高考第一轮复习平面与空间直线直线与平面平行平面与平面平行理中学教育高考_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 年 级 高三 学 科 数学（理）版 本 人教版（理）内容标题 高考第一轮复习平面与空间直线；直线与平面平行；平面与平面平行 编稿老师 刘震 【本讲教育信息】一.教学内容：平面与空间直线；直线与平面平行；平面与平面平行 二.本周教学重、难点：1.掌握平面的基本性质，两条直线平行与垂直的判定和性质定理，两条直线所成的角和距离的概念。2.掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理和性质定理；直线和平面的距离；平面和平面间的距离的概念。【典型例题】例 1 有空间不同的五个点。（1）若有某四点共面，则这五点最多可确定多少个平面？（2）若任意四点都在同一平面内，则这五点共能确定多少个

2、平面？并证明你的结论。解：（1）当共面的某四点不共线，另一点不在该平面内时，这五点确定的平面最多，如图，最多可确定 7 个平面。（2）若任意四点都在同一平面内时，这五点必共面，证明如下：若 A、B、C、D 四点在内，又 A、B、C、P 在同一平面内，可分如下情况证明：若 A、B、C 三点不共线，则为 A、B、C 确定的平面，P 在内，五点共面；若 A、B、C 三点在直线l上，则 当 D 或 P 也在l上时，五点共面；若 D、P 都不在l上，则 DP 直线与 AB 直线必在 A、B、D、P 所在的平面上，C 也在这一平面内，从而五点也共面。例2 已知长方体DCBAABCD中，AB=)(,bacA

3、AbBCa，求异面直线BD和 AC 所成角的余弦。学习必备 欢迎下载 解析：方法一：平移法。如图，连结 BD 交 AC 于 E，取DD 的中点 F，连结 EF，则BDEF21/FEA就是BD和 AC 所成的角 22baAE 24,222222cbAFcbaEF 在FEA中，AEEFAFAEEFFEA2cos222)(2222222cbababa 方法二：补形法。如图，在长方体的一旁，补一个全等的长方体。则BEDACBE,/（或其补角）是BD和 AC 所成的角。22222224,caEDbaBEcbaBD 在BED中，BEBDEDBEBDBED2cos222 0)(2222222cbababa

4、故BD与 AC 所成角的余弦值为)(2222222cbababa 例 3 如图所示，在三棱锥ABCD 中，DA平面 ABC，90ACB，30ABD，AC=BC。求异面直线 AB 与 CD 所成的角的余弦值。面与平面平行编稿老师刘震本讲教育信息一教学内容平面与空间直线直线与平面平行平面与平面平行二本周教学重难点掌握平面的基本性质两条直线平行与垂直的判定和性质定理两条直线所成的角和距离的概念掌握直线与平面平行个点若有某四点共面则这五点最多可确定多少个平面若任意四点都在同一平面内则这五点共能确定多少个平面并证明你的结论解当共面的某四点不共线另一点不在该平面内时这五点确定的平面最多如图最多可确定个平面

5、若任意四点平面在内五点共面若三点在直线上则当或也在上时五点共面若都不在上则直线与直线必在所在的平面上也在这一平面内从而五点也共面例已知长方体中异面直线和所成角的余弦学习必备欢迎下载解析方法一平移法如图连结交于取的学习必备 欢迎下载 解：以 AB、BC 为邻边作ABCM，则DCM是异面直线 AB、CD 所成的角，如图所示，设 AC=BC=a 90ACB ABaMCa2,2 DA平面 ABC 90DAMDACDAB 30ABD aDA36 又 AM=a DM=DC=a315 10302cos222MCDCDMMCDCDCM 例 4 如图，已知正方形 ABCD，边长为 1，过 D 作 PD平面 AB

6、CD，且 PD=1，E、F 分别是 AB 和 BC 的中点。（1）求 D 点到平面 PEF 的距离；（2）求直线 AC 到平面 PEF 的距离。解：（1）方法一：因为 EFBD，EFPD，所以 EF平面 PDB 所以平面 PEF平面 PDB，交线为 PG 所以 D 点到平面 PEF 的距离，就是 D 到 PG 的距离h 在PDG中，PGDGPDh，而243,1 DGPD 43416181PG，所以171734342431h就是 D 到平面 PEF 的距离。方法二：因为DEFPPEFDVV，即PDShSDEFPEF3131 面与平面平行编稿老师刘震本讲教育信息一教学内容平面与空间直线直线与平面平

7、行平面与平面平行二本周教学重难点掌握平面的基本性质两条直线平行与垂直的判定和性质定理两条直线所成的角和距离的概念掌握直线与平面平行个点若有某四点共面则这五点最多可确定多少个平面若任意四点都在同一平面内则这五点共能确定多少个平面并证明你的结论解当共面的某四点不共线另一点不在该平面内时这五点确定的平面最多如图最多可确定个平面若任意四点平面在内五点共面若三点在直线上则当或也在上时五点共面若都不在上则直线与直线必在所在的平面上也在这一平面内从而五点也共面例已知长方体中异面直线和所成角的余弦学习必备欢迎下载解析方法一平移法如图连结交于取的学习必备 欢迎下载 所以1717343422211)2432221

8、(PEFDEFSPDSh 所以 D 到平面 PEF 的距离是17173（2）连结 AC 交 BD 于 O，则 O 到平面 PEF 的距离就为所求，因为平面 PDG平面PEF，所以 O 到 PG 的距离就是 O 到平面的距离，如图所示 在PDGRt中，OHPG，所以OHGPDG 所以241,1,OGPDOGPGOHPD 434)243(12PG 所以17171714342411OH 所以 AC 到平面 PEF 的距离是1717 例 5 如图，已知正方体DCBAABCD中，面对角线BA、CB 上分别有两点 E、F且EB=FC。求证：（1）EF/平面 ABCD；（2）平面/DAC 平面CBA 证明：

9、（1）证法一：过 E、F 分别作 AB、BC 的垂线 EM、FN 分别交 AB、BC 于 M、N 连结 MN，BB平面 ABCD BCBBABBB,面与平面平行编稿老师刘震本讲教育信息一教学内容平面与空间直线直线与平面平行平面与平面平行二本周教学重难点掌握平面的基本性质两条直线平行与垂直的判定和性质定理两条直线所成的角和距离的概念掌握直线与平面平行个点若有某四点共面则这五点最多可确定多少个平面若任意四点都在同一平面内则这五点共能确定多少个平面并证明你的结论解当共面的某四点不共线另一点不在该平面内时这五点确定的平面最多如图最多可确定个平面若任意四点平面在内五点共面若三点在直线上则当或也在上时五点

10、共面若都不在上则直线与直线必在所在的平面上也在这一平面内从而五点也共面例已知长方体中异面直线和所成角的余弦学习必备欢迎下载解析方法一平移法如图连结交于取的学习必备 欢迎下载 BBFNBBEM/,/FNEM/FCEBCBBA,AE=BF 又 45BCCABB BNFRtAMERt EM=FN 四边形 MNFE 是平行四边形 EF/MN 又 MN平面 ABCD EF/平面 ABCD 证法二：过 E 作 EG/AB 交BB 于 G，连结 GF BBGBABEB BCABFCEB,BBGBBCFC BCCBFG/又 BBCABGFGEG,平面 EFG/平面 ABCD 又 EF平面 EFG EF/平面

11、ABCD（2）证法一：如图所示，正方体DCBAABCD中，ABDCCBDA/,/又DCDA=BABCBD,平面/DAC 平面CBA 证法二：连结DB BA平面DA，DADA DBDA（三垂线定理）同理，DCDB，又DDCDA DB平面DAC 同理，DB平面CBA 平面/DAC 平面CBA 例 6 如图所示，AABC 是边长为a的正方形纸片，BCD是正三角形，若去掉AAD，分别以 BD、CD 为棱将面 ABD，CDA翻折，使 A 和A重合，构成四面体形状，如图所示，求四面体 ABCD 中 A 点到平面 BCD 的距离。解：BCD为等边三角形 306090ABD ABDBDABBDABADcos2

12、22 aaaa3230cos2222 面与平面平行编稿老师刘震本讲教育信息一教学内容平面与空间直线直线与平面平行平面与平面平行二本周教学重难点掌握平面的基本性质两条直线平行与垂直的判定和性质定理两条直线所成的角和距离的概念掌握直线与平面平行个点若有某四点共面则这五点最多可确定多少个平面若任意四点都在同一平面内则这五点共能确定多少个平面并证明你的结论解当共面的某四点不共线另一点不在该平面内时这五点确定的平面最多如图最多可确定个平面若任意四点平面在内五点共面若三点在直线上则当或也在上时五点共面若都不在上则直线与直线必在所在的平面上也在这一平面内从而五点也共面例已知长方体中异面直线和所成角的余弦学习

13、必备欢迎下载解析方法一平移法如图连结交于取的学习必备 欢迎下载 AB=AC=BC ABC与BCD都是等边三角形 取 BC 的中点 E，连结 AE、DE，则 BCAE，BCDE BC截面 ADE 底面 BCD截面 ADE 过 A 作 AFDE 于 F，则 AF底面 BCD 在ADE中，aDEAE23 2222222)23(2)32()23()23(2cosaaaaDEAEADDEAEAED 3132 1332sin AEF 故 A 到平面 BCD 的距离为 AF=AEAEFsin aa)13(331133223 例 7 如图所示，在四棱锥ABCDV 中，底面四边形 ABCD 是边长为 4 的菱形

14、，并且120BAD，VA=3，VA底面 ABCD，O 是 AC、BD 的交点，OEVC 于 E。求：（1）点 V 到 CD 的距离；（2）异面直线 VC 与 BD 的距离；（3）点 B 到平面 VCD 的距离。解：（1）由已知120BAD 60ADC ACD是正三角形，取 CD 的中点 F，连结 AF、VF，则 CDAF 又 VA面 ABCD CDVF（三垂线定理）VF 为点 V 到 CD 的距离 AD=4 AF=32 面与平面平行编稿老师刘震本讲教育信息一教学内容平面与空间直线直线与平面平行平面与平面平行二本周教学重难点掌握平面的基本性质两条直线平行与垂直的判定和性质定理两条直线所成的角和距

15、离的概念掌握直线与平面平行个点若有某四点共面则这五点最多可确定多少个平面若任意四点都在同一平面内则这五点共能确定多少个平面并证明你的结论解当共面的某四点不共线另一点不在该平面内时这五点确定的平面最多如图最多可确定个平面若任意四点平面在内五点共面若三点在直线上则当或也在上时五点共面若都不在上则直线与直线必在所在的平面上也在这一平面内从而五点也共面例已知长方体中异面直线和所成角的余弦学习必备欢迎下载解析方法一平移法如图连结交于取的学习必备 欢迎下载 21)32(3222AFVAVF（2）底面四边形 ABCD 是菱形 BDAC 又 VA底面 ABCD VABD BD面 VAC BDOE 由已知 OE

16、VC OE 是异面直线 BD 和 VC 的公垂线段 由（1）可知221 ACOC 5432222ACVAVC CAVCEO VCOCVAOE 56523VCOCVAOE（3）AB/CD AB/面 VCD，点 B 到平面 VCD 的距离就等于点 A 到平面 VCD的距离 过 A 作 AHVF 于 H 由（1）知 CD面 VAF CDAH 故 AH面 VCD AH 是点 A 到面 VCD 的距离 在VAFRt中，VA=3，AF=32，VF=21，VFVHVA2 7213VH 776)7213(32222VHVAAH 【模拟试题】（答题时间：60 分钟）一.选择题：1.平行于同一个平面的两条直线的位

17、置关系是（）A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或相交或异面 2.正方体1111DCBAABCD 中，P、Q、R 分别是 AB、AD、11CB的中点，那么，正方体的过 P、Q、R 的截面图形是（）A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 3.在下列关于直线l、m与平面、的命题中，真命题是（）A.若l且，则l B.若l且/，则l C.若l且，则/l D.若m且ml/，则/l 4.在正四面体 PABC 中，D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是（）面与平面平行编稿老师刘震本讲教育信息一教学内容平面与空间直线直线与平面平行平面与平面平行二本周教学重难点掌握平面

18、的基本性质两条直线平行与垂直的判定和性质定理两条直线所成的角和距离的概念掌握直线与平面平行个点若有某四点共面则这五点最多可确定多少个平面若任意四点都在同一平面内则这五点共能确定多少个平面并证明你的结论解当共面的某四点不共线另一点不在该平面内时这五点确定的平面最多如图最多可确定个平面若任意四点平面在内五点共面若三点在直线上则当或也在上时五点共面若都不在上则直线与直线必在所在的平面上也在这一平面内从而五点也共面例已知长方体中异面直线和所成角的余弦学习必备欢迎下载解析方法一平移法如图连结交于取的学习必备 欢迎下载 A.BC/平面 PDF B.DF平面 PAE C.平面 PDF平面 ABC D.平面

19、PAE平面 ABC 5.以下四个命题：一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面平行；一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行；过平面外一点和这个平面平行的直线有且只有一条；平行于同一平面的两条直线互相平行，其中错误命题的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4 6.两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（）A.平行 B.相交 C.异面 D.以上均有可能 7.如图，在棱长为 3 的正方体1111DCBAABCD 中，M、N 分别是棱1111DABA、的中点，则点 B 到平面 AMN 的距离是（）A.29 B.3 C.556 D.2 8.如图，正方体111

20、1DCBAABCD 的棱长为 1，E 是 A1B1的中点，则 E 到平面 ABC1D1的距离是（）A.23 B.22 C.21 D.33 二.解答题：1.已知有公共边 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一个平面内，P、Q 分别是对角线 AE、BD 上的点，且 AP=DQ，如图所示。求证：PQ/平面 CBE 面与平面平行编稿老师刘震本讲教育信息一教学内容平面与空间直线直线与平面平行平面与平面平行二本周教学重难点掌握平面的基本性质两条直线平行与垂直的判定和性质定理两条直线所成的角和距离的概念掌握直线与平面平行个点若有某四点共面则这五点最多可确定多少个平面若任意四点都在同一平面内

21、则这五点共能确定多少个平面并证明你的结论解当共面的某四点不共线另一点不在该平面内时这五点确定的平面最多如图最多可确定个平面若任意四点平面在内五点共面若三点在直线上则当或也在上时五点共面若都不在上则直线与直线必在所在的平面上也在这一平面内从而五点也共面例已知长方体中异面直线和所成角的余弦学习必备欢迎下载解析方法一平移法如图连结交于取的学习必备 欢迎下载 2.如图，正三棱柱111CBAABC 的底面边长为 8，对角线101BC，D 为 AC 的中点。（1）求证：1AB/平面BDC1；（2）求直线1AB到平面BDC1的距离。3.已知正四棱柱1111DCBAABCD，AB=1，AA1=2，点 E 为

22、CC1中点，点 F 为 BD1中点。（1）证明 EF 为 BD1与 CC1的公垂线；（2）求点 D1到面 BDE 的距离。面与平面平行编稿老师刘震本讲教育信息一教学内容平面与空间直线直线与平面平行平面与平面平行二本周教学重难点掌握平面的基本性质两条直线平行与垂直的判定和性质定理两条直线所成的角和距离的概念掌握直线与平面平行个点若有某四点共面则这五点最多可确定多少个平面若任意四点都在同一平面内则这五点共能确定多少个平面并证明你的结论解当共面的某四点不共线另一点不在该平面内时这五点确定的平面最多如图最多可确定个平面若任意四点平面在内五点共面若三点在直线上则当或也在上时五点共面若都不在上则直线与直线

23、必在所在的平面上也在这一平面内从而五点也共面例已知长方体中异面直线和所成角的余弦学习必备欢迎下载解析方法一平移法如图连结交于取的学习必备 欢迎下载【试题答案】一.1.D 2.D 解析：过 R 作 RS/QP，交11DC于 R，于是 R、Q、P 三点共面，且 RS/QP，所以截面不可能是三角形和五边形，排除 A、C，不难证明 BB1和 DD1的中点也在平面 RSQP 上，所以截面不可能是四边形，故选 D。3.B 4.C 解析：如图所示，在正四面体 PABC 中 D、F 为中点 BC/DF BC/面 PDF 选项 A 成立 AEBC AEDF 又 BCPE BC面 PAE，DF/BC DF面 PA

24、E 选项 B 成立 又 DF面 ABC 面 PAE面 ABC 选项 D 成立 由上知，不成立的是选项 C 5.D 解析：中的直线可能在平面内，是错误的，可有无数条直线与平面平行，显然是错误的，故选 D。6.D 7.D 解析：连结 MB、NB，49VAMN-B ABMNV 设点 B 到面 AMN 的距离为h，则24931hhSAMN 8.B 解析：因为在正方体1111DCBAABCD 中，11BA平行于平面11DABC，所以点 E 到平面 ABC1D1，的距离转化为点 B1到平面11DABC的距离，即22211CB，故选 B。二.1.证明：如图，作 PM/AB 交 BE 于点 M，作 QN/AB

25、 交 BC 于点 N，则 PM/QN 由DQAPBDBQCDQNEAEPABPM,，BQEP 又 AB=CD，EA=BD QNPM/四边形 PMNQ 是平行四边形 PQ/MN 综上所述，PQ平面 CBE，MN平面 CBE，PQ/MN PQ/平面 CBE 面与平面平行编稿老师刘震本讲教育信息一教学内容平面与空间直线直线与平面平行平面与平面平行二本周教学重难点掌握平面的基本性质两条直线平行与垂直的判定和性质定理两条直线所成的角和距离的概念掌握直线与平面平行个点若有某四点共面则这五点最多可确定多少个平面若任意四点都在同一平面内则这五点共能确定多少个平面并证明你的结论解当共面的某四点不共线另一点不在该

26、平面内时这五点确定的平面最多如图最多可确定个平面若任意四点平面在内五点共面若三点在直线上则当或也在上时五点共面若都不在上则直线与直线必在所在的平面上也在这一平面内从而五点也共面例已知长方体中异面直线和所成角的余弦学习必备欢迎下载解析方法一平移法如图连结交于取的学习必备 欢迎下载 2.（1）证明：连结1BC与CB1交于点 O，连结 OD，则 OD 是CAB1的中位线 ODAB/1 又 OD平面1DBC，1AB平面1DBC /1AB平面BDC1（2）/1AB平面BDC1 AB1与平面 C1BD 的距离等于 A 到平面 C1BD 的距离 D 是 AC 的中点 A 到平面 C1BD 的距离等于 C 到

27、平面 C1BD 的距离 BDAC，平面 ABC平面 ACC1A1，BD平面 ABC BD平面 ACC1A1 BD平面 C1BD 平面 C1BD平面 ACC1A1 过 C 作 CHC1D 于 H CH平面 C1BD 由CDCCDCCH11知131312CH 即1AB到平面BDC1的距离为131312 3.解析：（1）证明：如图，取 BD 中点 M，连结 MC、FM F 为 BD1的中点 FM/DD1，且DDFM121 又 EC=121CC且MCEC 四边形 EFMC 为矩形 EFCC1 又 CM平面 DBD1 EF平面 DBD1 1BD面 DBD1 EFBD1 故 EF 为 BD1和 CC1的公

28、垂线（2）连结 ED1，有DBEDDBDEVV11 由（1）知 EF平面 DBD1，设点 D1到平面 BDE 的距离为d，则EFSdSDBDDBE1 AA1=2，AB=1 BD=BE=ED=2，EF=22 23,21DBEDBDSS 332d 故点 D1到平面 DBE 的距离为332 面与平面平行编稿老师刘震本讲教育信息一教学内容平面与空间直线直线与平面平行平面与平面平行二本周教学重难点掌握平面的基本性质两条直线平行与垂直的判定和性质定理两条直线所成的角和距离的概念掌握直线与平面平行个点若有某四点共面则这五点最多可确定多少个平面若任意四点都在同一平面内则这五点共能确定多少个平面并证明你的结论解

29、当共面的某四点不共线另一点不在该平面内时这五点确定的平面最多如图最多可确定个平面若任意四点平面在内五点共面若三点在直线上则当或也在上时五点共面若都不在上则直线与直线必在所在的平面上也在这一平面内从而五点也共面例已知长方体中异面直线和所成角的余弦学习必备欢迎下载解析方法一平移法如图连结交于取的学习必备 欢迎下载 面与平面平行编稿老师刘震本讲教育信息一教学内容平面与空间直线直线与平面平行平面与平面平行二本周教学重难点掌握平面的基本性质两条直线平行与垂直的判定和性质定理两条直线所成的角和距离的概念掌握直线与平面平行个点若有某四点共面则这五点最多可确定多少个平面若任意四点都在同一平面内则这五点共能确定多少个平面并证明你的结论解当共面的某四点不共线另一点不在该平面内时这五点确定的平面最多如图最多可确定个平面若任意四点平面在内五点共面若三点在直线上则当或也在上时五点共面若都不在上则直线与直线必在所在的平面上也在这一平面内从而五点也共面例已知长方体中异面直线和所成角的余弦学习必备欢迎下载解析方法一平移法如图连结交于取的