高考数学公式全解高考必备中学教育高考_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 高考数学必备 1.元素与集合的关系 UxAxC A,UxC AxA.2.德摩根公式 ();()UUUUUUCABC AC B CABC AC B.3.包含关系 ABAABB UUABC BC A UAC B UC ABR 4.容斥原理()()card ABcardAcardBcard AB()()card ABCcardAcardBcardCcard AB()()()()card ABcard BCcard CAcard ABC.5 集合12,na aa的子集个数共有2n 个；真子集有2n1 个；非空子集有2n 1个；非空的真子集有2n2 个.6.二次函数的解析式的三种形式

2、(1)一般式2()(0)f xaxbxc a;(2)顶点式2()()(0)f xa xhk a;(3)零点式12()()()(0)f xa xxxxa.7.解连不等式()Nf xM常有以下转化形式()Nf xM()()0f xMf xN|()|22MNMNf x()0()f xNMf x 11()f xNMN.8.方程0)(xf在),(21kk上有且只有一个实根,与0)()(21kfkf不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程)0(02acbxax有且只有一个实根在),(21kk内,等价于0)()(21kfkf,或0)(1kf且22211kkabk,或0)(2kf且22122k

3、abkk.9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数)0()(2acbxaxxf在闭区间 qp,上的最值只能在abx2处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当 a0 时，若 qpabx,2，则m i nm a xm a x()(),()(),()2bf xff xf p fqa；qpabx,2，maxmax()(),()f xf pf q，minmin()(),()f xf pf q.(2)当a0)（1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a；（2）0)()(axfxf，或)0)()(1)(xfxfaxf，或1()()f x af x ()0)f x,或21()()(),()0,1)2f

4、xfxf xaf x,则)(xf的周期 T=2a；(3)0)()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期 T=3a；(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且1212()1()()1,0|2)f af xf xxxa，则)(xf的周期 T=4a；(5)()()(2)(3)(4)f xf x af xa f xaf xa ()()(2)(3)(4)f x f x a f xa f xa f xa,则)(xf的周期 T=5a；(6)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期 T=6a.个非空子集有个非空的真子集有个二次函数的解析式的三种形式一般式顶点式零点式解连不等式常有以

5、下转化形式方程在上有且只有一个实根与不等价前者是后者的一个必要而不是充分条件特别地方程有且只有一个实根在内等价于则当时若则若学习必备欢迎下载则一元二次方程的实根分布依据若设则方程则在区间内至少有一个实根方程在区间内有根的充要条件为或或内有根的充要条件为方程在区间或或在区间方程内有根的充要条件为的子区间形如不同上含区间的子区间上含参数的二次不等式为参数恒成立的充要条件是或恒成立的充要条件是或真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假常见结论的否定形式原结论反设词是不是都是不都是大于不大于小于不小于对所有学习必备 欢迎下载 30.分数指数幂 (1)1mnnmaa（0,am nN，且1n）

6、.(2)1mnmnaa（0,am nN，且1n）.31根式的性质（1）()nnaa.（2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a.32有理指数幂的运算性质(1)(0,)rsrsaaaar sQ.(2)()(0,)rsrsaaar sQ.(3)()(0,0,)rrraba babrQ.注：若 a0，p 是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式 logbaNbaN(0,1,0)aaN.34.对数的换底公式 logloglogmamNNa(0a,且1a,0m,且1m,0N).推论 loglog

7、mnaanbbm(0a,且1a,0m n,且1m,1n,0N).35对数的四则运算法则 若 a0，a1，M 0，N0，则(1)log()loglogaaaMNMN;(2)logloglogaaaMMNN;(3)loglog()naaMnM nR.36.设函数)0)(log)(2acbxaxxfm,记acb42.若)(xf的定义域为R,则0a，且0;若)(xf的值域为R,则0a，且0.对于0a的情形,需要单独检验.37.对数换底不等式及其推广 若0a,0b,0 x,1xa,则函数log()axybx (1)当ab时,在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为增函数.，(2)当ab时,在1

8、(0,)a和1(,)a上log()axybx为减函数.推论:设1nm，0p，0a，且1a，则（1）log()logmpmnpn.个非空子集有个非空的真子集有个二次函数的解析式的三种形式一般式顶点式零点式解连不等式常有以下转化形式方程在上有且只有一个实根与不等价前者是后者的一个必要而不是充分条件特别地方程有且只有一个实根在内等价于则当时若则若学习必备欢迎下载则一元二次方程的实根分布依据若设则方程则在区间内至少有一个实根方程在区间内有根的充要条件为或或内有根的充要条件为方程在区间或或在区间方程内有根的充要条件为的子区间形如不同上含区间的子区间上含参数的二次不等式为参数恒成立的充要条件是或恒成立的充

9、要条件是或真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假常见结论的否定形式原结论反设词是不是都是不都是大于不大于小于不小于对所有学习必备 欢迎下载（2）2logloglog2aaamnmn.38.平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有(1)xyNp.39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系 11,1,2nnnsnassn(数列na的前 n 项的和为12nnsaaa ).40.等差数列的通项公式*11(1)()naanddnad nN ；其前 n 项和公式为 1()2nnn aas1(1)2n nnad 211()22dnad n.41.

10、等比数列的通项公式 1*11()nnnaaa qqnNq；其前 n 项的和公式为 11(1),11,1nnaqqsqna q 或11,11,1nnaa qqqsna q.42.等比差数列na:11,(0)nnaqad ab q的通项公式为 1(1),1(),11nnnbnd qabqdb qdqq；其前 n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111nnnbn ndqsdqdbn qqqq.43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnabbxb元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).44常见三角不等式（1）若(0,)2x，则sintanxxx.个非空子集有个非空的真子集有个二次函数的

11、解析式的三种形式一般式顶点式零点式解连不等式常有以下转化形式方程在上有且只有一个实根与不等价前者是后者的一个必要而不是充分条件特别地方程有且只有一个实根在内等价于则当时若则若学习必备欢迎下载则一元二次方程的实根分布依据若设则方程则在区间内至少有一个实根方程在区间内有根的充要条件为或或内有根的充要条件为方程在区间或或在区间方程内有根的充要条件为的子区间形如不同上含区间的子区间上含参数的二次不等式为参数恒成立的充要条件是或恒成立的充要条件是或真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假常见结论的否定形式原结论反设词是不是都是不都是大于不大于小于不小于对所有学习必备 欢迎下载(2)若(0,)

12、2x，则1sincos2xx.(3)|sin|cos|1xx.45.同角三角函数的基本关系式 22sincos1，tan=cossin，tan1cot.46.正弦、余弦的诱导公式 212(1)sin,sin()2(1)s,nnnco 212(1)s,s()2(1)s i n,nnconco 47.和角与差角公式 sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tantantan()1tantan.22sin()sin()sinsin (平方正弦公式);22cos()cos()cossin .sincosab=22sin()ab(辅助角所在象限由点(,)a b的象限决定,

13、tanba).48.二倍角公式 sin 2sincos.2222cos 2cossin2cos112sin .22tantan21tan.49.三倍角公式 3sin33sin4sin4sinsin()sin()33.3cos34cos3cos4coscos()cos()33.323tantantan3tantan()tan()1 3tan33.50.三角函数的周期公式 函数sin()yx，xR及函数cos()yx，xR(A,为常数，且 A0，0)的周期2T；函数tan()yx，,2xkkZ(A,为常数，且 A0，0)的周期T.(n 为偶数)(n 为奇数)(n 为偶数)(n 为奇数)个非空子集有

14、个非空的真子集有个二次函数的解析式的三种形式一般式顶点式零点式解连不等式常有以下转化形式方程在上有且只有一个实根与不等价前者是后者的一个必要而不是充分条件特别地方程有且只有一个实根在内等价于则当时若则若学习必备欢迎下载则一元二次方程的实根分布依据若设则方程则在区间内至少有一个实根方程在区间内有根的充要条件为或或内有根的充要条件为方程在区间或或在区间方程内有根的充要条件为的子区间形如不同上含区间的子区间上含参数的二次不等式为参数恒成立的充要条件是或恒成立的充要条件是或真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假常见结论的否定形式原结论反设词是不是都是不都是大于不大于小于不小于对所有学习必

15、备 欢迎下载 51.正弦定理 2sinsinsinabcRABC.52.余弦定理 2222cosabcbcA;2222cosbcacaB;2222coscababC.53.面积定理（1）111222abcSahbhch（abchhh、分别表示 a、b、c 边上的高）.（2）111sinsinsin222SabCbcAcaB.(3)221(|)()2OABSOAOBOA OB.54.三角形内角和定理 在ABC中，有()ABCCAB 222CAB 222()CAB.55.简单的三角方程的通解 sin(1)arcsin(,|1)kxaxka kZa.s2arccos(,|1)co xaxka kZa

16、.tanarctan(,)xaxka kZ aR.特别地,有 sinsin(1)()kkkZ.scos2()cokkZ.tantan()kkZ.56.最简单的三角不等式及其解集 sin(|1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkaka kZ .sin(|1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkaka kZ .cos(|1)(2arccos,2arccos),xaaxkaka kZ.cos(|1)(2arccos,22arccos),xaaxkaka kZ.tan()(arctan,),2xa aRxka kkZ.tan()(,arctan),2xa aRxkka kZ.57

17、.实数与向量的积的运算律 设、为实数，那么(1)结合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.58.向量的数量积的运算律：(1)ab=ba（交换律）;(2)（a）b=（ab）=ab=a（b）;(3)（a+b）c=a c+bc.59.平面向量基本定理 如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且个非空子集有个非空的真子集有个二次函数的解析式的三种形式一般式顶点式零点式解连不等式常有以下转化形式方程在上有且只有一个实根与不等价前者是后者的一个必要而不是充分条件特别地方程有且只有一个实根在内等价于则当时若则若学

18、习必备欢迎下载则一元二次方程的实根分布依据若设则方程则在区间内至少有一个实根方程在区间内有根的充要条件为或或内有根的充要条件为方程在区间或或在区间方程内有根的充要条件为的子区间形如不同上含区间的子区间上含参数的二次不等式为参数恒成立的充要条件是或恒成立的充要条件是或真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假常见结论的否定形式原结论反设词是不是都是不都是大于不大于小于不小于对所有学习必备 欢迎下载 只有一对实数1、2，使得 a=1e1+2e2 不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 60向量平行的坐标表示 设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，且 b0，则

19、 a b(b0)12210 x yx y.53.a与 b的数量积(或内积)ab=|a|b|cos 61.ab 的几何意义 数量积 ab 等于 a的长度|a|与 b 在 a的方向上的投影|b|cos的乘积 62.平面向量的坐标运算(1)设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，则 a+b=1212(,)xxyy.(2)设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，则 a-b=1212(,)xxyy.(3)设 A11(,)x y，B22(,)xy,则2121(,)ABOBOAxx yy.(4)设 a=(,),x yR，则a=(,)xy.(5)设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，则 a

20、b=1212()x xy y.63.两向量的夹角公式 121222221122cosx xy yxyxy(a=11(,)x y,b=22(,)xy).64.平面两点间的距离公式 ,A Bd=|ABAB AB 222121()()xxyy(A11(,)x y，B22(,)xy).65.向量的平行与垂直 设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，且 b0，则 A|bb=a 12210 x yx y.ab(a0)ab=012120 x xy y.66.线段的定比分公式 设111(,)P x y，222(,)P xy，(,)P x y是线段12PP的分点,是实数，且12PPPP，则 121211x

21、xxyyy121OPOPOP 12(1)OPtOPt OP（11t）.67.三角形的重心坐标公式 ABC三个顶点的坐标分别为11A(x,y)、22B(x,y)、33C(x,y),则ABC的重心的坐标是123123(,)33xxxyyyG.68.点的平移公式 xxhxxhyykyyk OPOPPP.注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形F上的对应点为(,)P x y，且PP的坐标为(,)h k.69.“按向量平移”的几个结论 个非空子集有个非空的真子集有个二次函数的解析式的三种形式一般式顶点式零点式解连不等式常有以下转化形式方程在上有且只有一个实根与不等价前者是后者的一个必要而不是

22、充分条件特别地方程有且只有一个实根在内等价于则当时若则若学习必备欢迎下载则一元二次方程的实根分布依据若设则方程则在区间内至少有一个实根方程在区间内有根的充要条件为或或内有根的充要条件为方程在区间或或在区间方程内有根的充要条件为的子区间形如不同上含区间的子区间上含参数的二次不等式为参数恒成立的充要条件是或恒成立的充要条件是或真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假常见结论的否定形式原结论反设词是不是都是不都是大于不大于小于不小于对所有学习必备 欢迎下载（1）点(,)P x y按向量 a=(,)h k平移后得到点(,)P xh yk.(2)函数()yf x的图象C按向量 a=(,)h

23、k平移后得到图象C,则C的函数解析式为()yf xhk.(3)图象C按向量 a=(,)h k平移后得到图象C,若C的解析式()yf x,则C的函数解析式为()yf xhk.(4)曲线C:(,)0f x y 按向量 a=(,)h k平移后得到图象C,则C的方程为(,)0f xh yk.(5)向量 m=(,)x y按向量 a=(,)h k平移后得到的向量仍然为 m=(,)x y.70.三角形五“心”向量形式的充要条件 设O为ABC所在平面上一点，角,A B C所对边长分别为,a b c，则（1）O为ABC的外心222OAOBOC.（2）O为ABC的重心0OAOBOC.（3）O为ABC的垂心OA O

24、BOB OCOC OA.（4）O为ABC的内心0aOAbOBcOC.（5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC.71.常用不等式：（1）,a bR222abab(当且仅当 ab 时取“=”号)（2）,a bR2abab(当且仅当 ab 时取“=”号)（3）3333(0,0,0).abcabc abc （4）柯西不等式 22222()()(),.abcdacbda b c dR（5）bababa.72.极值定理 已知yx,都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当yx 时和yx 有最小值p2；（2）若和yx 是定值s，则当yx 时积xy有最大值241s.推广 已知Ryx,，则有xyyxyx2)

25、()(22（1）若积xy是定值,则当|yx 最大时,|yx 最大；当|yx 最小时,|yx 最小.（2）若和|yx 是定值,则当|yx 最大时,|xy最小；当|yx 最小时,|xy最大.73.一元二次不等式20(0)axbxc 或2(0,40)abac，如果a与2axbxc同号，则其解集在两根之外；如果a与2axbxc异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()xxxxxxxxx；121212,()()0()xxxxxxxxxx或.74.含有绝对值的不等式 当 a 0 时，有 22xaxaaxa .个非空子集有个非空的真子集有个二次函数的解析式的三种

26、形式一般式顶点式零点式解连不等式常有以下转化形式方程在上有且只有一个实根与不等价前者是后者的一个必要而不是充分条件特别地方程有且只有一个实根在内等价于则当时若则若学习必备欢迎下载则一元二次方程的实根分布依据若设则方程则在区间内至少有一个实根方程在区间内有根的充要条件为或或内有根的充要条件为方程在区间或或在区间方程内有根的充要条件为的子区间形如不同上含区间的子区间上含参数的二次不等式为参数恒成立的充要条件是或恒成立的充要条件是或真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假常见结论的否定形式原结论反设词是不是都是不都是大于不大于小于不小于对所有学习必备 欢迎下载 22xaxaxa 或xa.

27、75.无理不等式（1）()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x.（2）2()0()0()()()0()0()()f xf xf xg xg xg xf xg x或.（3）2()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x.76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a 时,()()()()f xg xaaf xg x;()0log()log()()0()()aaf xf xg xg xf xg x.(2)当01a 时,()()()()f xg xaaf xg x;()0log()log()()0()()aaf xf xg xg xf xg x 77.斜率公式

28、 2121yykxx（111(,)P x y、222(,)P xy）.78.直线的五种方程 （1）点斜式 11()yyk xx(直线l过点111(,)P x y，且斜率为k)（2）斜截式 ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距).（3）两点式 112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)P x y、222(,)P xy(12xx).(4)截距式 1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)（5）一般式 0AxByC(其中 A、B 不同时为 0).79.两条直线的平行和垂直 (1)若111:lyk xb，222:lyk xb 121212|,llkk bb;12121llk

29、k .(2)若1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC,且 A1、A2、B1、B2都不为零,11112222|ABCllABC；个非空子集有个非空的真子集有个二次函数的解析式的三种形式一般式顶点式零点式解连不等式常有以下转化形式方程在上有且只有一个实根与不等价前者是后者的一个必要而不是充分条件特别地方程有且只有一个实根在内等价于则当时若则若学习必备欢迎下载则一元二次方程的实根分布依据若设则方程则在区间内至少有一个实根方程在区间内有根的充要条件为或或内有根的充要条件为方程在区间或或在区间方程内有根的充要条件为的子区间形如不同上含区间的子区间上含参数的二次不等式为参数恒成立的充要条

30、件是或恒成立的充要条件是或真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假常见结论的否定形式原结论反设词是不是都是不都是大于不大于小于不小于对所有学习必备 欢迎下载 1212120llAAB B；80.夹角公式 (1)212 1tan|1kkk k.(111:lyk xb，222:lyk xb,121k k)(2)12211212tan|ABA BAAB B.(1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC,12120AAB B).直线12ll时，直线 l1与 l2的夹角是2.81.1l到2l的角公式 (1)2121tan1kkk k.(111:lyk xb，222:lyk xb

31、,121k k)(2)12211212tanABA BAAB B.(1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC,12120AAB B).直线12ll时，直线 l1到 l2的角是2.82四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()yyk xx(除直线0 xx),其 中k是 待 定 的 系 数;经 过 定 点000(,)P xy的 直 线 系 方 程 为00()()0A xxB yy,其中,A B是待定的系数(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC的交点的直线系方程为111222()()0

32、AxB yCA xB yC(除2l)，其中是待定的系数(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线0AxByC 平行的直线系方程是0AxBy(0)，是参变量(4)垂直直线系方程：与直线0AxByC (A 0，B0)垂直的直线系方程是0BxAy,是参变量 83.点到直线的距离 0022|AxByCdAB(点00(,)P xy,直线l：0AxByC).84.0AxByC 或0所表示的平面区域 设直线:0l AxByC，则0AxByC 或0所表示的平面区域是：若0B，当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当B与AxByC异号时，表示直线l的下

33、方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC异号时，表示直线l的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.85.111222()()0AxB yCA xB yC或0所表示的平面区域 设曲线111222:()()0CAxB yCA xB yC（12120AA B B），则 111222()()0AxB yCA xB yC或0所表示的平面区域是：个非空子集有个非空的真子集有个二次函数的解析式的三种形式一般式顶点式零点式解连不等式常有以下转化形式方程在上有且只有一个实根与不等价前者是后者的一个必要而不是充分条件特别地方程有且只有一个实根

34、在内等价于则当时若则若学习必备欢迎下载则一元二次方程的实根分布依据若设则方程则在区间内至少有一个实根方程在区间内有根的充要条件为或或内有根的充要条件为方程在区间或或在区间方程内有根的充要条件为的子区间形如不同上含区间的子区间上含参数的二次不等式为参数恒成立的充要条件是或恒成立的充要条件是或真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假常见结论的否定形式原结论反设词是不是都是不都是大于不大于小于不小于对所有学习必备 欢迎下载 111222()()0AxB yCA xB yC所表示的平面区域上下两部分；111222()()0AxB yCA xB yC所表示的平面区域上下两部分.86.圆的四种

35、方程（1）圆的标准方程 222()()xaybr.（2）圆的一般方程 220 xyDxEyF(224DEF0).（3）圆的参数方程 cossinxarybr .（4）圆的直径式方程 1212()()()()0 xxxxyyyy(圆的直径的端点是11(,)A x y、22(,)B xy).87.圆系方程(1)过点11(,)A x y,22(,)B xy的圆系方程是 1212112112()()()()()()()()0 xxxxyyyyxxyyyyxx 1212()()()()()0 xxxxyyyyaxbyc,其 中0a xb yc 是 直 线AB的方程,是待定的系数(2)过直线l:0AxBy

36、C 与圆C:220 xyDxEyF 的交点的圆系方程是22()0 xyDxEyFAxByC,是待定的系数(3)过圆1C:221110 xyD xE yF与圆2C:222220 xyD xE yF的交点的圆系方程是2222111222()0 xyD xE yFxyD xE yF,是待定的系数 88.点与圆的位置关系 点00(,)P xy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种 若2200()()daxby，则 dr 点P在圆外;dr 点P在圆上;dr 点P在圆内.89.直线与圆的位置关系 直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种:0相离rd;0相切rd;0相交rd.其中2

37、2BACBbAad.90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，dOO21 条公切线外离421rrd;条公切线外切321rrd;条公切线相交22121rrdrr;条公切线内切121rrd;无公切线内含 210rrd.91.圆的切线方程(1)已知圆220 xyDxEyF 若已知切点00(,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是 个非空子集有个非空的真子集有个二次函数的解析式的三种形式一般式顶点式零点式解连不等式常有以下转化形式方程在上有且只有一个实根与不等价前者是后者的一个必要而不是充分条件特别地方程有且只有一个实根在内等价于则当时若则若学习必备欢迎下载则

38、一元二次方程的实根分布依据若设则方程则在区间内至少有一个实根方程在区间内有根的充要条件为或或内有根的充要条件为方程在区间或或在区间方程内有根的充要条件为的子区间形如不同上含区间的子区间上含参数的二次不等式为参数恒成立的充要条件是或恒成立的充要条件是或真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假常见结论的否定形式原结论反设词是不是都是不都是大于不大于小于不小于对所有学习必备 欢迎下载 0000()()022D xxE yyx xy yF.当00(,)xy圆外时,0000()()022D xxE yyx xy yF 表示过两个切点的切点弦方程 过圆外一点的切线方程可设为00()yyk xx

39、，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线 斜率为 k 的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求 b，必有两条切线(2)已知圆222xyr 过圆上的000(,)P xy点的切线方程为200 x xy yr;斜率为k的圆的切线方程为21ykxrk.92.椭圆22221(0)xyabab 的参数方程是cossinxayb.93.椭圆22221(0)xyabab 焦半径公式 )(21caxePF，)(22xcaePF.94椭圆的的内外部（1）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab 的内部2200221xyab.（2）点00(,)P xy在椭圆2222

40、1(0)xyabab 的外部2200221xyab.95.椭圆的切线方程 (1)椭圆22221(0)xyabab 上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab.（2）过椭圆22221(0)xyabab 外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是 00221x xy yab.（3）椭 圆22221(0)xyabab 与 直 线0AxByC 相 切 的 条 件 是22222A aB bc.96.双曲线22221(0,0)xyabab的焦半径公式 21|()|aPFe xc，22|()|aPFexc.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P xy在双曲线22221(0,0

41、)xyabab的内部2200221xyab.(2)点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab.98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 个非空子集有个非空的真子集有个二次函数的解析式的三种形式一般式顶点式零点式解连不等式常有以下转化形式方程在上有且只有一个实根与不等价前者是后者的一个必要而不是充分条件特别地方程有且只有一个实根在内等价于则当时若则若学习必备欢迎下载则一元二次方程的实根分布依据若设则方程则在区间内至少有一个实根方程在区间内有根的充要条件为或或内有根的充要条件为方程在区间或或在区间方程内有根的充要条件为的子区间形如不同上含区间的子区间上含参

42、数的二次不等式为参数恒成立的充要条件是或恒成立的充要条件是或真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假常见结论的否定形式原结论反设词是不是都是不都是大于不大于小于不小于对所有学习必备 欢迎下载(1）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220 xyab xaby.(2)若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax.(3)若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在 x轴上，0，焦点在 y 轴上）.99.双曲线的切线方程 (1)双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab

43、.（2）过双曲线22221(0,0)xyabab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是 00221x xy yab.（3）双 曲 线22221(0,0)xyabab与 直 线0A xB yC相 切 的 条 件 是22222A aB bc.100.抛物线pxy22的焦半径公式 抛物线22(0)ypx p焦半径02pCFx.过焦点弦长pxxpxpxCD212122.101.抛物线pxy22上的动点可设为 P),2(2ypy或或)2,2(2ptptP P(,)x y，其中 22ypx.102.二次函数2224()24bacbyaxbxca xaa (0)a 的图象是抛物线：（1）顶点坐标

44、为24(,)24bacbaa；（2）焦点的坐标为241(,)24bacbaa；（3）准线方程是2414acbya.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的内部22(0)ypx p.点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的外部22(0)ypx p.(2)点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p 的内部22(0)ypx p.点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p 的外部22(0)ypx p.(3)点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的内部22(0)xpy p.点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的外部22(0

45、)xpy p.(4)点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的内部22(0)xpy p.点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p 的外部22(0)xpy p.104.抛物线的切线方程 个非空子集有个非空的真子集有个二次函数的解析式的三种形式一般式顶点式零点式解连不等式常有以下转化形式方程在上有且只有一个实根与不等价前者是后者的一个必要而不是充分条件特别地方程有且只有一个实根在内等价于则当时若则若学习必备欢迎下载则一元二次方程的实根分布依据若设则方程则在区间内至少有一个实根方程在区间内有根的充要条件为或或内有根的充要条件为方程在区间或或在区间方程内有根的充要条件为的子区间形如不同

46、上含区间的子区间上含参数的二次不等式为参数恒成立的充要条件是或恒成立的充要条件是或真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假常见结论的否定形式原结论反设词是不是都是不都是大于不大于小于不小于对所有学习必备 欢迎下载(1)抛物线pxy22上一点00(,)P xy处的切线方程是00()y yp xx.（2）过抛物线pxy22外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00()y yp xx.（3）抛物线22(0)ypx p与直线0AxByC 相切的条件是22pBAC.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y,2(,)0fx y 的交点的曲线系方程是 12(,)(

47、,)0f x yf x y(为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221xyakbk,其中22max,kab.当22min,kab时,表示椭圆;当2222min,max,abkab 时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 221212()()ABxxyy或 2222211212(1)()|1tan|1tABkxxxxyyco（弦 端 点A),(),(2211yxByx，由方程0)y,x(Fbkxy 消去 y 得到02cbxax，0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y 关于点00(,)P xy成中心对称的曲线是0

48、0(2-,2)0Fx xyy.（2）曲线(,)0F x y 关于直线0AxByC 成轴对称的曲线是 22222()2()(,)0A AxByCB AxByCF xyABAB.108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线220AxBxyCyDxEyF，用0 x x代2x，用0y y代2y，用002x yxy代xy，用02xx代x，用02yy代y即得方程 0000000222x yxyxxyyAx xBCy yDEF ，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行

49、；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；个非空子集有个非空的真子集有个二次函数的解析式的三种形式一般式顶点式零点式解连不等式常有以下转化形式方程在上有且只有一个实根与不等价前者是后者的一个必要而不是充分条件特别地方程有且只有一个实根在内等价于则当时若则若学习

50、必备欢迎下载则一元二次方程的实根分布依据若设则方程则在区间内至少有一个实根方程在区间内有根的充要条件为或或内有根的充要条件为方程在区间或或在区间方程内有根的充要条件为的子区间形如不同上含区间的子区间上含参数的二次不等式为参数恒成立的充要条件是或恒成立的充要条件是或真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假常见结论的否定形式原结论反设词是不是都是不都是大于不大于小于不小于对所有学习必备 欢迎下载（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.113证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（