数列题型及解题方法归纳总结中学教育高考_中学教育-高考.pdf

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1、精心整理 精心整理 知识框架 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法 1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（d，q 为常数）例 1、?已知an满足 an+1=an+2，而且 a1=1。求an。例 1、解?an+1-an=2 为常数an是首项为1，公差为 2 的等差数列 an=1+2（n-1）即 an=2

2、n-1 例 2、已知na满足112nnaa，而12a，求na=？（2）递推式为 an+1=an+f（n）例 3、已知na中112a，12141nnaan，求na.解：由已知可知)12)(12(11nnaann)121121(21nn 令 n=1，2，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+（an-an-1）说明?只要和 f（1）+f（2）+f（n-1）是可求的，就可以由 an+1=an+f（n）以 n=1，2，（n-1）代入，可得 n-1个等式累加而求 an。(3)递推式为 an+1=pan+q（p，q 为常数）例 4、na中，11a，对于 n1（nN）有13

3、2nnaa，求na.解法一：由已知递推式得 an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1）因此数列an+1-an是公比为 3 的等比数列，其首项为 a2-a1=（31+2）-1=4 an+1-an=4 3n-1 an+1=3an+2?3an+2-an=43n-1即 an=23n-1-1 解法二：上法得an+1-an是公比为 3 的等比数 列，于 是 有：a2-a1=4，a3-a2=4 3，a4-a3=432，an-an-1=43n-2，把 n-1个等式累加得：an=23n-1-1(4)递推式为 an+1=pan+qn（p，q 为常数）)(3211nn

4、nnbbbb由上题的解法，得：nnb)32(23nnnnnba)31(2)21(32(5)递推式为21nnnapaqa 思路：设21nnnapaqa,可以变形为：211()nnnnaaaa，想 于是an+1-an是公比为的等比数列，就转化为前面的类型。求na。(6)递推式为 Sn与 an的关系式 系；（2）试用 n 表示 an。)2121()(1211nnnnnnaaSS 11121nnnnaaannnaa21211 上式两边同乘以 2n+1得 2n+1an+1=2nan+2 则2nan是公差为 2 的等差数列。2nan=2+（n-1）2=2n 数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆

5、成几项，精心整理 精心整理 重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列（如果na等差，nb等比，那么 n na b叫做差比数列）即把每一项都乘以nb的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列11nnaa和11nnaa（其中na等差）可 裂 项 为：111111()nnnnaad aa，1111()nnnnaadaa 等差数列前n项和的最值问题：1、若等差数列na的首项10a，公差0d，则前n项和nS有最大值。（）若 已 知 通 项na，则nS最 大100nnaa；

6、（）若已知2nSpnqn，则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最大；2、若等差数列na的首项10a，公差0d，则前n项和nS有最小值 （）若 已 知 通 项na，则nS最 小100nnaa；（）若已知2nSpnqn，则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最小；数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知nS（即12()naaaf n）求na，用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn。已知12()na aaf n求na，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)nfnf nanf n。已知条件中既有nS还有na，有时先求nS，再求na；有时也可直接求na。若1()n

7、naaf n求na用 累 加 法：11221()()()nnnnnaaaaaaa 1a(2)n。已 知1()nnaf na求na，用 累 乘 法：121121nnnnnaaaaaaaa (2)n。已知递推关系求na，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如1nnakab、1nnnakab（,k b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求na；形如1nnnakak的递推数列都可以除以式为为常数由上题的解法精心整理知识框架掌握了数列的基本知识特别是等差等比数列的定义通项公式求和公式及性质掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用就有可能在高考中顺利地解决数列问题一

8、典型题的技巧解法求通项公等比数列问题递推式为及为常数例已知满足而且求例解为常数是首项为公差为的等差数列即例已知满足而求递推式为例已知中求解由已知可知令代入得个等式累加即说明只要和是可求的就可以由以代入可得个等式累加而求递推式为转化为面的类型求递推式为与的关系式系试用表示上式两边同乘以得则是公差为的等差数列数列求和的常用方法拆项分组法即把每一项拆成几项精心整理重新组合分成几组转化为特殊数列求和错项相减法适用于差比数列如果等差等精心整理 精心整理 nk得到一个等差数列后，再求na。（2）形如11nnnaakab的递推数列都可以用倒数法求通项。（3）形如1knnaa的递推数列都可以用对数法求通项。（

9、7）（理科）数学归纳法。（8）当遇到qaadaannnn1111或时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式。数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）.（

10、5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：111(1)1n nnn；11 11()()n nkk nnk；2211111()1211kkkk，211111111(1)(1)1kkkkkkkkk；1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn；11(1)!(1)!nnnn；2122(1)2(11nnnnnnnn 二、解题方法：求数列通项公式的常用方法：1、公式法 2、nnaS 求由 3、求差（商）法 解：naa 1122151411时，练习 4、叠乘法 解：aaaaaannaannnn21321112231

11、1，5、等差型递推公式 练习 6、等比型递推公式 练习 7、倒数法 2数列求和问题的方法（1）、应用公式法 等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前 n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。135(2n-1)=n2【例 8】求数列 1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），前 n 项的和。解?本题实际是求各奇数的和，在数列的前 n项中，共有 1+2+n=)1(21nn个奇数，最 后 一 个 奇 数 为：1+21n(n+1)-12=n2+n-1 因此所求数列的前 n 项的和为（2）、分解转化法 对通项进行分解、组合,转化为等差数列式为为常数由上题的解法精心整理知

12、识框架掌握了数列的基本知识特别是等差等比数列的定义通项公式求和公式及性质掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用就有可能在高考中顺利地解决数列问题一典型题的技巧解法求通项公等比数列问题递推式为及为常数例已知满足而且求例解为常数是首项为公差为的等差数列即例已知满足而求递推式为例已知中求解由已知可知令代入得个等式累加即说明只要和是可求的就可以由以代入可得个等式累加而求递推式为转化为面的类型求递推式为与的关系式系试用表示上式两边同乘以得则是公差为的等差数列数列求和的常用方法拆项分组法即把每一项拆成几项精心整理重新组合分成几组转化为特殊数列求和错项相减法适用于差比数列如果等差等精心整理 精心整理 或等比

13、数列求和。【例 9】求和 S=1（n2-1）+2（n2-22）+3（n2-32）+n（n2-n2）解?S=n2（1+2+3+n）-（13+23+33+n3）（3）、倒序相加法 适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。例 10、求和：12363nnnnnSCCnC 例 10、解0120363nnnnnnSCCCnC Sn=3n2n-1（4）、错位相减法 如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和 例 11、求数列 1，3x，5x2,(2n-1)xn-1前 n 项的

14、和 解?设 Sn=1+3+5x2+(2n-1)xn-1(2)x=0 时，Sn=1(3)当 x0 且 x1 时，在式两边同乘以 x 得xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn，-，得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)xn(5)裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：例 12、求和11111 53 75 9(21)(23)nn 注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法 1函数思想 运用数列中的通项公式的

15、特点把数列问题转化为函数问题解决。【例 13】?等差数列an的首项 a10，前 n 项的和为Sn，若 Sl=Sk（lk）问 n 为何值时 Sn最大？此函数以 n 为自变量的二次函数。a10?Sl=Sk（lk），d0 故此二次函数的图像开口向下 f（l）=f（k）2方程思想【例 14】设等比数列an前 n 项和为 Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比 q。分析?本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解依题意可知 q1。如果 q=1，则 S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此应推出 a1=0 与等比数列不符。q1 整理得?q3（2q6-q3-1）=0?q0 此题还可以作如下思考：S6=

16、S3+q3S3=（1+q3）S3。S9=S3+q3S6=S3（1+q3+q6），由 S3+S6=2S9可得 2+q3=2（1+q3+q6），2q6+q3=0 3换元思想【例 15】?已知 a，b，c 是不为 1 的正数，x，y，zR+，且 求证：a，b，c 顺次成等比数列。证明?依题意令 ax=by=cz=k x=1ogak，y=logbk，z=logck b2=aca，b，c 成等比数列（a，b，c 均不为 0）式为为常数由上题的解法精心整理知识框架掌握了数列的基本知识特别是等差等比数列的定义通项公式求和公式及性质掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用就有可能在高考中顺利地解决数列问题一典型题的技巧解法求通项公等比数列问题递推式为及为常数例已知满足而且求例解为常数是首项为公差为的等差数列即例已知满足而求递推式为例已知中求解由已知可知令代入得个等式累加即说明只要和是可求的就可以由以代入可得个等式累加而求递推式为转化为面的类型求递推式为与的关系式系试用表示上式两边同乘以得则是公差为的等差数列数列求和的常用方法拆项分组法即把每一项拆成几项精心整理重新组合分成几组转化为特殊数列求和错项相减法适用于差比数列如果等差等