高一数学笔记研究生考试考研数学_研究生考试-考研数学.pdf

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1、精心整理 精心整理 第一章集合 1一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。2元素与集合的关系；（1）如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于（belongto）A，记作 aA（2）如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于（notbelongto）A，记作 aA（或 aA）（举例）3常用数集及其记法 非负整数集（或自然数集），记作 N 正整数集，记作 N*或 N+；整数集，记作 Z 有理数集，记作 Q 4任何一个集合是它本身的子集 5 真子集的概念：若集合BA，存在元素AxBx 且，则称集合 A 是集合 B 的真子集（propers

2、ubset）。记作：AB（或 BA）6空集的概念 不含有任何元素的集合称为空集（emptyset），记作：规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 7集合基本运算的一些结论：ABA，ABB，AA=A，A=,AB=BA AAB，BAB，AA=A，A=A,AB=BA（CUA）A=U，（CUA）A=若 AB=A，则 AB，反之也成立 若 AB=B，则 AB，反之也成立 若 x（AB），则 xA 且 xB 若 x（AB），则 xA，或 xB：AA BA，且CB，则CA 第二章函数 1.2.2 函数的表示法 1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A

3、 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数（function）记作：y=f(x)，xA 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域（domain）；与 x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)|x A 叫做函数的值域（range）精心整理 精心整理 2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 3一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集

4、合 A 到集合 B 的一个映射（mapping）记作“f：AB”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截不同的其中 f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述 补充：复合函数 如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA)称为 f、g 的复合函数。1.3.1 函数的单调性 1增函数 一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（increasingfunction）思考：

5、仿照增函数的定义说出减函数的定义（学生活动）注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2；当 x1x2时，总有 f(x1)f(x2)2函数的单调性定义 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间：3判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：任取 x1，x2D，且 x11，且nN*当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数此时，a的n次方根用符号

6、na表示 式子na叫做根式（radical），这里n叫做根指数（radicalexponent），a叫做被开方数（radicand）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示正的n次方根与负的n次方根可以合并成na（a0）由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作00 n 思考：（课本 P58探究问题）nna=a一定成立吗？（学生活动）结论：当n是奇数时，aann 当n是偶数时，)0()0(|aaaaaann 分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定：有理指数幂的运算性质 合的元素就说属于记作如果不

7、是集合的元素就说不属于记作或举例常用数集及其记法非负整数集或自然数集记作正整数集记作或整数集记作有理数集记作任何一个集合是它本身的子集真子集的概念若集合存在元素且则称集合是集合子集集合基本运算的一些结论若则反之也成立若则反之也成立若则且若则或且则第二章函数函数的表示法函数的概念设是非空的数集如果按照某个确定的对应关系使对于集合中的任意一个数在集合中都有唯一确定的数和它对应那么数值的集合叫做函数的值域精心整理精心整理构成函数的三要素定义域对应关系和值域一般地设是两个非空的集合如果按某一个确定的对应法则使对于集合中的任意一个元素在集合中都有唯一确定的元素与之对应那么就称对应为从精心整理 精心整理（

8、1）rasrraa ),0(Qsra；（2）rssraa)(),0(Qsra；（3）srraaab)(),0,0(Qrba 2.1.2 指数函数及其性质（一）指数函数的概念 一般地，函数)1a,0a(ayx且叫做指数函数（exponentialfunction），其中 x 是自变量，函数的定义域为 R 2你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？图象特征 函数性质 向 x、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R 图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在 x 轴上方 函数的值域为 R+函数图象都过定点（0，1）自左向右看，图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降 增函

9、数 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于 1 在第一象限内的图象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图象纵坐标都大于 1 图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；课题：2.2.1 对数 1对数的概念 一般地，如果Nax)1,0(aa，那么数x叫做以a为底N的对数（Logarithm），记作：a底数，N真数，Nalog对数式 说明：注意底数的限制0a，且1a；对数的性质（1）负数和零没有对数；（2）1 的对数是零：01loga；（3）底数的对数是 1：1logaa

10、；（4）对数恒等式：NaNalog；（5）nanalog 合的元素就说属于记作如果不是集合的元素就说不属于记作或举例常用数集及其记法非负整数集或自然数集记作正整数集记作或整数集记作有理数集记作任何一个集合是它本身的子集真子集的概念若集合存在元素且则称集合是集合子集集合基本运算的一些结论若则反之也成立若则反之也成立若则且若则或且则第二章函数函数的表示法函数的概念设是非空的数集如果按照某个确定的对应关系使对于集合中的任意一个数在集合中都有唯一确定的数和它对应那么数值的集合叫做函数的值域精心整理精心整理构成函数的三要素定义域对应关系和值域一般地设是两个非空的集合如果按某一个确定的对应法则使对于集合中

11、的任意一个元素在集合中都有唯一确定的元素与之对应那么就称对应为从精心整理 精心整理：（一）对数函数的概念 1定义：函数0(logaxya，且)1a叫做对数函数（logarithmicfunction）其中x是自变量，函数的定义域是（0，+）注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别如：xy2log2，5log5xy 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 对数指数对数（二）对数的运算性质 如果0a，且1a，0M，0N，那么：Ma(log)NMalogNalog；NMalogMalogNalog；naMlognMalog)(Rn 注意：换底公式 abbccalogloglog（0

12、a，且1a；0c，且1c；0b）利用换底公式推导下面的结论（1）bmnbanamloglog；（2）abbalog1log 函数对底数的限制：0(a，且)1a 类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表 图象特征 函数性质 函数图象都在 y 轴右侧 函数的定义域为（0，）图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数 向 y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为 R 函数图象都过定点（1，1）自左向右看，图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降 增函数 减函数 第一象限的图象纵坐标都大于 0 第一象限的图象纵坐标都大于 0 第二象限的图象纵坐标都小于 0 第二象限的图象纵坐标都小于 0

13、 合的元素就说属于记作如果不是集合的元素就说不属于记作或举例常用数集及其记法非负整数集或自然数集记作正整数集记作或整数集记作有理数集记作任何一个集合是它本身的子集真子集的概念若集合存在元素且则称集合是集合子集集合基本运算的一些结论若则反之也成立若则反之也成立若则且若则或且则第二章函数函数的表示法函数的概念设是非空的数集如果按照某个确定的对应关系使对于集合中的任意一个数在集合中都有唯一确定的数和它对应那么数值的集合叫做函数的值域精心整理精心整理构成函数的三要素定义域对应关系和值域一般地设是两个非空的集合如果按某一个确定的对应法则使对于集合中的任意一个元素在集合中都有唯一确定的元素与之对应那么就称对应为从