复数概念及公式总结中学教育高考_中学教育-高考.pdf

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1、 2019-8-5 数系的扩充和复数概念和公式总结 1.虚数单位i:它的平方等于-1，即21i 2.i与1的关系:i就是1 的一个平方根，即方程 x2=1 的一个根，方程 x2=1 的另一个根是i 3.i的周期性：i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1 4.复数的定义：形如(,)abi a bR的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部 全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 C 表示 复数通常用字母 z 表示，即(,)zabi a bR 5.复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系：对于复数(,)abi a bR，当且仅当 b=0 时，复数a+bi(a、bR)是实数 a；

2、当 b0 时，复数 z=a+bi 叫做虚数；当 a=0 且 b0 时，z=bi 叫做纯虚数；a0 且 b0 时，z=bi 叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当 a=b=0 时，z 就是实数 0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果 a，b，c，dR，那么a+bi=c+dia=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 当两个复数不全是实数时不能比较大小 7.复平面、实轴、虚轴：点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z=a+bi(a、b

3、R)可用点 Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数（1）实轴上的点都表示实数（2）虚轴上的点都表示纯虚数（3）原点对应的有序实数对为(0，0)设 z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)是任意两个复数，8复数 z1与 z2的加法运算律：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9.复数 z1与 z2的减法运算律：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.10.复数 z1与 z2的乘法运算律：z1z2=(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i.201

4、9-8-5 11.复数 z1与 z2的除法运算律：z1z2=(a+bi)(c+di)=idcadbcdcbdac2222（分母实数化）12.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数 虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数 通常记复数z的共轭复数为z。例如z=35i 与z=35i 互为共轭复数 13.共轭复数的性质（1）实数的共轭复数仍然是它本身（2）22ZZZZ（3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称 14.复数的两种几何意义：15几个常用结论（1）ii212，（2）ii212（3）ii1，（4）iii11 16.复数的模：（5）iii11 复数biaZ

5、的模22baZ（6）22babiabia 点),(baZ 向量OZ 一一对应 一一对应 一一对应 复数RbabiaZ,一个根是的周期性复数的定义形如的数叫复数叫复数的实部叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集用字母表示复数通常用字母表示即复数与实数虚数纯虚数及的关系对于复数当且仅当时复数是实数当时复数叫做虚数当且时叫两个复数的实部和虚部分别相等那么我们就说这两个复数相等如果那么一般地两个复数只能说相等或不相等而不能比较大小如果两个复数都是实数就可以比较大小当两个复数不全是实数时不能比较大小复平面实轴虚轴点的横坐标是都表示实数实轴上的点都表示实数虚轴上的点都表示纯虚数原点对应的有序实数对为设是任意两个复数复数与的加法运算律复数与的减法运算律复数与的乘法运算律复数与的除法运算律分母实数化共轭复数当两个复数的实部相等虚