数的性质 对于一次函数,)(nmxbkxxf有：0)(0)(0)(,0)(0)(0)(nfmfxfnfmfxf恒成立恒成立 学习好资料 欢迎下载 例 1：若不等式)1(122xmx对满足22m的所有m都成立，求 x的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将 m 视为主变元，即将元不

3、等式化为：0)12()1(2xxm，；令)12()1()(2xxmmf，则22m时，0)(mf恒成立，所以只需0)2(0)2(ff即0)12()1(20)12()1(222xxxx，所以 x的范围是)231,271(x。二、利用一元二次函数的判别式 对于一元二次函数),0(0)(2Rxacbxaxxf有：（1）Rxxf 在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf 在0)(上恒成立00且a 例 2：若不等式02)1()1(2xmxm的解集是 R，求 m 的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数 m，所以要讨论 m-1是否是 0。（1）当 m-1=0时，元

4、不等式化为 20 恒成立，满足题意；（2）01m时，只需0)1(8)1(012mmm，所以，)9,1 m。三、利用函数的最值（或值域）（1）mxf)(对任意 x 都成立mxfmin)(；（2）mxf)(对任意 x 都成立max)(xfm。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例 3：在ABC 中，已知2|)(|,2cos)24(sinsin4)(2mBfBBBBf且恒成立，求实数 m 的范围。解析：由 1,0(sin,0,1sin22cos)24(sinsin4)(2BBBBBBBf，3,1()(Bf，2|)(|mBf恒成立，2)(2mB

5、f，即2)(2)(BfmBfm恒成立，3,1(m 四：数形结合法 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图像法求解。例 5：已知恒成立有时当21)(,)1,1(,)(,1,02xfxaxxfaax，求实数 a的取值范围。的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题恒成立问题的基本类型类型设类型设当时在且在且在上恒成立上恒成立上恒成立或或在上恒成立当时在上恒成立在上恒成立或或类型对一切恒成立对一切恒成立类型的图象的上方或的最小值法数形结合等解题方法求解一用一次函数的性质对于一次函数有恒成立恒成立学习好资料欢迎下载对满足的所有都成立求例若不等式的范围解析我们可以用改变主元的办法将视为主变元即将

6、元不等式化为令则时恒成立所以只集是求的范围解析要想应用上面的结论就得保证是二次的才有判别式但二次项系数含有参数所以要讨论是否是当时元不等式化为恒成立满足题意三利用函数的最值或值域对任意都成立对任意都成立简单计作大的大于最大的小的小于学习好资料 欢迎下载 解析：由xxaxaxxf2121)(22，得，在同一直角坐标系中做出两个函数的图像，如果两个函数分别在 x=-1 和 x=1 处相交，则由12221)1(211aa及得 到 a 分 别 等 于 2 和 0.5，并 作 出 函 数xxyy)21(2及的图像，所以，要想使函数xax212在区间)1,1(x中恒成立，只须xy2在区间)1,1(x对应的

7、图像在212xy在区间)1,1(x对 应 图 像 的 上 面 即 可。当2,1aa只有时才 能 保 证，而2110aa时，只有才可以，所以 2,1()1,21a。由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图像来解。利用函数图像解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。练习题：1、对任意实数 x，不等式),(0cossinRcbacxbxa恒成立的充要条件是_。22bac 2、设 1,(7932lglg在ayxxx上有意义，求实数 a 的取值范围.),95。3、当1|)3,31(xL o gxa时，恒成立，则实数 a 的范围是_。),331,0(4、已知不等式：32)1(1211

8、.2111aLognnnna 对一切大于 1的自然数 n 恒成立，求实数a 的范围。)251,1(a 含参不等式恒成立问题的求解策略 “函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数),0()(2Rxacbxaxxf,有 1）0)(xf对Rx恒成立00a;2）0)(xf对Rx恒成立.00a 的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题恒成立问题的基本类型类型设类型设当时在且在且在上恒成立上恒成立上恒成立或或在上恒成立当时在上恒成立在上恒成立或或类型对一切恒成立对一切恒成立类型的图象的上方或的最小值

9、法数形结合等解题方法求解一用一次函数的性质对于一次函数有恒成立恒成立学习好资料欢迎下载对满足的所有都成立求例若不等式的范围解析我们可以用改变主元的办法将视为主变元即将元不等式化为令则时恒成立所以只集是求的范围解析要想应用上面的结论就得保证是二次的才有判别式但二次项系数含有参数所以要讨论是否是当时元不等式化为恒成立满足题意三利用函数的最值或值域对任意都成立对任意都成立简单计作大的大于最大的小的小于学习好资料 欢迎下载 例 1已知函数)1(lg22axaxy的定义域为 R，求实数a的取值范围。解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22axax对Rx恒成立，即有04)1(22aa解得311aa或。所

10、以实数a的取值范围为),31()1,(。若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。例 2设22)(2mxxxf，当),1x时，mxf)(恒成立，求实数m的取值范围。解：设mmxxxF22)(2，则当),1x时，0)(xF恒成立 当120)2)(1(4mmm即时，0)(xF显然成立；当0时，如图，0)(xF恒成立的充要条件为：1220)1(0mF解得23m。综上可得实数m的取值范围为)1,3。二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）axf)(恒成立min)(xfa 2）axf)(恒成立max)(xfa 例 4函数),1,2)(2xxa

11、xxxf，若对任意),1 x，0)(xf恒成立，求实数a的取值范围。解：若对任意),1 x，0)(xf恒成立，即对),1 x，02)(2xaxxxf恒成立，考虑到不等式的分母),1 x，只需022axx在),1 x时恒成立而得 而抛物线axxxg2)(2在),1 x的最小值03)1()(m inagxg得3a 注：本题还可将)(xf变形为2)(xaxxf，讨论其单调性从而求出)(xf最小值。O x yx-1 的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题恒成立问题的基本类型类型设类型设当时在且在且在上恒成立上恒成立上恒成立或或在上恒成立当时在上恒成立在上恒成立或或类型对一切恒成立对一切恒成立类型的

12、图象的上方或的最小值法数形结合等解题方法求解一用一次函数的性质对于一次函数有恒成立恒成立学习好资料欢迎下载对满足的所有都成立求例若不等式的范围解析我们可以用改变主元的办法将视为主变元即将元不等式化为令则时恒成立所以只集是求的范围解析要想应用上面的结论就得保证是二次的才有判别式但二次项系数含有参数所以要讨论是否是当时元不等式化为恒成立满足题意三利用函数的最值或值域对任意都成立对任意都成立简单计作大的大于最大的小的小于学习好资料 欢迎下载 三、分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更

13、清晰，操作性更强。一般地有：1）为参数）aagxf)()(恒成立max)()(xfag 2）为参数）aagxf)()(恒成立max)()(xfag 实际上，上题就可利用此法解决。略 解：022axx在),1 x时 恒 成 立，只 要xxa22在),1 x时恒成立。而易求得二次函数xxxh2)(2在),1 上的最大值为3，所以3a。例 5已知函数 4,0(,4)(2xxxaxxf时0)(xf恒成立，求实数a的取值范围。解：将问题转化为xxxa24 对 4,0(x恒成立。令xxxxg24)(，则min)(xga 由144)(2xxxxxg可 知)(xg在 4,0(上 为 减 函 数，故0)4()(

14、mingxg 0a即a的取值范围为)0,(。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。四、变换主元法 处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例 6对任意 1,1a，不等式024)4(2axax恒成立，求x的取值范围。解：令44)2()(2xxaxaf，则原问题转化为0)(af恒成立（1,1a）。当2x时，可得0)(af，不合题意。当2x时，应有0)1(0)1(ff解之得31xx或。故x的取值范围为),3()1,(。注：一般地，一次函数)0()(kbkxxf在,上恒有0)(xf的充要条件为0)(0)(ff。的某一个

15、取值范围内所有值都成立的恒成立问题恒成立问题的基本类型类型设类型设当时在且在且在上恒成立上恒成立上恒成立或或在上恒成立当时在上恒成立在上恒成立或或类型对一切恒成立对一切恒成立类型的图象的上方或的最小值法数形结合等解题方法求解一用一次函数的性质对于一次函数有恒成立恒成立学习好资料欢迎下载对满足的所有都成立求例若不等式的范围解析我们可以用改变主元的办法将视为主变元即将元不等式化为令则时恒成立所以只集是求的范围解析要想应用上面的结论就得保证是二次的才有判别式但二次项系数含有参数所以要讨论是否是当时元不等式化为恒成立满足题意三利用函数的最值或值域对任意都成立对任意都成立简单计作大的大于最大的小的小于学

16、习好资料 欢迎下载 五、数形结合法 数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图像和不等式有着密切的联系：1）)()(xgxf函数)(xf图像恒在函数)(xg图像上方；2）)()(xgxf函数)(xf图像恒在函数)(xg图像下上方。例 6、若不等式23log0axx在10,3x内恒成立，求实数a的取值范围。解：由题意知：23logaxx在10,3x内恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数23yx和logayx 观察两函数图像，当10,3x时，若1a 函数logayx的图像显然在函数23yx图像的下

17、方，所以不成立；当01a 时，由图可知，logayx的图像必须过点1 1,3 3或在这个点的上方，则，11log33a127a 1127a 的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题恒成立问题的基本类型类型设类型设当时在且在且在上恒成立上恒成立上恒成立或或在上恒成立当时在上恒成立在上恒成立或或类型对一切恒成立对一切恒成立类型的图象的上方或的最小值法数形结合等解题方法求解一用一次函数的性质对于一次函数有恒成立恒成立学习好资料欢迎下载对满足的所有都成立求例若不等式的范围解析我们可以用改变主元的办法将视为主变元即将元不等式化为令则时恒成立所以只集是求的范围解析要想应用上面的结论就得保证是二次的才有判别式但二次项系数含有参数所以要讨论是否是当时元不等式化为恒成立满足题意三利用函数的最值或值域对任意都成立对任意都成立简单计作大的大于最大的小的小于