课题：二次函数与实际问题导学案中学教育中考_中学教育-中学学案.pdf

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1、课题：二次函数与实际问题(四)导学案(第 13课)-二次函数与动点问题 1、已知二次函数图象的顶点坐标为M(1，0)，直线y=x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为(3，4)，B点在y轴上（1）求m的值及这个二次函数的解析式；（2）若P(a，0)是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点 当 0a 3 时，求线段DE的最大值；若直线AB与抛物线的对称轴交点为N，问是否存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)由A点坐标得：43m，得1m 由抛物线顶点坐标 M(1

2、，0)得：2(1)yx (2)当 0a 3 时，DE 222239(1)(1)1213()24aaaaaaaa 当a=32时，DE有最大值94 存在 因MNDE，而NM=2，故仅需DE=2，即可使得以点M、N、D、E为顶点的四边形为平行四边形。即2221112132DExxxxxxx （）即232xx或232xx 解得：1,2x 或2173x，1x 不合题意舍去，故存在三个点P,坐标分别为)0,2173(),0,2173(),0,2(【071】已知：抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为1x ，与x轴交于A B，两点，与y轴交于点C，其中 A(3，0)、C(0，2)（1）求这条抛物线的函

3、数表达式（2）已知在对称轴上存在一点P，使得PBC的周长最小请求出点P的坐标（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）过点D作DEPC交x轴于点E连接PD、PE 设CD的长为m，PDE的面积为S求S与m之间的函数关系式试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由【071】解：（1）由题意得，解得 此抛物线的解析式为 3 分（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.设直线的表达式为 则 解得 此直线的表达式为5 分 把代入得点的坐标为 6 分（3）存在最大值 7 分 理由：即 即 y x O

4、B M P N A D E A C x y B O（第 24 题图）（第 24 题图）O A C x y B E P D 方法一：连结,则=8 分，当时，9 分 方法二：=8 分，当时，9 分【017】如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过 A(1，0)，B(0，2)两点，顶点为 D（1）求抛物线的解析式；（2）将OAB绕点A顺时针旋转 90后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点 N在平移后的抛物线上，且满足NBB1的面积是足NDD1面积的 2 倍，求点N的坐标 【017】解：（

5、1）已知抛物线经过，解得 所求抛物线的解析式为 2 分（2），可得旋转后点的坐标为 3 分 当时，由得，可知抛物线过点 将原抛物线沿轴向下平移 1 个单位后过点 平移后的抛物线解析式为：5 分（3）点在上，可设点坐标为 将配方得，其对称轴为 6 分 当时，如图，此时 点的坐标为 8 分 当时，如图 同理可得 此时 y x B A O D（第 26 题）y x C B A O N D B1 D1 图 y x C B A O D B1 D1 N 点的坐标为 综上，点的坐标为或 10 分 二、课堂练习 1、（2011 年凉山州）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1x2，与

6、y轴交于点C(0，4)，其中x1，x2是方程x24x12=0 的两个根。（1）求抛物线的解析式；（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MNBC，交AC于点N，连接CM，当CMN的面积最大时，求点M的坐标；（3）点D(4，k)在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由。28.（1）24120 xx，12x ，26x。(2,0)A，(6,0)B。1 分 又 抛 物 线 过 点A、B、C，故 设 抛 物 线 的 解 析 式 为(2)(6)ya xx，将点C的坐标代入，求

7、得13a。抛物线的解析式为214433yxx。3 分（2）设点M的坐标为（m，0），过点N作NHx轴于点H（如图（1）。点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），8AB，2AMm。4 分 MNBCP，MNABC。NHAMCOAB，248NHm，22mNH。5 分 1122CMNACMAMNSSSAM COAM NHggg 2121(2)(4)3224mmmm 6 分 21(2)44m。当2m 时，CMNS有最大值 4。此时，点M的坐标为（2，0）。7 分（3）点D（4，k）在抛物线214433yxx上，当4x 时，4k ，点D的坐标是（4，4）。如图（2），当AF为平行四边形的边时，AF

8、DE，D（4，4），4DE。y x O B M N C A 1(6,0)F，2(2,0)F。9 分 如图（3），当AF为平行四边形的对角线时，设(,0)F n，则平行四边形的对称中心为（22n，0）。10 分 E的坐标为（6n，4）。把E（6n，4）代入214433yxx，得216360nn。解得 82 7n 。3(82 7,0)F，4(82 7,0)F。12 分 y x O B M N C A 图（1）H y x O B 2F E A 图（2）1F D y x O B 3F E A 图（3）E D 4F E 4 如图，抛物线223yxx与 x 轴交 A、B两点（A点在 B点左侧），直线l与抛

9、物线交于 A、C两点，其中 C点的横坐标为 2 （1）求 A、B 两点的坐标及直线 AC的函数表达式；（2）P是线段 AC上的一个动点，过 P点作 y 轴的平行线交抛物线于 E点，求线段 PE长度的最大值；（3）点 G抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使 A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F点坐标；如果不存在，请说明理由 解：（1）令 y=0，解得11x 或23x（1 分）A（-1，0）B（3，0）；（1 分）将 C点的横坐标 x=2 代入223yxx得 y=-3，C（2，-3）（1 分）直线 AC的函数解析式是 y=-x-1 （2）

10、设 P点的横坐标为 x（-1x2）（注：x 的范围不写不扣分）则 P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），（1 分）E（2(,23)x xx（1 分）P点在 E点的上方，PE=22(1)(23)2xxxxx （2 分）当12x 时，PE的最大值=94（1 分）（3）存在 4 个这样的点 F，分别是1234(1,0),(3,0),(47),(47)FFFF（结论“存在”给 1 分，4 个做对 1 个给 1 分，过程酌情给分）1.如图，拋物线y1=ax22ax+b经过3(1,0),(2,)2AC两点，与 x 轴交于另一点 B；(1)求此拋物线的解析式；(2)若拋物线的顶点为 M，点 P为线段 OB

11、上一动点(不与点 B重合)，点 Q在线段 MB上移动，且MPQ=45，设线段OPx，222MQy，求2y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(3)在同一平面直角坐标系中，两条直线,xm xn分别与拋物线交于点 E，G，与(2)中的 函数图像交于点 F、H.问四边形 EFHG 能否为平行四边形？若能，求,m n之间的数量关系；若不能，请说明理由.2.已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点 A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；(2)点 P 从 B点出发以每秒个单位的速度沿线段 BC向 C点运动，点 Q从 O点出发以相同的速度沿

12、线段 OA向 A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动设运动时间为 t 秒 当 t 为何值时，四边形 ABPQ 为等腰梯形；设 PQ与对称轴的交点为 M，过 M点作 x 轴的平行线交 AB于点 N，设四边形 ANPQ 的面积为 S，求面积 S关于时间 t 的函数解析式，并指出 t 的取值范围；当 t 为何值时，S 有最大值或最小值 P M Q A B O y x x y O A Q 3.如图，在直角坐标系xoy中，正方形 OCBA 的顶点 A、C 分别在y轴、x轴上，点 B坐标为（6，6），抛物线y=ax2+bx+c经过点 A、B两点，且31ab （1）求,a b c的值；（2）

13、如果动点 E、F同时分别从点 A、点 B出发，分别沿 AB、BC运动，速度都是每秒 1 个单位长度，当点 E到达终点 B时，点 F随之停止运动设运动时间为t秒，EBF的面积为 S 试求出 S 与t之间的函数关系式，并求出 S 的最大值；当 S 取得最大值时，在抛物线上是否存在点 R，使得以 E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点 R的坐标；如果不存在，请说明理由 4.抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点 B(12,0)和 C(0，-6），对称轴为 x=2.(1)求该抛物线的解析式；(2)点 D在线段 AB上且 AD=AC，若动点 P从 A出发沿线段 AB以每秒 1

14、 个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点 Q以某一速度从 C出发沿线段 CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段 PQ被直线 CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间 t（秒）和点 Q的运动速度；若不存在，请说明理由；(3)在（2）的结论下，直线 x=1 上是否存在点 M，使MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点 M的坐标；若不存在请说明理由.26、（2011潼南县）如图，在平面直角坐标系中，ABC 是直角三角形，ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，B两点，抛物线的顶点为 D（1）求 b，c 的值；（2）点 E是直角三角形 ABC斜边 AB上一动

15、点（点 A、B除外），过点 E作 x 轴的垂线交抛物线于点 F，当线段 EF的长度最大时，求点 E的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点 E、B、F、D为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点 P，使EFP是以 EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点 P的坐标；若不存在，说明理由 考点：二次函数综合题。分析：（1）由ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，可得 A（1，0）B（4，5），然后利用待定系数法即可求得 b，c 的值；（2）由直线 AB经过点 A（1，0），B（4，5），即可求得直线 AB的解析式，又由二次函数 y=x22x3，设点 E（t，t+1），则可得点 F的坐

16、标，则可求得 EF的最大值，求得点 E的坐标；（3）顺次连接点 E、B、F、D得四边形 EBFD，可求出点 F的坐标（，），点 D的坐标为（1，4）由 S四边形 EBFD=SBEF+SDEF即可求得；过点 E作 aEF交抛物线于点 P，设点 P（m，m22m3），可得 m22m2=，即可求得点 P的坐标，又由过点 F 作 bEF交抛物线于 P3，设 P3（n，n22n3），可得 n22n2=，求得点 P 的坐标，则可得使EFP是以 EF为直角边的直角三角形的 P的坐标 解答：解：（1）由已知得：A（1，0），B（4，5），二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点 A（1，0），B（4，5），

17、解得：b=2，c=3；（2）如图：直线 AB经过点 A（1，0），B（4，5），直线 AB的解析式为：y=x+1，二次函数 y=x22x3，设点 E（t，t+1），则 F（t，t22t 3），EF=（t+1）（t22t 3）=（t ）2+，当 t=时，EF的最大值为，点 E的坐标为（，）；（3）如图：顺次连接点 E、B、F、D得四边形 EBFD 可求出点 F的坐标（，），点 D的坐标为（1，4）S四边形 EBFD=SBEF+SDEF=（4）+（1）=；如图：）过点 E作 aEF交抛物线于点 P，设点 P（m，m22m 3）则有：m22m 2=，解得：m1=，m2=，P1（，），P2（，），）过点 F作 bEF交抛物线于 P3，设 P3（n，n22n3）则有：n22n2=，解得：n1=，n2=（与点 F重合，舍去），P3（，），综上所述：所有点 P的坐标：P1（，），P2（，），P3（，）能使EFP组成以 EF为直角边的直角三角形 点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，四边形与三角形面积问题以及直角三角形的性质等知识此题综合性很强，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用