立体几何复习资料中学教育高考_中学教育-高考.pdf

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1、专题三：立体几何 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 考纲要求：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生 活中简单物体的结构 1.棱柱的结构特征：（1）有两个面互相平行，其余各面都是四边形；（2）每相邻两个四边形 的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。2.棱锥的结构特征：（1）有一个面是多边形；（2）其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。3.棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样 的多面体叫做棱台。4.圆柱的结构特征：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转

2、 体叫做圆柱，旋转轴叫做圆柱的轴。5.圆锥的结构特征：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面 所围成的旋转体叫做圆锥。6.圆台的结构特征：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。圆台也可以看作由直角梯形绕其直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转 形成的面所围成的旋转体。例题：如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别是 5cm、4cm、3cm，一只蚂蚁从 A 到 C1点，沿着表面爬行的最短距离是多少 1由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是（）A 六棱锥 B 六棱台 2 下列说法中，正确的是（）A 棱柱的侧面可以是

3、三角形 展开图 C 正方体的各条棱都相等 C 六棱柱 D 非棱柱、棱锥、棱台的一个几何体 B 由六个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的 D棱柱的各条棱都相等 3构成多面体的面最少是（）A三个 B 四个 C 五个 D 六个 4 用一个平面去截棱锥,得到两个几何体,下列说法正确的是（）B 一个几何体是棱锥,另一个几何体不一定是棱台 C 一个几何体不一定是棱锥,另一个几何体是棱台 D 一个几何体不一定是棱锥,另一个几何体不一定是棱台 5将直角三角形绕它的一边旋转一周,形成的几何体一定是 A圆锥 B圆柱 C圆台 6A、B 为球面上相异两点,则通过 A、B可作球的大）D以上均不正确）D一个或无穷7如

4、下图几何体是由哪些简单几何体构成的？巩固练 长方体 ABCD-A1B1C1D1的表面可如上图中三种方法展开,表面展开后,A与 C1两点间的距离 分别为（3 4）2 52 74,（5 3）2 42 4 5,（5 4）2 32 3 10,三者比较得 74 为 从 A 点沿表面到 C1 点的最短距离 1.1.2 中心投影与平行投影以及直观图的画法 考纲要求：能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视 图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形 的不同表示形式；会画一些几

5、何体的三视图与直观图 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（1）多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积。可以把多面体展开成 平面图形，利用平面图形求面积的方法，求多面体的表面积。2 圆柱的表面积：S 2 r2 2 rl 2 r（r l）（其中 r 是底面半径，l是母线长）2 圆锥的表面积：S r2 rl r（r l）（其中 r是底面半径，l 是母线长）2 2 圆台的表面积：S（r r2 rl rl）（其中 r,r 是圆台的上，下底面半径，l是母线 长）柱体的体积：V Sh（S 为底面半径，h 为高）1 锥体的体积：V Sh（S 为底面半径，h 为高）3 台体的体积:V

6、 1（S SS S）h（S,S分别是上，下底面面积，h 为圆台（棱台）3 的高）球的表面积：S 4 R2（R 是球的半径）球的体积：V 4 R3（R 是球的半径）3 巩固练习：实生活中简单物体的结构棱柱的结构特征有两个面互相平行其余各面都是四边形每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的多面体叫做棱柱棱锥的结构特征有一个面是多边形其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这的多面体叫做棱台圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的轴圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的面所围成的旋由直角梯形绕其直角梯

7、形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体例题如图长方体的长宽高分别是一只蚂蚁从到点沿着表面行的最短距离是多少巩固练由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体 2下列几何体中，主视图、左视图、俯视图相同的几何体是（）4在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段（）A平行且相等 B 平行但不相等 C.相等但不平行 D 既不平行也不相等 5下列说法中正确的是（）A 互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线 B 梯形的直观图可能是平 行四边形 C 矩形的直观图可能是梯形 6如右图中“斜二测”直观图所示的平面图形是（）A 直角梯形 B等腰梯形 C

8、不可能是梯形 7如右图所示的直观图，其平面图形的面积为（）32 B 2 8已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是 3 3 3 3 A.1cm B.2cm C.3cm D.6cm 9若球的半径为 R，则这个球的内接正方体的全面积等于（）2 2 2 2 A8R2 B 9R2 C 10R2 D12R2 1若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则该几何体可能是（）A 圆柱 B.三棱柱 C.圆锥 D.球体 D 球和正方体）A 3 C 6 A 球和圆B 圆柱和圆C 正方体和圆表示两个立方体叠加，用 表示三个立方体叠加，那 3 则主视图是D 如果用 表示一个立方体，

9、用 么右图中有 7 个立方体叠成的几何体，D 正方形的直观图可能是平行实生活中简单物体的结构棱柱的结构特征有两个面互相平行其余各面都是四边形每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的多面体叫做棱柱棱锥的结构特征有一个面是多边形其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这的多面体叫做棱台圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的轴圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的面所围成的旋由直角梯形绕其直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体例题如图长方体的长宽高分别是一只蚂蚁从到

10、点沿着表面行的最短距离是多少巩固练由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体10.一个长方体的顶点都在球面上，它的长，宽，高分别是 11.正方形 ABCD的边长为 1，E、F分别为 BC、CD的中点，沿 AE，EF，AF折成一个三棱锥，使 B，C，D 三点重合，那么这个三棱锥的体积为（）转一周,所得旋转体的体积是 _ 3cm,4cm,5cm，求球的体积 1 A 8 1 B 2C 24 5 D 48 12一个直角三角形的两条直角边的长分别为 3cm 和 4cm,将这个直角三角形以斜边为轴旋 实生活中简单物体的结构棱柱的结构特征有两个面互相平行其余各面都是四边形每相邻两个四边形的公共边都互相平行由

11、这些面所围成的多面体叫做棱柱棱锥的结构特征有一个面是多边形其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这的多面体叫做棱台圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的轴圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的面所围成的旋由直角梯形绕其直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体例题如图长方体的长宽高分别是一只蚂蚁从到点沿着表面行的最短距离是多少巩固练由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体13A、B、C是球面上三点，已知弦 AB=18cm，BC=24cm，AC=30cm，平面 ABC与球

12、心 O 的 距离恰好为球半径的一半，求球的面积 1.2 点、线、面之间的位置关系 考纲要求：理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和 定理 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号语言：若 A l,B l,且A,B,则l 作用是：判断直线是否在平面内。公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（确定平面的依据）推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论 3：经过两条平行线，有且只有一个平面 注意：经过一点、两点或同一条直线的三点可能有无数个平面。公理 3：如果

13、两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号语言：若 P,且P,则 l,且P l 作用是：判定两个平面相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必 相交于过这个点的一条直线。巩固练习：1若点 N在直线 a上，直线 a 又在平面 内，则点 N，直线 a与平面 之间的关系可记作（）A N a B N a CN a DN a 2 空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（）A0 B1 C1或 4 D 无法确定 3 空间不重合的三个平面可以把空间分成（）A 4 或 6 或 7 个部分 B 4 或 6 或 7 或 8 个部分 C 4 或 7 或 8 个部分 D

14、6 或 7 或 8 个部分 4 下列说法正确的是（）一条直线上有一个点在平面内,则这条直线上所有的点在这平面内;一条直线上有两点 在一个平面内,则这条直线在这个平面内;若线段 AB,则线段 AB 延长线上的任何一 点必在平面 内;一条射线上有两点在一个平面内,则这条射线上所有的点都在这个平 面内.A B 5三条直线两两相交，可以确定平面的个数是（A1 个 B 1 个或 2 个 1.2.2 空间两直线的位置关系）C 1 个或 3 个 D3 个 C D 4 及等角定实生活中简单物体的结构棱柱的结构特征有两个面互相平行其余各面都是四边形每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的多面体叫做棱柱

15、棱锥的结构特征有一个面是多边形其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这的多面体叫做棱台圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的轴圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的面所围成的旋由直角梯形绕其直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体例题如图长方体的长宽高分别是一只蚂蚁从到点沿着表面行的最短距离是多少巩固练由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体重难点：理解异面直线的概念，能计算异面直线所成角；掌握公理 实生活中简单物体的结构棱柱的结构特征有两个面互相平行其余各面都是四边

16、形每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的多面体叫做棱柱棱锥的结构特征有一个面是多边形其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这的多面体叫做棱台圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的轴圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的面所围成的旋由直角梯形绕其直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体例题如图长方体的长宽高分别是一只蚂蚁从到点沿着表面行的最短距离是多少巩固练由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 定理：空间中如果

17、一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 空间两条直线的位置关系有且只有三种：（1）相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点。（2）平行直线：同一平面内，没有公共点；（3）异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。例题 1如图，已知空间四边形 ABCD 的对角线 AC=14cm,BD=14cm，M，N 分别是 AB，CD 的中点，MN=7 2 cm，求异面直线 AC与 BD所成的角 巩固练习：1若 a,b是异面直线,b,c是异面直线,则 a,c的位置关系是（A 相交、平行或异面 B 相交或平行 C 异面 2已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与

18、b（A 一定是异面直线 B一定是相交直线 C 不可能是平行直线 D不可能是相交直线 3M、N分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 BB1、B1C1的中点，（1）求 MN 与 AD所成的角；（2）求 MN 与 CD1 所成的角 BD 所成的角为 _ 5.正方体 AC1中，E、F分别是 AB、BB1的中点，则 A1E与 C1F所成的角的余弦值是 1.2.3 直线与平面的位置关系 重难点：了解直线与平面的位置关系，在判定和证明直线与平面的位置关系时，除了能熟练 运用判定定理和性质定理外，还要充分利用定义；线面关系的判定和证明，要注意线线关系、线面关系的转化 直线与平面的位置关系有且只有三种：

19、（1）直线在平面内：有无数个公共点；（2）直线与平面相交：有且只有一个公共点；（3）直线与平面平行：没有公共点。巩固练习：1下面命题正确的是（）A若直线与平面不相交，则这条直线与这个平面没有公共点 B若直线与平面不）D）平行或异面 4空间四边形 ABCD中,AD=1,BC=3,BD=2,AC=2 且 AD BC,则异面直线 AC 和 A2 2 B 2 C 5 C D 实生活中简单物体的结构棱柱的结构特征有两个面互相平行其余各面都是四边形每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的多面体叫做棱柱棱锥的结构特征有一个面是多边形其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这的多面体叫做棱台圆柱的结构特

20、征以矩形的一边所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的轴圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的面所围成的旋由直角梯形绕其直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体例题如图长方体的长宽高分别是一只蚂蚁从到点沿着表面行的最短距离是多少巩固练由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体相交，则这条直线与这个平面内的任何一条直线没有公共点 C若一条直线与一个平面有公共点，直线与这个平面相交 实生活中简单物体的结构棱柱的结构特征有两个面互相平行其余各面都是四边形每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成

21、的多面体叫做棱柱棱锥的结构特征有一个面是多边形其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这的多面体叫做棱台圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的轴圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的面所围成的旋由直角梯形绕其直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体例题如图长方体的长宽高分别是一只蚂蚁从到点沿着表面行的最短距离是多少巩固练由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体D直线在平面外，则直线与平面相交或平行 2下列命题正确的个数是（）若直线 上有无数个点不在平面 内,则 l ;若

22、直线 与平面 平行,则 与平面 内的任意一条直线都平行;如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条 直线也与这个平面平行;若直线 与平面 平行,则 与平面 内的任意一条直线都没有 公共点.A0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 直线与平面平行的判断定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直 线与此平面平行（由线线平行 线面平行）符号语言：a,b,且ab a 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面 与此平面相交，那么这条直线就和交线平行（线面平行 线线平行）符号语言：a ，a,b a b PD.求证：（1）AC平面 MNP；（2

23、）平面 MNP 与平面 ACD的交线 AC 1.2.4 平面与平面的位置关系：（1）两个平面平行：没有公共点；（2）两个平面相交：有一条公共直线。平面与平面平行的判断定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么 这两个平面平行（线面平行 面面平行）符号语言：a,b,a b P,a，b 平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线 相互平行（面面平行 线面平行）例题：已知正方体 ABCD-A1B1C1D1，求证：平面 AB1D1 C1BD。巩固练习：1.平面 与平面 平行的条件可以是（）例题已知四面体 ABCD中，M，求证：BD平面 CMN；巩固练

24、习 实生活中简单物体的结构棱柱的结构特征有两个面互相平行其余各面都是四边形每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的多面体叫做棱柱棱锥的结构特征有一个面是多边形其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这的多面体叫做棱台圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的轴圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的面所围成的旋由直角梯形绕其直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体例题如图长方体的长宽高分别是一只蚂蚁从到点沿着表面行的最短距离是多少巩固练由平面六边形沿某一方向平移形成的

25、空间几何体A 内有无穷多条直线都与 平行。B直线 a ，a ，且直线 a 不在 内，也不 在 内。C直线 a,直线 b,且 a ，b D 内的任何直线都与 平行。1.2.5 直线与平面垂直 定义：如果直线 l与平面 内的任意一条直线都垂直，则直线 l与平面 垂直，记作 l 直线与平面垂直的判断定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该 直线与此平面垂直（线线垂直 线面垂直）符号语言：l a,l b,a b A,a,b l 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行 例 1：如图的多面体是直平行六面体 ABCDA1B1C1D1 经平面 AEFG 所截后得到的图形，其

26、中 BAEGAD 45，AB2AD2，BAD 60.（1）求证：BD平面 ADG；（2）求平面 AEFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值 巩固练习：1下面条件中,能判定直线 平面 的一个是（）A 和 B和 C和 D和和 3 设直线,m,平面,下列条件能得出 的是（）A,m,且 l ，m B,m,l m C,m,且 lm D|,m|,且l m 平行于同一平面的两平面平行 与同一直线成等角的两平面平行 2 下列命题中正确的命题是（平行于同一直线的两平A 与平面 内的两条直线垂直 C 与平面 内的某一条直线垂直 B 与平面 内的无数条直线垂直 D 与平面 内的任意一条直线垂实生活中简单物体的

27、结构棱柱的结构特征有两个面互相平行其余各面都是四边形每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的多面体叫做棱柱棱锥的结构特征有一个面是多边形其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这的多面体叫做棱台圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的轴圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的面所围成的旋由直角梯形绕其直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体例题如图长方体的长宽高分别是一只蚂蚁从到点沿着表面行的最短距离是多少巩固练由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体 1.2.6

28、 平面与平面垂直实生活中简单物体的结构棱柱的结构特征有两个面互相平行其余各面都是四边形每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的多面体叫做棱柱棱锥的结构特征有一个面是多边形其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这的多面体叫做棱台圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的轴圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的面所围成的旋由直角梯形绕其直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体例题如图长方体的长宽高分别是一只蚂蚁从到点沿着表面行的最短距离是多少巩固练由平面六边形沿某一方

29、向平移形成的空间几何体定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直。平面与平面垂直的判断定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相 垂直（线面垂直 面面垂直）平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线 于另一个平面垂直 巩固练习：1对于直线 m、n 和平面 、,下列能判断 的一个条件是（）A m n，m ，n B m n，m,n C m n，n，m D m n，m，n 2已知直线 l平面,直线 m 平面,有下面四个命题:/l m l/m l/m l m/其中正确的两个命题是（）A与 B与 C与 D与 3把直角三角形

30、 ABC沿斜边上的高 CD 折成直二面角 A-CD-B后,互相垂直的平面有 对 1 4在正 ABC中，ADBC于 D，沿 AD折成二面角 BAD C后，BC=2 AB，这时二面角 B ADC大小为 0 0 0 0 A600 B 900 C450 D 1200 5如图,AB是圆 O的直径,PA垂直于圆 O所在的平面,C是圆周上不同于 A、B 的任意一点 求证:平面 PAC垂直于平面 PBC 6.如图所示，PA 矩形 ABCD 所在的平面，M,N 分别是 AB,PC的中点，1）求证：MN 平面 PAD；2）求证：MN CD；3）若 PDA 450，求证：平面 BMN 平面 PCD实生活中简单物体的

31、结构棱柱的结构特征有两个面互相平行其余各面都是四边形每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的多面体叫做棱柱棱锥的结构特征有一个面是多边形其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这的多面体叫做棱台圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的轴圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的面所围成的旋由直角梯形绕其直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体例题如图长方体的长宽高分别是一只蚂蚁从到点沿着表面行的最短距离是多少巩固练由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体1直线的方向

32、向量与直线的向量方程(1)直线的方向向量 在空间中，任取一定点 O 为基点，那么空间任一点 P 的位置可由向量 OP来表示我们 也把 OP叫点 P的位置向量如图(a)所示 空间任一直线 l的位置可以由 l上一个定点 A以及一个定方向确定 如图(b)所示，点 A 是直线 l上一点，向量 a 表示直线 l的方向向量，则对于直线 l上的任一点 P，有AP ta，这样点 A和向量 a，不仅可以确定直线 l 的位置，还可具体表示出 l上的任意点直线 l 上 的向量 e 以及与 e 共线的向量叫做 l 的方向向量(2)直线 l 的向量方程 由(1)可知，直线 l上任一点 P，一定存在实数 t，使AP ta

33、 解此式可以看作是直线 l 的参数方程直线 l 的参数方程还可以作如下表示：对空间任一确定的点 O(如图所示)11 t21时，M 为线段 AB的中点，OM12(OAOB)为线段 AB的中点的向量形式(3)平面的向量形式 空间中平面 的位置可以由 上两条相交直线来确定，如图所示设这两条直线相交 于点 O，它们的方向向量分别为 a，b，P 为平面上任意一点，由平面向量的基本定理可 知，存在有序实数对(x，y)，使得 OPx a yb，这样点 O 与向量 a，b 就确定了平面 的位置 上取 AB a，则上式可 OPOAtABOAt（OBOA）（1 t）OA点 P 在直线 l 上的充要条件是存在唯一的

34、实数 t 满足等式：OP OA ta 或或都叫做空间直线的向量参数方程 如果在 l 实生活中简单物体的结构棱柱的结构特征有两个面互相平行其余各面都是四边形每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的多面体叫做棱柱棱锥的结构特征有一个面是多边形其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这的多面体叫做棱台圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的轴圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的面所围成的旋由直角梯形绕其直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体例题如图长方体的长宽高分别

35、是一只蚂蚁从到点沿着表面行的最短距离是多少巩固练由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体 2平面的法向量(1)法向量的定义 已知平面(如图所示)，直线 l，取 l 的方向向量 a，则 a ，则称 a 叫平面 法向量 已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量一个平面的法 向量不是唯一的，在应用时，可适当选取平面的一个法向量 如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 ，那么称向量 n 垂直于平面 记作 n ，此时，我们把向量 n 叫做平面 的法向量(2)平面 的法向量的求法 先在平面 内任找两不共线的向量 a 和 b.a n 0 b n 0 设平面 的法向量为 n，

36、则 n a 且 n b，即 b n 0 求出法向量 n，n 为一族平行向量，不唯一，为了便于运算，我们经常利用这一族 平行向量中形式(坐标)最简单的一个 题型一 法向量的求法 例 1 求ABC 所在平面的法向量，其中 A(1，1,0)、B(1,1,1)、C(3,4,3)例题 2：如图所示，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是正方形，AA1 4，点 E 在 CC1 上且 C1E 3EC.(1)证明：A1C平面 BED；(2)写出平面 DA1E 的一个法向量 3直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用 设空间两条直线 的 ，2AB 实生活中简单物体的结构棱柱的

37、结构特征有两个面互相平行其余各面都是四边形每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的多面体叫做棱柱棱锥的结构特征有一个面是多边形其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这的多面体叫做棱台圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的轴圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的面所围成的旋由直角梯形绕其直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体例题如图长方体的长宽高分别是一只蚂蚁从到点沿着表面行的最短距离是多少巩固练由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体l1、l2 的方向向量

38、分别为 e1、e2，两个平面 1、2 的法向量分别为 n1、n 2，则有下表：平行 垂直 l1与 l2 e1e2 e1e2 l1 与 1 e1n1 e1n1 1 与 2 n1n2 n1n2 4.利用空间向量证明平行关系与垂直关系(1)证明线面平行或面面平行 证明线面平行：证明这条直线的方向向量与这个平面的法向量垂直，依据是直线与平面 平行的定义 直线与平面无公共点；证明面面平行：证明两个平面的法向量平行，依据是垂直于同一直线的两个平面平行；(3)证明平行与垂直 结论一：设 A、B 是直线 m 上的点，C、D 是直线 n 上的点，现有 mn?AB CD(AB、CD 不重合)；m n?AB CD

39、0.利用这一结论还可以进一步解决直线与平面平行、直线与 平面垂直、平面与平面平行及平面与平面垂直等问题 结论二：设 n 是平面 的一个法向量，直线 a?平面 ，若 an，则 a.结论三：设 n 是 的一个法向量，若 a n，则 a.题型二 线面平行的证明方法 已知正方体 ABCD A1B1C1D 1的棱长为 2，E、F 分别是 BB1、DD 1的中点，求证：(1)FC 1平面 ADE；(2)平面 ADE 平面 B1C1F.题型三 面面平行的证明方法 例 3 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，求证：平面 A1BD 平面 CB1D1.实生活中简单物体的结构棱柱的结构特征有两个面互相平行其余

40、各面都是四边形每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的多面体叫做棱柱棱锥的结构特征有一个面是多边形其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这的多面体叫做棱台圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的轴圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的面所围成的旋由直角梯形绕其直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体例题如图长方体的长宽高分别是一只蚂蚁从到点沿着表面行的最短距离是多少巩固练由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体(2)证明线面垂直 证明这条直线的方向向量与平面的

41、法向量平行，依据是两条平行直线中的一条垂直于一 个平面，另一条也垂直于这个平面；证明面面垂直：转化为证明线面垂直 题型四 线面垂直的证明方法 例4已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，E是BB1的中点，F是CD 的中点求证：D1F 平面 ADE.巩固练习：1.如图所示，四棱锥 PABCD 的底面是正方形，PD底面 ABCD，点 E 在棱 PB 上求证：平面 AC平面 PDB.实生活中简单物体的结构棱柱的结构特征有两个面互相平行其余各面都是四边形每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的多面体叫做棱柱棱锥的结构特征有一个面是多边形其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这的多面体叫做棱台圆

42、柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的轴圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的面所围成的旋由直角梯形绕其直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体例题如图长方体的长宽高分别是一只蚂蚁从到点沿着表面行的最短距离是多少巩固练由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体2.如图所示，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直，ABE 是等腰直角三角形，ABAE，FAFE，AEF 45.(1)求证：EF 平面 BCE；(2)设线段 CD、AE 的中点分别为

43、P、M，求证：PM 平面 BCE.5求有关的角 在立体几何中，涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等关 于角的计算，均可归结为求两个向量的夹角 ab 对于空间向量 a，b，有 cos a,b.利用这一结论，我们可以较方便地处|a|b|理立体几何中的角的问题 Db且直线 a 与 b是异面直线，则 AB，结论一：设 A a，Ba，Cb，是异面直线 a与 b 所成的角或它的补角 结论二：如图，设 A a，B a，锐角，则直线 a 与平面 所成的角就是 n 是平面 的一个法向量，如果 AB，n 的余角，即 2，AB，n n 是一个 实生活中简单物体的结构棱柱的结构特征有两个面互相平行

44、其余各面都是四边形每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的多面体叫做棱柱棱锥的结构特征有一个面是多边形其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这的多面体叫做棱台圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的轴圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的面所围成的旋由直角梯形绕其直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体例题如图长方体的长宽高分别是一只蚂蚁从到点沿着表面行的最短距离是多少巩固练由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体CD就 实生活中简单物体的结构棱柱的结构特征有

45、两个面互相平行其余各面都是四边形每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的多面体叫做棱柱棱锥的结构特征有一个面是多边形其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这的多面体叫做棱台圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的轴圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的面所围成的旋由直角梯形绕其直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体例题如图长方体的长宽高分别是一只蚂蚁从到点沿着表面行的最短距离是多少巩固练由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体题型求直线与平面所成 例 5：如

46、图所示，在三棱锥 PABC 中，PB平面 ABC，ABC 是直角三角形，B 90，ABBC 2，(1)求证：EF PD；(2)求直线 PF 与平面 PBD 所成的角的余弦值；(3)求二面角 E PFB 的正切值 结论三：设 、是二面角 l 的两个平面，m，n 分别是 、的法向量，如果 当 m，n 的起点都在二面角的面内，方向均指向二面角的内部或均指向二面角的外部，则 这个二面角的大小就是 m，n；如果 m 与 n 的方向一个指向二面角的内部，另一 个指向二面角的外部，则这个二面角的大小就是 m，n 6求有关的距离 立体几何中涉及的距离问题较多，如两点距离，点与线的距离，如果 AB，n 是 个钝

47、角，则直线 a 与平面 所成的角就等于 AB，n 2.实生活中简单物体的结构棱柱的结构特征有两个面互相平行其余各面都是四边形每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的多面体叫做棱柱棱锥的结构特征有一个面是多边形其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这的多面体叫做棱台圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的轴圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的面所围成的旋由直角梯形绕其直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体例题如图长方体的长宽高分别是一只蚂蚁从到点沿着表面行的最

48、短距离是多少巩固练由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体点、线与平面的距离，两异面直线的距离等 若用向量来处理这类问题，则思路简单，解法固定 实生活中简单物体的结构棱柱的结构特征有两个面互相平行其余各面都是四边形每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的多面体叫做棱柱棱锥的结构特征有一个面是多边形其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这的多面体叫做棱台圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的轴圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的面所围成的旋由直角梯形绕其直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转

49、轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体例题如图长方体的长宽高分别是一只蚂蚁从到点沿着表面行的最短距离是多少巩固练由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体（1）利用|AB|AB|ABAB 可以求解有关距离问题（2）点到面的距离问题的求法 设 n 是平面 的法向量，AB 是平面 的一条斜线，则点 B 到平面 的距离为 d|AB n|n|例 6.已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，（1）求 D1 到平面 A1BD 的距离；（2）求 DD 1 与平面 A1BD 所成的角的正弦值 巩固练习：（2008）如图，正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AA1 2AB 4，点 E 在CC1上

50、且C1E 3EC （）证明：A1C 平面 BED；（）求二面角 A1 DE B 的大小 实生活中简单物体的结构棱柱的结构特征有两个面互相平行其余各面都是四边形每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的多面体叫做棱柱棱锥的结构特征有一个面是多边形其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这的多面体叫做棱台圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的轴圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的面所围成的旋由直角梯形绕其直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的面所围成的旋转体例题如图长方体的长宽高