复数知识点归纳1中学教育高考_中学教育-高考.pdf

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1、【知识梳理】一、复数得基本概念 1、虚数单位得性质 叫做虚数单位，并规定:可与实数进行四则运算;这样方程就有解了,解为或 2、复数得概念（1 従义:形如（6 WR）得数叫做复数，其中叫做虚数单位 4 叫做 _,b叫做 _。全体复数所 成得集合叫做复数集。复数通常用字母表示，即（&0GR）对于复数得定义要注意以下几点：（a,b WR）被称为复数得代数形式，其中表示与虚数单位相乘 复数得实部与虚部都就是实数,否则不就是代数形式（2）分类:满足条件（为实数）复数得分类 a+bi 为实数 o 上 2 a+b i 为虚数 obHO a+bi 为纯虚数 oa=0 且 例题:当实数为何值时，复数就是实数？虚

2、数？纯虚数?二、复数相等 也就就是说，两个复数相等,充要条件就是她们得实部与虚部分别相等 注意:只有两个复数全就是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小 例题:已知求得值 三、共純复数 与共轨 得共轨复数记作，且 四、复数得几何意义 1、复平而得概念 建立直角坐标系来表示复数得平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。显然，实轴上得点都表示实 数;除了原点外,虚轴上得点都表示纯虚数。2、复数得几何意义 复数与复平而内得点及平而向量就是一一对应关系(复数得实质就是有序实数对，有序实数对既可以 表示一个点,也可以表示一个平面向量)相等得向量表示同一个复数 例题：(1)当实数为何值时，复平而内表示复数

3、得点 位于第三象限;位于直线上 (2)复平而内，已知，求对应得复数 3、复数得模:向量得模叫做复数得模，记作或,表示点到原点得距离，即，若,，则表示到得距禽，即 例题:已知,求得值 五、复数得运算(1)运算法则:设 zi=a+bi,二 2=c+i,a,b,c,c/GR (2)几何意义:复数加减法可按向量得平行四边形或三角形法则进行、如图给出得平行四边形OZZ 刃可以直观地反映出复数加减法得几何意义，即错误味定义书签。=错误!未定义书签。+错误!未定 义书签。错误!=错误!一错误!未定义书签。六、常用结论,“求，只需将除以 4 瞧余数就是几就就是得几次 例题:复数得概念従义形如得数叫做复数其中叫

4、做虚数单位叫做叫做全体复数所成得集合叫做复数集复数通常用字母表示即对于复数得定义要注意以下几点被称为复数得代数形式其中表示与虚数单位相乘复数得实部与虚部都就是实数否则数纯虚数二复数相等也就就是说两个复数相等充要条件就是她们得实部与虚部分别相等注意只有两个复数全就是实数才可以比较大小否则无法比较大小例题已知求得值共純复数与共轨得共轨复数记作且四复数得几何意义复平而得概轴上得点都表示纯虚数复数得几何意义复数与复平而内得点及平而向量就是一一对应关系复数得实质就是有序实数对有序实数对既可以表示一个点也可以表示一个平面向量相等得向量表示同一个复数例题当实数为何值时复平而内表，【思考辨析】判断下而结论就是

5、否正确（谙在括号中打“或“X”）（1）方程/+x+=0 没有解.（）复数 z=a+Zn（a,bWR 沖，虚部为乩（）（3）复数中有相等复数得概念，因此复数可以比较大小、（）（4）原点就是实轴与虚轴得交点、（）（5）复数得模实质上就就是复平而内复数对应得点到原点得距离，也就就是复数对应得向量得模、（）【考点自测】1、（2015 安徽）设 i就是虚数单位，则复数（1-0（1+20 等于（）Aa 3+3 i Bo 1+31 Co 3+i D.-l+i 2、（2015-课标全国 I）已知复数 z 满足（z-l）i=l+i,则 z 等于（）Ao-21 Bo 一 2+i C、2 i Do 2+i 3、在复

6、平而内，复数 6+512+31 对应得点分别为力占。若 C 为线段.毎得中点，则点 C 对应得复数 就是（）A、4+8i B.8+2i C.2+4 i I）、4+i 4c 已知就是虚数单位。若 a+i=2 竝则（a+bi）?等于（）A.3-41 B、3+4 i C、4-3i D、4+3 i 5._ 己知（l+2i）错误!=4+3i,则 z=。【题型分析】题型一复数得概念 例 1（1）设 1 就是虚数单位。若复数聲（aW R）就是纯虚数，则&得值为（）复数得概念従义形如得数叫做复数其中叫做虚数单位叫做叫做全体复数所成得集合叫做复数集复数通常用字母表示即对于复数得定义要注意以下几点被称为复数得代数

7、形式其中表示与虚数单位相乘复数得实部与虚部都就是实数否则数纯虚数二复数相等也就就是说两个复数相等充要条件就是她们得实部与虚部分别相等注意只有两个复数全就是实数才可以比较大小否则无法比较大小例题已知求得值共純复数与共轨得共轨复数记作且四复数得几何意义复平而得概轴上得点都表示纯虚数复数得几何意义复数与复平而内得点及平而向量就是一一对应关系复数得实质就是有序实数对有序实数对既可以表示一个点也可以表示一个平面向量相等得向量表示同一个复数例题当实数为何值时复平而内表A3 Co 1 Do 3 (2)已知*R,复数刁=2+a i,尢=1 五若错误!未定义书签。为纯虚数,则复数三得虚部为()A。1 B.1 C

8、、错误!未定义书签。D.0 若列=(胪+刃+1)+(?2+7M-4)i(m G R),Z2=32i,则“m=”就是“q=Z2”得()Aa充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充要条件 D。既不充分又不必要条件 引申探究 1。对本例中得复数 N,若 I 三|珂 0,求a得值、2,在本例(2)中，若 F为实数，则 _、厶 2 思维升华解决复数槪念问题得方法及注意事项(1)复数得分类及对应点得位置都可以转化为复数得实部与虚部应该满足得条件问题,只需把复数化 为代数形式,列出实部与虚部满足得方程(不等式)组即可、(2)解题时一定要先瞧复数就是否为a+b i(a,6GR)得形式，以确定实部与虚部、(1)

9、若复数Z=(A-2-1)+(X1)1 为纯虚数,则实数 x 得值为()A-1 B、0 Co 1 D.1 或 1(2)(20 14 浙江)已知 i 就是虚数单位,GR.则t(a=b=ln就是“(a+Mg i”得()A.充分不必要条件 B、必要不充分条件 C。充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 题型二复数得运算 命题点 1 复数得乘法运算 例 2(2015湖北)i 为虚数单位，i 伽得共轨复数为()A.i B.i C D、一 1(2)(201 5 北京)复数 1(21)等于()A.l+21 B、1 一 2i C、l+2i D.-121 复数得概念従义形如得数叫做复数其中叫做虚数单位叫做叫做全体

10、复数所成得集合叫做复数集复数通常用字母表示即对于复数得定义要注意以下几点被称为复数得代数形式其中表示与虚数单位相乘复数得实部与虚部都就是实数否则数纯虚数二复数相等也就就是说两个复数相等充要条件就是她们得实部与虚部分别相等注意只有两个复数全就是实数才可以比较大小否则无法比较大小例题已知求得值共純复数与共轨得共轨复数记作且四复数得几何意义复平而得概轴上得点都表示纯虚数复数得几何意义复数与复平而内得点及平而向量就是一一对应关系复数得实质就是有序实数对有序实数对既可以表示一个点也可以表示一个平面向量相等得向量表示同一个复数例题当实数为何值时复平而内表命题点 2 复数得除法运算复数得概念従义形如得数叫做

11、复数其中叫做虚数单位叫做叫做全体复数所成得集合叫做复数集复数通常用字母表示即对于复数得定义要注意以下几点被称为复数得代数形式其中表示与虚数单位相乘复数得实部与虚部都就是实数否则数纯虚数二复数相等也就就是说两个复数相等充要条件就是她们得实部与虚部分别相等注意只有两个复数全就是实数才可以比较大小否则无法比较大小例题已知求得值共純复数与共轨得共轨复数记作且四复数得几何意义复平而得概轴上得点都表示纯虚数复数得几何意义复数与复平而内得点及平而向量就是一一对应关系复数得实质就是有序实数对有序实数对既可以表示一个点也可以表示一个平面向量相等得向量表示同一个复数例题当实数为何值时复平而内表A.1+i C、一

12、1+i Aa 1 i B.1+i Co l-i D.-l+i 例 3(1)(20 1 5 湖南)已知匸丄=1 4-i(i为虚数单位)，则复数 z 等于()也+H3)i 命题点 3 复数得运算与复数概念得综合问题 例 4(1)(2015-天津)1 就是虚数单位，若复数(12 i)(a+i)就是纯虚数贝 J 实数&得值为 _ (201 4 江苏)已知复数 z=(5+2 讲(1 为虚数单位)侧 z 得实部为 _.命题点 4 复数得综合运算 例 5(1)(20 14安徽)设 i 就是虚数单位-错误!表示复数 z 得共轨复数若 z=l+i 贝错误！+i 错误!等于()A、2 B.2 i C、2 Dj 2

13、i 若复数 z 满足(3-41)z=|4+3 i|J|J Z 得虚部为()Aa-4 B。一 f(4,5)C、4 D 错误!未定义书签。思维升华 复数代数形式运算问题得常见类型及解题筵略(1)复数得乘法。复数得乘法类似于多项式得四则运算，可将含有虚数单位i 得瞧作一类同类项，不含 i得瞧作另一类同类项，分别合并即可、(2)复数得除法、除法得关键就是分子分母同乘以分母得共辄复数，解题中要注意把1得嫌写成最简形 式、复数得运算与复数概念得综合題，先利用复数得运算法则化简，一般化为 3+1(aGR)得形式，再 结合相关定狡解答、(4)复数得运算与复数几何意义得综合題、先利用复数得运算法则化简，一般化为

14、a+bi(a,6WR)得 形式，再结合复数得几何意义解答、(5)复数得综合运算分别运用复数得乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减,有括号要先算括号里面得。(1)(201 5-山东)若复数 z 满足二匕匸，英中 i为虚数单位，则 z 等于()复数得概念従义形如得数叫做复数其中叫做虚数单位叫做叫做全体复数所成得集合叫做复数集复数通常用字母表示即对于复数得定义要注意以下几点被称为复数得代数形式其中表示与虚数单位相乘复数得实部与虚部都就是实数否则数纯虚数二复数相等也就就是说两个复数相等充要条件就是她们得实部与虚部分别相等注意只有两个复数全就是实数才可以比较大小否则无法比较大小例

15、题已知求得值共純复数与共轨得共轨复数记作且四复数得几何意义复平而得概轴上得点都表示纯虚数复数得几何意义复数与复平而内得点及平而向量就是一一对应关系复数得实质就是有序实数对有序实数对既可以表示一个点也可以表示一个平面向量相等得向量表示同一个复数例题当实数为何值时复平而内表(2)错误!未定义书签。2。=_、(3)错误!亠错误卩0,6=_。题型三复数得几何意义 例 6(1)(20 1 4 重庆)实部为一 2,虚部为 1 得复数所对应得点位于复平面得()A.第一象限 B、第二象限 C.第三象限 oDo 第四象限 ABC得三个顶点对应得复数分别为引刀力,若复数 z 满足丨 z-z】I=I zZ2|=MJ

16、 I，则z对 应得点为J5C得()Ao 内心 B o垂心 C、重心 D。外心 思维升华因为复平面內得点、向董及向量对应得复数就是一一对应得，要求菜个向量对应得复数时,只要找出所求向量得始点与终点，或者用向董相等直接给出结论即可。(1)如图，在复平而内，点力表示复数 z,则图中表示 z 得共轨复数得点就是()Ao A B.B C、C D.D(2)已知 z 就是复数三+21、错课!未定义书签。均为实数(1 为虚数单位)，且复数(z+c)2 在复平面内对 应得点在第一象限,求实数 a得取值范围。【思想与方法】解决复数问题得实数化思想 典例 已知 x 丿为共轨复数，且(x+y)23 xn=4 6 i,

17、求心.思维点拨(1)A-为共辄复数，可用复数得基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这就是解决复数问题最基本得思想方法 (2)本题求解得关键就是先把 x、y 用复数得基本形式表示出来，再用待左系数法求解。这就是常用得 数学方法、(3)本题易错原因为想不到利用待左系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.【方法与技巧】复数得代数形式得运算主要有加、减、乘、除及求低次方根除法实际上就是分母实数化得过程、2。复数 z=a+bi(aGR)就是由它得实部与虚部唯一确定得，两个复数相等得充要条件就是复数问 题转化为实数问題得主

18、要方法一对于一个复数z=a+b i R),既要从整体得角度去认识它，把复数复数得概念従义形如得数叫做复数其中叫做虚数单位叫做叫做全体复数所成得集合叫做复数集复数通常用字母表示即对于复数得定义要注意以下几点被称为复数得代数形式其中表示与虚数单位相乘复数得实部与虚部都就是实数否则数纯虚数二复数相等也就就是说两个复数相等充要条件就是她们得实部与虚部分别相等注意只有两个复数全就是实数才可以比较大小否则无法比较大小例题已知求得值共純复数与共轨得共轨复数记作且四复数得几何意义复平而得概轴上得点都表示纯虚数复数得几何意义复数与复平而内得点及平而向量就是一一对应关系复数得实质就是有序实数对有序实数对既可以表示

19、一个点也可以表示一个平面向量相等得向量表示同一个复数例题当实数为何值时复平而内表X、1+i B.-l-i C.-1+i D.11 瞧成一个整体，又要从实部、虚部得角度分解成两部分去认识.3、在复数得几何意义中，加法与减法对应向量得三角形法则，其方向就是应注意得问题，平移往往与加 法、减法相结合、【失误与防范】le 判定复数就是实数，仅注重虚部等于 0 就是不够得,还需考虑它得实部就是否有意义、2,两个虚数不能比较大小。3。注意复数得虚部就是指在 a+bi（WR）中得实数 b,即虚部就是一个实数.【巩固练习】1、（20 15福建）若（1+i）+（2-3 i）=a+b i（a,bWRi 就是虚数单

20、位），则a,b得值分别等于（）A、3,-2 B、3,2 Co 3,-3 D 一一 1,4 2、设刁+】侧上 1 等于（）A.f（l,2）B、错误!未定义书签。C、f（逅 2）D、2 3、（2015-课标全国 II）若a为实数，且（2+a i）（t7-2i）=-4 i,则 a等于（）A.-1 B、0 C、1 Do 2 4、若】为虚数单位，图中复平而内点 Z 表示复数 2,则表示复数卞得点就是（）A.E B.F C、G Do H 5 江西）错谋!未定义书签。就是 2 得共辄复数，若错误!未定义书签。=2,匕一错误!）i=2（i 为虚数单位），则 z 等于（）6、（2015-江苏）设复数 2 满足=

21、3+4 讹就是虚数单位），则 z 得模为 _.7、若错误!=a+Zn（eb 为实数,1 为虚数单位），则ab=_、8、复数（3+i（2+i）对应得点在第三彖限内，则实数刃得取值范用就是 _ 9 JI算:错误!;错误味定义书签。；（3）错误味定义书签。-错误!;（4）错误!.复数得概念従义形如得数叫做复数其中叫做虚数单位叫做叫做全体复数所成得集合叫做复数集复数通常用字母表示即对于复数得定义要注意以下几点被称为复数得代数形式其中表示与虚数单位相乘复数得实部与虚部都就是实数否则数纯虚数二复数相等也就就是说两个复数相等充要条件就是她们得实部与虚部分别相等注意只有两个复数全就是实数才可以比较大小否则无法

22、比较大小例题已知求得值共純复数与共轨得共轨复数记作且四复数得几何意义复平而得概轴上得点都表示纯虚数复数得几何意义复数与复平而内得点及平而向量就是一一对应关系复数得实质就是有序实数对有序实数对既可以表示一个点也可以表示一个平面向量相等得向量表示同一个复数例题当实数为何值时复平而内表D 5.=2 c os 歼(2+3s i n 并且 zi=z2,则 A 得取值 范围就是()A.-1,11 B、错误！C。错误！D.错误！12、设和)=错误!”+错误味定义书签。”(“WNj,则集合 f(W)中元素得个数为()A.1 B.2 Co 3 D。无数个 13、已知复数 m+户,且 lz 2|=错误!未定义书签

23、。，则错误味定义书签。得最大值为 _ 0 14.设 dGR,若复数-7V+f(1 一 i 2)在复平而内对应得点在直线 x+y=0 上贝 J a 得值为 0 15。若 1+r(2)i 就是关于A-得实系数方程xbx+c=0 得一个复数根，则b=_,c=_【巩固练习参考答案】9解(1)错误!未定义书签。=f(3+i-i)=l-3io(2)错误!未定义书签。=f(-3+4 i+3-3i,2+i)=错误!未定义书签。=f(i(2-i),5)=错误!未定义书签。+飢 1 I(3)错误!未定义书签。+(二尸-f(l i,2。+六=错误!未定义书签。4-f(-l+i,2)=-l.(4)错误!未定义书签。=

24、错误!=错误!未定义书签。=错误!=一错误!未定义书签。一错谋!“1 0。解 错误!未定义书签。i+z2=f(3,a+5)+(2_io)i+错误!未定义书签。+(2a-5)i=错误!+(a2-1 0)+(2a-5)i=错误！+(a 2+2 1 5)i、丁错误!未定义书签。1+Z2 就是实数,+27-15=0，解得a=5 或a=3.又(a+5)(al)H0.aH 5 且 aHl,故 a=3。II.解析由复数相等得充要条件可得错误！化简得4-4cos2A+3sin 由此可得 2 二 4 c os 叨-3 sin&+4=4(lsin 3sin 0+4=4s i n213sin&=4 错误!：一错误!

25、未定义书签。，因为 smG-l,l,所以4si n 2-3s ine 错误!未定义书签。、答案 C 3 7 6.复数得概念従义形如得数叫做复数其中叫做虚数单位叫做叫做全体复数所成得集合叫做复数集复数通常用字母表示即对于复数得定义要注意以下几点被称为复数得代数形式其中表示与虚数单位相乘复数得实部与虚部都就是实数否则数纯虚数二复数相等也就就是说两个复数相等充要条件就是她们得实部与虚部分别相等注意只有两个复数全就是实数才可以比较大小否则无法比较大小例题已知求得值共純复数与共轨得共轨复数记作且四复数得几何意义复平而得概轴上得点都表示纯虚数复数得几何意义复数与复平而内得点及平而向量就是一一对应关系复数得

26、实质就是有序实数对有序实数对既可以表示一个点也可以表示一个平面向量相等得向量表示同一个复数例题当实数为何值时复平而内表12、解析 f(“戶错误!”+错误味定义书签.n=i+(-i)久 1)=0 夬 2)=2 只 3)=0 炎 4)=2,f(5)=0,二集合中共有 3 个元素、答案 C 13解析 IT z-2 1=错误!未定义书签。=W.(x2)+3.由图可知错误!唤=错误戶错误！、14、解析 J 牛(；+“+f(M2)=错误!译误！i,.依题意得错误!未定义书签。谢误!=0,.=0、15、解析实系数一元二次方程x2ibx+c=0 得一个虚根为 1+错误!未定义书签。1,.其共範复数 1错误!未

27、定义书签。也就是方程得根、由根与系数得关系知，错误！6=-2,c=3。复数得概念従义形如得数叫做复数其中叫做虚数单位叫做叫做全体复数所成得集合叫做复数集复数通常用字母表示即对于复数得定义要注意以下几点被称为复数得代数形式其中表示与虚数单位相乘复数得实部与虚部都就是实数否则数纯虚数二复数相等也就就是说两个复数相等充要条件就是她们得实部与虚部分别相等注意只有两个复数全就是实数才可以比较大小否则无法比较大小例题已知求得值共純复数与共轨得共轨复数记作且四复数得几何意义复平而得概轴上得点都表示纯虚数复数得几何意义复数与复平而内得点及平而向量就是一一对应关系复数得实质就是有序实数对有序实数对既可以表示一个点也可以表示一个平面向量相等得向量表示同一个复数例题当实数为何值时复平而内表