高考数学复习不等式的证明中学教育高考_中学教育-高考.pdf

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1、VIP 免费 欢迎下载 6.2 不等式的证明（一）知识梳理 1.均值定理：a+b2ab；ab（2ba）2（a、bR+），当且仅当 a=b 时取等号.2.比较法：ab0ab，ab0ab.3.作商法：a0，b0，ba1ab.特别提示 1.比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解后，把差写成积的形式或配成完全平方式.2.比商法要注意使用条件，若ba1 不能推出 ab.这里要注意 a、b 两数的符号.点击双基 1.若 a、b 是正数，则2ba、ab、baab2、222ba这四个数的大小顺序是 A.ab2ba baab2222ba B.222baa

2、b2ba baab2 C.baab2ab2ba 222ba D.ab2ba 222babaab2 解析：可设 a=1，b=2，则2ba=23，ab=2，baab2=34，222ba=241=25=5.2.答案：C VIP 免费 欢迎下载 2.设 0 x1，则 a=2x，b=1+x，c=x11中最大的一个是 A.a B.b C.c D.不能确定 解析：0 x1，1+x2x=x4x2.只需比较 1+x 与x11的大小.1+xx11=xx1112=xx120，1+xx11.答案：C 3.若 a、b、c 是常数，则“a0 且 b24ac0”是“对任意 xR，有 ax2+bx+c0”的 A.充分不必要条

3、件 B.必要不充分条件 C.充要条件 必要条件 解析：当 a0，b24ac0 时，ax2+bx+c0.反之，ax2+bx+c0 对 xR 成立不能推出 a0，b24ac0.反例：a=b=0，c=2.故选 A.答案：A 4.（理）已知|a+b|c（a、b、cR），给出下列不等式：abc；ab+c；abc；|a|b|c；|a|b|c.其中一定成立的不等式是_.（把成立的不等式的序号都填上）解析：|a+b|c，ca+bc.b+cabc.故成立，不成立.|a+b|c，|a+b|a|b|，|a|b|c.|a|b|c.故成立，不成立.答案：（文）若 a、bR，有下列不等式：a2+32a；a2+b22（ab

4、1）；a5+b5a3b2+a2b3；a+a12.其中一定成立的是_.解析：a2+32a=（a1）2+20，a2+32a；a2+b22a+2b+2=（a1）2+（b+1）20，a2+b22（ab1）；a5+b5a3b2a2b3=a3（a2b2）+b3（b2a2）=（a2b2）（a3b3）=（a+b）（ab）2（a2+ab+b2）.（ab）20，a2+ab+b20，但 a+b 符号不确定，a5+b5a3b2+a2b3不正确；aR 时，a+a12 不正确.答案：等式证明的最基本的方法作差后需要判断差的符号作差变形的方向常常是因式分解后把差写成积的形式或配成完全平方式不能推出这里要注意两数的符号比商法

5、要注意使用条件若点击双基若是正数则这四个数的大小顺序是解析可设必要条件必要不充分条件充要条件必要条件解析当时反之对成立不能推出反例故选答案理已知给出下列不等式其中一定成立的不等式是把成立的不等式的序号都填上解析故成立不成立故成立不成立答案文若有下列不等式解析但符号和在静水中的速度的大小关系为解析设甲地至乙地的距离为船在静水中的速度为水流速度为则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间平均速度答案典例剖析例设求证剖析不等式两端都是多项式的形式故可用比差法证明或比商法证VIP 免费 欢迎下载 5.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度 v1和在静水中的速度 v2的大小关系为_.解析：设甲地至乙

6、地的距离为 s，船在静水中的速度为 v2，水流速度为 v（v2v0），则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间 t=vvs2+vvs2=22222vvsv，平均速度 v1=ts2=2222vvv.v1v2=2222vvvv2=22vv0，v1v2.答案：v1v2 典例剖析【例 1】设 a0，b0，求证：（ba2）21（ab）21a21+b21.剖析：不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明.证法一：左边右边abba33）（）（ab）abbaabbababa）（）（abbababa）（2abbaba2）（0.原不等式成立.证法二：左边0，右边0，右边左边）（）（baabbababa

7、abbabaababab 21.原不等式成立.评述：用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤.变形的主要手段是通分、因式分解或配方.在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二.下面的例 3 则是公式法与配方法的综合应用.【例 2】已知 a、b、x、yR+且a1b1，xy.求证：axxbyy.剖析：观察待证不等式的特征，用比较法或分析法较适合.证法一：（作差比较法）等式证明的最基本的方法作差后需要判断差的符号作差变形的方向常常是因式分解后把差写成积的形式或配成完全平方式不能推出这里要注意两数的符号比商法要注意使用条件若点击双基若是正数则这四个数的大小顺序是解析可设必要条件

8、必要不充分条件充要条件必要条件解析当时反之对成立不能推出反例故选答案理已知给出下列不等式其中一定成立的不等式是把成立的不等式的序号都填上解析故成立不成立故成立不成立答案文若有下列不等式解析但符号和在静水中的速度的大小关系为解析设甲地至乙地的距离为船在静水中的速度为水流速度为则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间平均速度答案典例剖析例设求证剖析不等式两端都是多项式的形式故可用比差法证明或比商法证VIP 免费 欢迎下载 axxbyy=）（byaxaybx，又a1b1且 a、bR+，ba0.又 xy0，bxay.）（byaxaybx0，即axxbyy.证法二：（分析法）x、y、a、bR+，要证axx

9、byy，只需证明 x（y+b）y（x+a），即证 xbya.而由a1b10，ba0.又 xy0，知 xbya 显然成立.故原不等式成立.思考讨论 该例若用函数的单调性应如何构造函数?解法一：令 f（x）=axx，易证 f（x）在（0，+）上为增函数，从而axxbyy.再令 g（x）=xmm，易证 g（x）在（0，+）上单调递减.a1b1，a、bR+.ab.g（a）g（b），即ammbmm，命题得证.解法二：原不等式即为1axax1byby，为此构造函数 f（x）=1xx，x（0，+）.易证 f（x）在（0，+）上为单调增函数，而axby，1axax1byby，即axxbyy.【例 3】某食品厂

10、定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉 6 t，每吨面粉的价格为 1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天 3 元，购面粉每次需支付运费 900 元.（1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少?（2）若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于 210 t 时，其价格可享受 9 折优惠（即原价的 90%），问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由.解：（1）设该厂应每隔 x 天购买一次面粉，其购买量为 6x t，由题意知，面粉的保管等其他费用为 36x+6（x1）+62+61=9x（x+1）.等式证明的最基本的方法作差后需要判断差的符号作差变形的方向常常是因式分解后把差写

11、成积的形式或配成完全平方式不能推出这里要注意两数的符号比商法要注意使用条件若点击双基若是正数则这四个数的大小顺序是解析可设必要条件必要不充分条件充要条件必要条件解析当时反之对成立不能推出反例故选答案理已知给出下列不等式其中一定成立的不等式是把成立的不等式的序号都填上解析故成立不成立故成立不成立答案文若有下列不等式解析但符号和在静水中的速度的大小关系为解析设甲地至乙地的距离为船在静水中的速度为水流速度为则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间平均速度答案典例剖析例设求证剖析不等式两端都是多项式的形式故可用比差法证明或比商法证VIP 免费 欢迎下载 设平均每天所支付的总费用为 y1元，则 y1=x1

12、9x（x+1）+900+61800=x900+9x+108092xx9900+10809=10989.当且仅当 9x=x900，即 x=10 时取等号，即该厂应每隔 10 天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.（2）若厂家利用此优惠条件，则至少每隔 35 天，购买一次面粉，平均每天支付的总费用为 y2元，则 y2=x19x（x+1）+900+618000.90=x900+9x+9729（x35）.令 f（x）=x+x100（x35），x2x135，则 f（x1）f（x2）=（x1+1100 x）（x2+2100 x）=212112100 xxxxxx）（x2x135，x2x10，x

13、1x20，100 x1x20.f（x1）f（x2）0，f（x1）f（x2），即 f（x）=x+x100，当 x35 时为增函数.当 x=35 时，f（x）有最小值，此时 y210989.该厂应该接受此优惠条件.闯关训练 夯实基础 1.设 x0，y0，且 xy（x+y）=1，则 A.x+y22+2 B.x+y22+2 C.x+y（2+1）2 D.x+y（2+1）2 解析：x0，y0，xy（2yx）2.由 xy（x+y）=1 得（2yx）2（x+y）1.x+y2+22.答案：B 2.已知 x、yR，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，则 M 与 N 的大小关系是 A.MN B.MN C.M=N

14、D.不能确定 等式证明的最基本的方法作差后需要判断差的符号作差变形的方向常常是因式分解后把差写成积的形式或配成完全平方式不能推出这里要注意两数的符号比商法要注意使用条件若点击双基若是正数则这四个数的大小顺序是解析可设必要条件必要不充分条件充要条件必要条件解析当时反之对成立不能推出反例故选答案理已知给出下列不等式其中一定成立的不等式是把成立的不等式的序号都填上解析故成立不成立故成立不成立答案文若有下列不等式解析但符号和在静水中的速度的大小关系为解析设甲地至乙地的距离为船在静水中的速度为水流速度为则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间平均速度答案典例剖析例设求证剖析不等式两端都是多项式的形式故可用

15、比差法证明或比商法证VIP 免费 欢迎下载 解析：MN=x2+y2+1（x+y+xy）=21（x2+y22xy）+（x22x+1）+（y22y+1）=21（xy）2+（x1）2+（y1）20.答案：A 3.设 a0，b0，a2+22b=1，则 a21b的最大值是_.解析：a2+22b=1a2+212b=23.a21b=2a212b222122ba=2223=423.答案：423 4.若记号“”表示求两个实数 a 和 b 的算术平均数的运算，即 ab=2ba，则两边均含有运算符号“”和“+”，且对于任意 3 个实数 a、b、c 都能成立的一个等式可以是_.解析：ab=2ba，ba=2ab，ab+

16、c=ba+c.答案：ab+c=ba+c.思考：对于运算“”分配律成立吗?即 a（b+c）=ab+ac.答案：不成立 5.当 mn 时，求证：m3m2n3mn22m2n6mn2n3 证明：（m3m2n3mn2）（2m2n6mn2n3）m33m2n3mn2n3（mn）3，又 mn，mn0.（mn）30，即（m3m2n3mn2）（2m2n6mn2n3）0.故 m3m2n3mn22m2n6mn2n3 6.已知 a1，0，求证：loga（a+）loga+（a+2）.证明：loga（a+）log（a+）（a+2）=aalglg）（）（）（aalg2lg=）（）（）（aaaaalglg2lglglg2 a1

17、，0，lga0，lg（a+2）0，且 lgalg（a+2）.lgalg（a+2）（22lglg）（aa）2=22lg2）（aa22lg2）（a2=lg2（a+）.等式证明的最基本的方法作差后需要判断差的符号作差变形的方向常常是因式分解后把差写成积的形式或配成完全平方式不能推出这里要注意两数的符号比商法要注意使用条件若点击双基若是正数则这四个数的大小顺序是解析可设必要条件必要不充分条件充要条件必要条件解析当时反之对成立不能推出反例故选答案理已知给出下列不等式其中一定成立的不等式是把成立的不等式的序号都填上解析故成立不成立故成立不成立答案文若有下列不等式解析但符号和在静水中的速度的大小关系为解析设

18、甲地至乙地的距离为船在静水中的速度为水流速度为则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间平均速度答案典例剖析例设求证剖析不等式两端都是多项式的形式故可用比差法证明或比商法证VIP 免费 欢迎下载）（）（）（aaaaalglg2lglglg20.loga（a+）log（a+）（a+2）.培养能力 7.已知 x0，y0，若不等式x+ymyx 恒成立，求实数 m 的最小值.分析：x+ymyx 恒成立，myxyx恒成立.m 的最小值就是yxyx的最大值.解：x+ymyx 恒成立，myxyx恒成立.x0，y0，yx 22）（yx=2yx.yxyx2yxyx=2.m 的最小值为2.评述：分离参数法是求参数的范

19、围问题常用的方法，化归是解这类问题常用的手段.8.有点难度哟！求证：在非 RtABC 中，若 ab，ha、hb分别表示 a、b 边上的高，则必有 a+hab+hb.证明：设 S 表示ABC 的面积，则 S=21aha=21bhb=21absinC.ha=bsinC，hb=asinC.（a+ha）（b+hb）=a+bsinCbasinC=（ab）（1sinC）.C2，1sinC0.（ab）（1sinC）0.a+hab+hb.等式证明的最基本的方法作差后需要判断差的符号作差变形的方向常常是因式分解后把差写成积的形式或配成完全平方式不能推出这里要注意两数的符号比商法要注意使用条件若点击双基若是正数则

20、这四个数的大小顺序是解析可设必要条件必要不充分条件充要条件必要条件解析当时反之对成立不能推出反例故选答案理已知给出下列不等式其中一定成立的不等式是把成立的不等式的序号都填上解析故成立不成立故成立不成立答案文若有下列不等式解析但符号和在静水中的速度的大小关系为解析设甲地至乙地的距离为船在静水中的速度为水流速度为则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间平均速度答案典例剖析例设求证剖析不等式两端都是多项式的形式故可用比差法证明或比商法证VIP 免费 欢迎下载 探究创新 9.设二次函数 f（x）=ax2+bx+c（a0），方程 f（x）x=0 的两根 x1、x2满足 1x1x2a1.（1）当 x（0，x

21、1）时，证明 xf（x）x1；（2）设函数 f（x）的图象关于直线 x=x0对称，求证 x021x.证明：（1）令 F（x）=f（x）x，x1、x2是方程 f（x）x=0 的根，F（x）=a（xx1）（xx2）.当 x（0，x1）时，由于 x1x2，（xx1）（xx2）0.又 a0，得 F（x）=a（xx1）（xx2）0，即 xf（x）.又 x1f（x）=x1x+F（x）=x1x+a（x1x）（xx2）=（x1x）1+a（xx2），0 xx1x2a1，x1x0，1+a（xx2）=1+axax21ax20，x1f（x）0，即 f（x）x1.综上，可知 xf（x）x1.（2）由题意知 x0=ab2

22、.x1、x2是方程 f（x）x=0 的根，即 x1、x2是方程 ax2+（b1）x+c=0 的根，x1+x2=ab1.x0=ab2=axxa2121）（=aaxax2121.又ax21，x0aax21=21x.思悟小结 1.比较法有两种形式：一是作差，二是作商.用作差法证明不等式是证明不等式中最基本、最常用的方法.它的依据是不等式的基本性质.2.步骤是：作差（商）变形判断.变形的目的是为了判断.若是作差，就判断与 0 的大小关系，为了便于判断，往往把形式变为积或完全平方式.若是作商，两边为正，就判断与 1 的大小关系.3.有时要先对不等式作等价变形再进行证明，有时几种证明方法综合使用.4.在应

23、用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”.若忽略了某个条件，就会出现错误.教师下载中心 教学点睛 1.在证明不等式的各种方法中，作差比较法是一种最基本、最重要的方法，它是利用不等式两边的差是正数还是负数来证明不等式，其应用非常广泛，一定要熟练掌握.等式证明的最基本的方法作差后需要判断差的符号作差变形的方向常常是因式分解后把差写成积的形式或配成完全平方式不能推出这里要注意两数的符号比商法要注意使用条件若点击双基若是正数则这四个数的大小顺序是解析可设必要条件必要不充分条件充要条件必要条件解析当时反之对成立不能推出反例故选答案理已知给

24、出下列不等式其中一定成立的不等式是把成立的不等式的序号都填上解析故成立不成立故成立不成立答案文若有下列不等式解析但符号和在静水中的速度的大小关系为解析设甲地至乙地的距离为船在静水中的速度为水流速度为则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间平均速度答案典例剖析例设求证剖析不等式两端都是多项式的形式故可用比差法证明或比商法证VIP 免费 欢迎下载 2.对于公式 a+b2ab，ab（2ba）2要讲清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了 ab 和 a+b 的转化关系.拓展题例【例 1】设 a、bR，关于 x 的方程 x2axb0 的实根为、.若ab1，求证：1，1.证法一：a，b，ab1.1

25、，（1）（1）0.1.同理，1.证法二：设 f（x）=x2axb，则有 f（1）1ab1（ab）110，f（1）1ab1（ab）0.0a1，1a1.212a21.方程 f（x）0 的两实根在（1，1）内，即1，1.评述：证法一先利用韦达定理，再用绝对值不等式的性质恰好能分解因式；证法二考虑根的分布，证两根在（1，1）内.【例 2】是否存在常数 C，使得不等式yxx2+yxy2Cyxx2+yxy2对任意正数 x、y 恒成立?试证明你的结论.解：当 x=y 时，可由不等式得出 C=32.下面分两个方面证明.先证yxx2+yxy232，此不等式3x（x+2y）+3y（2x+y）2（2x+y）（x+2

26、y）x2+y22xy.再证yxx2+yxy232，此不等式3x（2x+y）+3y（x+2y）2（x+2y）（2x+y）2xyx2+y2.综上，可知存在常数 C=32，使对任何正数 x、y 不等式恒成立.等式证明的最基本的方法作差后需要判断差的符号作差变形的方向常常是因式分解后把差写成积的形式或配成完全平方式不能推出这里要注意两数的符号比商法要注意使用条件若点击双基若是正数则这四个数的大小顺序是解析可设必要条件必要不充分条件充要条件必要条件解析当时反之对成立不能推出反例故选答案理已知给出下列不等式其中一定成立的不等式是把成立的不等式的序号都填上解析故成立不成立故成立不成立答案文若有下列不等式解析但符号和在静水中的速度的大小关系为解析设甲地至乙地的距离为船在静水中的速度为水流速度为则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间平均速度答案典例剖析例设求证剖析不等式两端都是多项式的形式故可用比差法证明或比商法证