导数题型分类大全中学教育高考_中学教育-高考.pdf

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1、导数题型分类（A）题型一：导数的定义及计算、常见函数的导数及运算法则（一）导数的定义：函数)(xfy 在0 x处的瞬时变化率xxfxxfxyoxx)()(limlim000称为函数)(xfy 在0 xx 处的导数，记作)(0/xf或0/xxy，即xxfxxfxfx)()(lim)(0000/如果函数)(xfy 在开区间),(ba内的每点处都有导数，此时对于每一个),(bax，都对应着一个确定的导数)(/xf，从而构成了一个新的函数)(/xf。称这个函数)(/xf为函数)(xfy 在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y，即)(/xf/yxxfxxfx)()(lim0 导数与导函数都称为导数，

2、这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数)(xfy 在0 x处的导数0/xxy，就是导函数)(/xf在0 x处的函数值，即0/xxy)(0/xf。例 1.函数 axxfy在处的导数为 A，求 ttaftaft54lim0。例 22333xyxx求在点处的导数。（二）常见基本初等函数的导数公式和运算法则：NnnxxCCnn,)(;)(01为常数；;sin)(cos;cos)(sinxxxx aaaeexxxxln)(;)(；exxxxaalog1)(log;1)(ln 法则 1：)()()()(xvxuxvxu 法则 2：)()()()()()(xvxuxvxuxvxu 法则 3：)

3、0)()()()()()()()(2xvxvxvxuxvxuxvxu（理）复合函数的求导：若(),()yf u ux，则()()xyfxx g 如，sin()xe_;(sin)xe_ 公式1/)(nnnxx的特例：)x(_;x1_,)x(_.题型二：利用导数几何意义及求切线方程 导数的几何意义：函数)(xfy 在0 x处的导数是曲线)(xfy 上点()(,00 xfx)处的切线的斜率.因 此，如 果)(0 xf 存 在，则 曲 线)(xfy 在 点（)(,00 xfx）处 的 切 线 方 程 为_ 例 1若函数()f x满足，321()(1),3f xxfxx 则(1)f 的值 例 2设曲线a

4、xye在点(0,1)处的切线与直线210 xy 垂直，则a 练习题 1曲线在点处的切线方程是 2若曲线在 P点处的切线平行于直线，则 P点的坐标为 （1，0）3若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 4求下列直线的方程：（注意解的个数）（1）曲线在 P(-1,1)处的切线；（2）曲线过点 P(3,5)的切线；解：（1）所以切线方程为 （2）显然点 P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为，则又函数的导数为，所以过点的切线的斜率为，又切线过、P(3,5)点，所以有，由联立方程组得，即切点为（1，1）时，切线斜率为；当切点为（5，25）时，切线斜率为；所以所求的切线有两条，方程分别为 5设P为曲线C

5、：yx22x3 上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0，4，则点P横坐标的取值范围为()A 1，12 B 1,0 C0,1 D12，1 6.下列函数中，在（0，+）上为增函数的是（）=sinx B.xyxe C.3yxx =ln(1+x)x 7.设 f(x),g(x)是 R 上 的 可 导 函 数，(),()fx g x分 别 为 f(x),g(x)的 导 数，且()()()()0fx g xf x g x，则当 axf(b)g(x)(x)g(x)f(b)g(b)(x)g(a)f(a)g(x)(x)g(x)f(b)g(a)题型三：利用导数研究函数的单调性 1.设函数)(xfy 在某个

6、区间（a,b）内有导数，如果在这个区间内，则)(xfy 在这个区间内单调递增；如果在这个区间内，则)(xfy 是这个区间内单调递减.2.求函数的单调区间的方法：（1）求导数)x(fy；（2）解方程0)x(f；（3）使不等式0)x(f成立的区间就是递增区间，使0)x(f成立的区间就是递减区间 3.若函数)(xfy 在区间(,)a b上单调递增，则()_ 0fx在(,)a b恒成立.例：1.函数yxcosxsinx在下面哪个区间内是增函数（）（A）(2，23)（B）(，2)（C）(23，25)（D）(2，3)在处的导数记作或即如果函数在开区间内的每点处都有导数此时对于每一个应着一个确定的导数从而构

7、成了一个新的函数称这个函数在开区间内的导函数简称导数也可记作即都对为函数导数与导函数都称为导数这要加以区分求一个二常见基本初等函数的导数公式和运算法则为常数法则法则法则理复合函数的求导若则如公式的特例题型二利用导数几何意义及求切线方程导数的几何意义函数在处的导数是曲线上点处的切线的斜率因此如果存在则曲线在点处的切的切线平行于直线则点的坐标为若曲线的一条切线与直线垂直则的方程为求下列直线的方程注意解的个数曲线在处的切线曲线过点的切线解所以切线方程为显然点不在曲线上所以可设切点为则又函数的导数为所以过点的切线的斜率2.函数 f(x)=xlnx(x0)的单调递增区间是_.3.已知函数()1xf xe

8、ax在 R上单调递增,则a的取值范围是_.题型四：利用导数研究函数的极值、最值。1 在区间上的最大值是 2 2已知函数处有极大值，则常数 c 6 ；3函数有极小值 1 ,极大值 3 4已知函数f(x)的导函数()fx的图象如右图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是()5.已知函数32()(6)1f xxaxax 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是（）a2 -3 或 a6 C.-3a6 -1或 a2 作业和练习：1.已知函数2()2f xxaxa在区间（，1）上有最小值，则函数()()f xg xx在区间（1，+）上一定（）A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数 2已

9、知函数32()3f xaxbxx在1x 处取得极值，求过点 A(0，16)作曲线 y=f(x)的切线，求该切线的方程.3已知函数()lnf xxx（1）求 f(x)的最小值（2）若对所有 x1 都有 f(x)ax-1,求 a 的取值范围.4 已知函数21()ln,2f xxxa 其中 a 为大于零的常数.y x O 1 2-2 A y x O 1 2-2 B y x O 1 2-2 C y x O 1 2-2 D y x O 1 2-1()fx 在处的导数记作或即如果函数在开区间内的每点处都有导数此时对于每一个应着一个确定的导数从而构成了一个新的函数称这个函数在开区间内的导函数简称导数也可记作

10、即都对为函数导数与导函数都称为导数这要加以区分求一个二常见基本初等函数的导数公式和运算法则为常数法则法则法则理复合函数的求导若则如公式的特例题型二利用导数几何意义及求切线方程导数的几何意义函数在处的导数是曲线上点处的切线的斜率因此如果存在则曲线在点处的切的切线平行于直线则点的坐标为若曲线的一条切线与直线垂直则的方程为求下列直线的方程注意解的个数曲线在处的切线曲线过点的切线解所以切线方程为显然点不在曲线上所以可设切点为则又函数的导数为所以过点的切线的斜率（1）当 a=1 时，求函数 f(x)的单调区间和极值 （2）当1,2x 时，不等式()2f x 恒成立，求 a 的取值范围.5已知函数的切线方

11、程为 y=3x+1 （）若函数处有极值，求的表达式；（）在（）的条件下，求函数在 3，1 上的最大值；（）若函数在区间 2，1 上单调递增，求实数 b 的取值范围 解：（1）由 过的切线方程为：而过 故 由得 a=2，b=4，c=5 （2）当 又在 3，1 上最大值是 13。（3）y=f(x)在 2，1 上单调递增，又由知 2a+b=0。依题意在 2，1 上恒有0，即 当；当；当 综上所述，参数 b 的取值范围是 在处的导数记作或即如果函数在开区间内的每点处都有导数此时对于每一个应着一个确定的导数从而构成了一个新的函数称这个函数在开区间内的导函数简称导数也可记作即都对为函数导数与导函数都称为导

12、数这要加以区分求一个二常见基本初等函数的导数公式和运算法则为常数法则法则法则理复合函数的求导若则如公式的特例题型二利用导数几何意义及求切线方程导数的几何意义函数在处的导数是曲线上点处的切线的斜率因此如果存在则曲线在点处的切的切线平行于直线则点的坐标为若曲线的一条切线与直线垂直则的方程为求下列直线的方程注意解的个数曲线在处的切线曲线过点的切线解所以切线方程为显然点不在曲线上所以可设切点为则又函数的导数为所以过点的切线的斜率6已知三次函数在和时取极值，且(1)求函数的表达式；(2)求函数的单调区间和极值；(3)若函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件 解：(1)，由题意得，是的两个根，解得，再由

13、可得 (2)，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，函数在区间上是增函数；在区间上是减函数；在区间上是增函数 函数的极大值是，极小值是 (3)函数的图象是由的图象向右平移个单位，向上平移 4 个单位得到的，所以，函数在区间上的值域为（）而，即 于是，函数在区间上的值域为 令得或由的单调性知，即 综上所述，、应满足的条件是：，且 7已知函数()lnf xxax，1(),(R).ag xax （）设函数()()()h xf xg x，求函数()h x的单调区间；()若在1,e上存在一点0 x，使得0()f x0()g x成立，求a的取值范围 8设函数（1）若的图象与直线相切，切点横坐标为，且在处取

14、极值，求实数 的值；（2）当 b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数总有两个不同的极值点 解：（1）由题意，代入上式，解之得：a=1，b=1 （2）当 b=1 时，因故方程有两个不同实根 不妨设，由可判断的符号如下：当；当；当 因此是极大值点，是极小值点，当 b=1 时，不论 a 取何实数，函数总有两个不同的极值点。题型五：利用导数研究函数的图象 1如右图：是 f（x）的导函数，的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（D ）在处的导数记作或即如果函数在开区间内的每点处都有导数此时对于每一个应着一个确定的导数从而构成了一个新的函数称这个函数在开区间内的导函数简称导数也可记作即都对为函

15、数导数与导函数都称为导数这要加以区分求一个二常见基本初等函数的导数公式和运算法则为常数法则法则法则理复合函数的求导若则如公式的特例题型二利用导数几何意义及求切线方程导数的几何意义函数在处的导数是曲线上点处的切线的斜率因此如果存在则曲线在点处的切的切线平行于直线则点的坐标为若曲线的一条切线与直线垂直则的方程为求下列直线的方程注意解的个数曲线在处的切线曲线过点的切线解所以切线方程为显然点不在曲线上所以可设切点为则又函数的导数为所以过点的切线的斜率（A）（B）（C）（D）2函数(A )3方程 (B )A、0 B、1 C、2 D、3 题型六：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 1设函数 （1）

16、求函数的单调区间、极值.（2）若当时，恒有，试确定 a 的取值范围.解：（1）=，令得 列表如下：x（-，a）a（a，3a）3a（3a，+）-0+0-极小 极大 在（a，3a）上单调递增，在（-，a）和（3a，+）上单调递减 时，时，（2），对称轴，在a+1，a+2 上单调递减 ，依题，即 解得，又 a 的取值范围是 2已知函数 f（x）x3ax2 bxc 在 x与 x1 时都取得极值（1）求 a、b 的值与函数 f（x）的单调区间（2）若对 x1，2，不等式 f（x）c2 恒成立，求 c 的取值范围。解：（1）f（x）x3ax2bxc，f（x）3x22axb 由 f（），f（1）32ab0

17、得 a，b2 f（x）3x2x2（3x2）（x1），函数 f（x）的单调区间如下表：x（，）（，1）1（1，）f（x）0 0 f（x）极大值 极小值 所以函数 f（x）的递增区间是（，）与（1，），递减区间是（，1）x y o 4-4 2 4-4 2-2-2 x y o 4-4 2 4-4 2-2-2 x y y 4-4 2 4-4 2-2-2 6 6 6 6 y x-4-2 o 4 2 2 4 在处的导数记作或即如果函数在开区间内的每点处都有导数此时对于每一个应着一个确定的导数从而构成了一个新的函数称这个函数在开区间内的导函数简称导数也可记作即都对为函数导数与导函数都称为导数这要加以区分求一

18、个二常见基本初等函数的导数公式和运算法则为常数法则法则法则理复合函数的求导若则如公式的特例题型二利用导数几何意义及求切线方程导数的几何意义函数在处的导数是曲线上点处的切线的斜率因此如果存在则曲线在点处的切的切线平行于直线则点的坐标为若曲线的一条切线与直线垂直则的方程为求下列直线的方程注意解的个数曲线在处的切线曲线过点的切线解所以切线方程为显然点不在曲线上所以可设切点为则又函数的导数为所以过点的切线的斜率（2）f（x）x3x22xc，x1，2，当 x时，f（x）c 为极大值，而 f（2）2c，则 f（2）2c 为最大值。要使 f（x）c2（x1，2）恒成立，只需 c2f（2）2c，解得 c1 或

19、 c2 题型七：利用导数研究方程的根 1已知平面向量=(,1).=(,).（1）若存在不同时为零的实数 k 和 t，使=+(t2 3)，=-k+t，试求函数关系式 k=f(t)；(2)据(1)的结论，讨论关于 t 的方程 f(t)k=0 的解的情况.解：(1)，=0 即+(t2-3)(-k+t)=0.整理后得-k+t-k(t2-3)+(t2-3)=0 =0，=4，=1，上式化为-4k+t(t2-3)=0，即 k=t(t2-3)(2)讨论方程 t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线 f(t)=t(t2-3)与直线 y=k 的交点个数.于是 f(t)=(t2-1)=(t+1)(t-1).令

20、 f(t)=0,解得 t1=-1,t2=1.当 t 变化时，f(t)、f(t)的变化情况如下表：t (-,-1)-1(-1,1)1(1,+)f(t)+0-0+F(t)极大值 极小值 当 t=1 时，f(t)有极大值，f(t)极大值=.当 t=1 时，f(t)有极小值，f(t)极小值=函数 f(t)=t(t2-3)的图象如图 1321 所示，可观察出：(1)当 k或 k时,方程 f(t)k=0 有且只有一解；(2)当 k=或 k=时,方程 f(t)k=0有两解；(3)当k时,方程 f(t)k=0 有三解.2已知函数)(,42)1(3)(223xfkxkkxxf若的单调减区间为（0，4）（I）求k

21、的值；（II）若对任意的)(52,1,12tfaxxxt的方程关于总有实数解，求实数a的取值范围。解：（I）xkkxxf)1(63)(2 又1,0)4(kf4 分 （II）tttf123)(20)(10;0)(01tfttft时时 且,3)1(,5)1(ff5)(tf8258522aaxx 81558258aa解得12 分 题型八：导数与不等式的综合 1设在上是单调函数.（1）求实数的取值范围；（2）设1，1，且，求证：.解：（1）若在上是单调递减函数，则须这样的实数 a 不存在.故在上不可能是单调递减函数.在处的导数记作或即如果函数在开区间内的每点处都有导数此时对于每一个应着一个确定的导数从

22、而构成了一个新的函数称这个函数在开区间内的导函数简称导数也可记作即都对为函数导数与导函数都称为导数这要加以区分求一个二常见基本初等函数的导数公式和运算法则为常数法则法则法则理复合函数的求导若则如公式的特例题型二利用导数几何意义及求切线方程导数的几何意义函数在处的导数是曲线上点处的切线的斜率因此如果存在则曲线在点处的切的切线平行于直线则点的坐标为若曲线的一条切线与直线垂直则的方程为求下列直线的方程注意解的个数曲线在处的切线曲线过点的切线解所以切线方程为显然点不在曲线上所以可设切点为则又函数的导数为所以过点的切线的斜率若在上是单调递增函数，则，由于.从而 0a3.（2）方法 1、可知在上只能为单调

23、增函数.若 1，则 若 1矛盾，故只有成立.方法 2：设，两式相减得 1,u 1，2已知为实数，函数（1）若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围（2）若，（）求函数的单调区间（）证明对任意的，不等式恒成立 解：，函数的图象有与轴平行的切线，有实数解 ，所以的取值范围是，由或；由 的单调递增区间是；单调减区间为 易知的最大值为，的极小值为，又 在上的最大值，最小值 对任意，恒有 3已知函数xaxxf ln)(1)当0a时，判断)(xf在定义域上的单调性;(2)若)(xf在,1 e上的最小值是23，求a的值;(3)设axxg ln)(，若2)(xxg在,0(e上恒成立，求a的取值范围.题型九

24、：导数在实际中的应用 1请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点 O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设 OO1为，则 由题设可得正六棱锥底面边长为：，（单位：）故底面正六边形的面积为：=，（单位：）帐篷的体积为：（单位：）求导得。令，解得（不合题意，舍去），当时，为增函数；当时，为减函数。当时，最大。答：当 OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。2统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）在处的导数记作或即如果函数在开区间内的每点处都有导数此时对于每一个应着

25、一个确定的导数从而构成了一个新的函数称这个函数在开区间内的导函数简称导数也可记作即都对为函数导数与导函数都称为导数这要加以区分求一个二常见基本初等函数的导数公式和运算法则为常数法则法则法则理复合函数的求导若则如公式的特例题型二利用导数几何意义及求切线方程导数的几何意义函数在处的导数是曲线上点处的切线的斜率因此如果存在则曲线在点处的切的切线平行于直线则点的坐标为若曲线的一条切线与直线垂直则的方程为求下列直线的方程注意解的个数曲线在处的切线曲线过点的切线解所以切线方程为显然点不在曲线上所以可设切点为则又函数的导数为所以过点的切线的斜率的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距 100 千米。（I）

26、当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗没（升）。（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得 令得 当时，是减函数；当时，是增函数。当时，取到极小值 因为在上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油 17.5 升。当汽车以 80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升。题型十：导数与向量的结合 1设平面向量若存在不同时为零

27、的两个实数 s、t 及实数 k，使（1）求函数关系式；（2）若函数在上是单调函数，求 k 的取值范围。解：（1）（2）则在上有 由；由。因为在 t 上是增函数，所以不存在 k，使在上恒成立。故 k 的取值范围是。在处的导数记作或即如果函数在开区间内的每点处都有导数此时对于每一个应着一个确定的导数从而构成了一个新的函数称这个函数在开区间内的导函数简称导数也可记作即都对为函数导数与导函数都称为导数这要加以区分求一个二常见基本初等函数的导数公式和运算法则为常数法则法则法则理复合函数的求导若则如公式的特例题型二利用导数几何意义及求切线方程导数的几何意义函数在处的导数是曲线上点处的切线的斜率因此如果存在则曲线在点处的切的切线平行于直线则点的坐标为若曲线的一条切线与直线垂直则的方程为求下列直线的方程注意解的个数曲线在处的切线曲线过点的切线解所以切线方程为显然点不在曲线上所以可设切点为则又函数的导数为所以过点的切线的斜率