高考数学化归与转化的思想在解题中的应用中学教育高考_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 化归与转化的思想在解题中的应用 一、知识整合 1解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。2化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比

2、皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。3转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。4化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决

3、复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。二、例题分析 例 1某厂 20XX年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到 12 月投入建设资金又恰好与 12 月

4、的 生 产 利 润 相 同，问 全 年 总 利 润 m 与全 年 总 投 入 N 的 大小 关 系 是 （）学习必备 欢迎下载 A.mN B.mN C.m=N D.无法确定 分析 每月的利润组成一个等差数列an，且公差 d0，每月的投资额组成一个等比数列bn，且公比 q1。11ab，且1212ab，比较12S与12T的大小。若直接求和，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式 an=a1+（n-1）d 是关于 n 的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列。等比数列的通项公式 bn=a1qn-1是关于 n 的指数函数，其图象是指数函数上的一些点列。在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出 ai

5、 bi 则12S12T，即 m N。点评 把一个原本是求和的问题，退化到各项的逐一比较大小，而一次函数、指数函数的图象又是每个学生所熟悉的。在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使问题直观、形象，使解答更清新。例 2如果，三棱锥 PABC中，已知 PA BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂线ED=h 求证三棱锥 PABC的体积216Vl h 分析：如视 P为顶点，ABC为底面，则无论是 SABC以及高 h 都不好求如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境 解：如图，连结 EB，EC，由 PA BC，PA ED，ED BC=E，

6、可得 PA 面 ECD 这样，截面 ECD将原三棱锥切割成两个分别以 ECD为底面，以 PE、AE为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于 PE+AE=PA=l，所以 VP ABC=VP ECD+VA ECD=13S ECDAE+13S ECDPE=13S ECD PA=1312BC ED PA=216Vl h 评注：辅助截面 ECD的添设使问题转化为已知问题迎刃而解 例 3在25(32)xx的展开式中 x 的系数为()(A)160 (B)240 (C)360 (D)800 难通过观察分析类比联想等思维过程选择运用恰当的数学方法进行变换将原问题转化为一个新问题相对来说对自己较熟悉的问题通

7、过新问题的求解达到解决原问题的目的这一思想方法我们称之为化归与转化的思想方法化归与转化思个意义上讲解决数学问题就是从未知向已知转化的过程化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想解题的过程实际上就是一步步转化的过程数学中的转化比比皆是如未知向已知转化复杂问题向简单问题转化新知识向旧知识的转化转化函数与方程的转化等都是转化思想的体现转化有等价转化和非等价转化等价转化前后是充要条件所以尽可能使转化具有等价性在不得已的情况下进行不等价转化应附加限制条件以保持等价性或对所得结论进行必要的验证化归与学习必备 欢迎下载 分析与解：本题要求25(32)xx展开式中 x 的系数，而我们只学习过多项式乘法法则及二

8、项展开式定理，因此，就要把对 x 系数的计算用上述两种思路进行转化：思路 1：直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解，则25(32)xx展开式是一个关于 x 的 10 次多项式，25(32)xx=(x2+3x+2)(x2+3x+2)(x2+3x+2)(x2+3x+2)(x2+3x+2)，它的展开式中的一次项只能从 5 个括号中的一个中选取一次项 3x 并在其余四个括号中均选 择常数项 2 相乘得到，故为15C(3x)44C 24=5316x=240 x，所以应选(B)思路 2 利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进行计算，x2+3x+2=x2+(3x+2)=(x2+2)+3x=(x2

9、+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x)，这条思路下又有四种不同的化归与转化方法如利用 x2+3x+2=x2+(3x+2)转化，可以发现只有55C(3x+2)5中会有 x 项，即45C(3x)24=240 x，故选(B)；如利用 x2+3x+2=(x2+2)+3x 进行转化，则只15C(x2+2)4 3x 中含有 x 一次项，即15C 3x C44 24=240 x；如利用 x2+3x+2=(x2+3x)+2 进行转化，就只有45C(x2+3x)24中会有 x 项，即 240 x；如选择 x2+3x+2=(1+x)(2+x)进行转化，25(32)xx=5(1)x5(2)x展开式

10、中的一次项x 只能由(1+x)5中的一次项乘以(2+x)5展开式中的常数项加上(2+x)5展开式中的一次项乘以(1+x)5展开式中的常数项后得到，即为15Cx55C25+15C 24 x05C 15=160 x+80 x=240 x，故选(B)评注：化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知。例 4若不等式243xpxxp 对一切04p 均成立，试求实数x的取值范围。解：243xpxxp 2(1)430 xpxx 令()g p 2(1)43xpxx，则要使它对04p 均有()0g p，只要有(0)0(4)0gg 3x 或1x 。点评：在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元

11、，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的。但难通过观察分析类比联想等思维过程选择运用恰当的数学方法进行变换将原问题转化为一个新问题相对来说对自己较熟悉的问题通过新问题的求解达到解决原问题的目的这一思想方法我们称之为化归与转化的思想方法化归与转化思个意义上讲解决数学问题就是从未知向已知转化的过程化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想解题的过程实际上就是一步步转化的过程数学中的转化比比皆是如未知向已知转化复杂问题向简单问题转化新知识向旧知识的转化转化函数与方程的转化等都是转化思想的体现转化有等价转化和非等价转化等价转化前后是充要条件所以尽可能使转化

12、具有等价性在不得已的情况下进行不等价转化应附加限制条件以保持等价性或对所得结论进行必要的验证化归与学习必备 欢迎下载 在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解。本题中，若视 x 为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于 p 的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行。三、总结提炼 1熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去

13、发现事物之间的本质联系。“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。2为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，既可以从代数的角度去认识问题，又可以从几何的角度去解决问题。难通过观察分析类比联想等思维过程选择运用恰当的数学方法进行变换将原问题转化为一个新问题相对来说对自己较熟悉的问题通过新问题的求解达到解决原问题的目的这一思想方法我们称之为化归与转化的思想方法化归与转化思个意义上讲解决数学问题就是从未知向已知转化的过程化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想解题的过程实际上就是一步步转化的过程数学中的转化比比皆是如未知向已知转化复杂问题向简单问题转化新知识向旧知识的转化转化函数与方程的转化等都是转化思想的体现转化有等价转化和非等价转化等价转化前后是充要条件所以尽可能使转化具有等价性在不得已的情况下进行不等价转化应附加限制条件以保持等价性或对所得结论进行必要的验证化归与