八年级数学勾股定理1中学教育中考_中学教育-中考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第 1章 勾股定理 本章教材分析 本章主要介绍勾股定理及其逆定理，以及这两个定理的应用，具体内容如下：探索勾股定理；验证勾股定理；探索直角三角形的判别条件以及勾股定理及其逆定理在实际中的应用。勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就，是反映自然界基本规律中的一条重要结论。它对数学的发展起着重要作用。它揭示了直角三角形的本条边之间的数量关系，为将来解直角三角形提供了有利武器。课本中通过数格子的办法，让学生经历探索、发现直角三角形三边间的数量关系，利用拼图的方法论证勾股定理的合理性，体会证明方法的多样性，通过勾股定理的实际生活中的广泛应用，让学生感受到它可以帮助我们解决很多与线段求

2、值相关的问题。课本中介绍了古埃及人做直角的方法，通过学生亲手制作、度量，发现勾股定理的逆定理。逆定理是证明一个角是直角的主要方法之一，也是证明一个三角形是直角三角形的重要依据，它体现了数学的重要思想数形结合思想。通过定理“探索发现证明”，渗透了数学的转化思想。1。1 探索勾股定理 一、学习目标定位 1经历探索数格子的方法发现勾股定理，并利用拼图的方法论证勾股定理的存在。2结合具体的情境，理解和掌握“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”。3探索和实际操作掌握勾股定理在实际生活中的应用。4体会勾股定理的悠久历史及重大意义，通过定理的探索、验证过程，培养学生的数学转化能力、观察分析能力，进一

3、步渗透数形结合思想，提高学生解决问题的能力。二、重点难点解析 重点是对勾股定理的理解，以及运用勾股定理去解决一些相关的实际问题。难点是勾股定理的探索和验证过程中，进一步体会数形结合的思想，学习中应注意加辅助线的方法。三、教学方法 启发式教学 四、教学过程 教学过程（第一课时）（一）创设问题的情境，激发学生的学习热情：我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系。那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理

4、。介绍章前的图文 P1：我国是最早了解勾股定理的国家之一介绍商高（三千多年前周期数学家）。课本中 P2（图 1 一 2）并回答：1观察图 1 一 2，正方形 A 中有 个小方格，即 A 的面积为个 面积单位。正方形 B 中有 个小方格即 B 的面积为 个面积单位。正方形 C 中有 个小方格，即 C 的面积为 个面积单位。2你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问。3图 l 一 2 中，A、B、C 之间的面积之间有什么关系？学习必备 欢迎下载 在学生交流后形成共识老师板书。A+BC，接着提出图 1 一 1 中 A、B、C 的关系呢？（二）做一做 观察：课本中 P3 图 1 一

5、3，图 1 一 4)提问：1、图 1 一 3 中，A、B、C 之间有什么关系？2、图 1 一 4 中，A、B、C 之间有什么关系？3、从图 1 一 l、1 一 2、1 一 3、l 一 4 中你发现了什么？在学生讨论、交流形成共识后，老师总结：以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积。（三）议一议 1图 1 一 1、1 一 2、1 一 3、1 一 4 中，你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？2你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在同学的交流基础上，老师板书：直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理”。也就是说：如果直角三角形的两直角边为

6、a、b，斜边为 c。那么222cba 我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。3分别以 5 厘米和 12 厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度（学生测量后回答斜边为 13）请大家想一想（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？（回答是肯定的：成立。）4练习：P5 2 题这里的 29 英寸（74 厘米）的申视机，指的是屏幕的长吗？指的屏幕的宽吗？那它指的是什么呢？（四）巩固练习精选练习，掌握应用：勾股定理的应用是本节教学的重点，一定要让学生熟练地掌握在直角三角形中已知两边求第三边的方法，为此，可设计下列三组具有梯度性的练习：练习 1(填空

7、题)已知在 RtABC中，C=90。若 a=3，b=4，则 c=_；若 a=40，b=9，则 c=_；若 a=6，c=10，则 b=_；若 c=25，b=15，则 a=_。练习 2(填空题)已知在 RtABC中，C=90，AB=10。若A=30，则 BC=_，AC=_；若A=45，则 BC=_，AC=_。练习 3 已知等边三角形 ABC的边长是 6cm。求：(1)高 AD的长；(2)ABC的面积ABCS。如下探索勾股定理验证勾股定理探索直角三角形的判别条件以及勾股定理及其逆定理在实际中的应用勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就是反映自然界基本规律中的一条重要结论它对数学的发展起着重要作用它揭示

8、了直角三角角三角形三边间的数量关系利用拼图的方法论证勾股定理的合理性体会证明方法的多样性通过勾股定理的实际生活中的广泛应用让学生受到它可以帮助我们解决很多与线段求值相关的问题课本中介绍了古埃及人做直角的方法通过学角形的重要依据它体现了数学的重要思想数形结合思想通过定理探索发现证明渗透了数学的转化思想探索勾股定理一学习目标定位经历探索数格子的方法发现勾股定理并利用拼图的方法论证勾股定理的存在结合具体的情境理解和掌学习必备 欢迎下载 第二课时（一）创设问题情境，激发学生学习热情，导入课题 我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就

9、是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c 为边长的正方形，并与同学们交流。在同学操作的过程中，教师展示投影 1（书中 P7 图 17）接着提问：大正方形的面积可表示为什么？同学们回答有两种可能：（1）2)(ba （2）2421cab 在同学交流形成共识后教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。22421)(cabba 请同学们对上式进行化简，得到：22222cabbaba即 222cba 这就可以从理论上说明了勾股定理存在。请同学们回去用别的拼图方法说明勾股定理。（二）讲解例题 例 1、飞机在

10、空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方 4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶 5000 米，飞机每时飞行多少千米？分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形。如右图，图中ABC 的C90，AC=4000 米，AB=5000 米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道 20 秒时间里飞行的路程，即图中的 CB 的长，由于 ABC 的斜边 AB=5000 米，AC=4000 米，这样 BC 就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算。解：由勾股定理得)(945222222千米ACABBC 即 BC=3 千米 飞机 20 秒飞行 3 千米 那么它 l 小时飞行的距离为：540

11、3203600（千米时）答：飞机每小时飞行 540 千米。（三）练习：随堂练习 P10 1，数学理解 P11 2 题 第三课时（一）在经历了数格子与拼图之后，同学们对于勾股定理已清晰的理解了，并且也有了一些应用的能力。在我们几何学中补（即拼）与割是常用的作图方法。那么对于“割”在直如下探索勾股定理验证勾股定理探索直角三角形的判别条件以及勾股定理及其逆定理在实际中的应用勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就是反映自然界基本规律中的一条重要结论它对数学的发展起着重要作用它揭示了直角三角角三角形三边间的数量关系利用拼图的方法论证勾股定理的合理性体会证明方法的多样性通过勾股定理的实际生活中的广泛应用让学

12、生受到它可以帮助我们解决很多与线段求值相关的问题课本中介绍了古埃及人做直角的方法通过学角形的重要依据它体现了数学的重要思想数形结合思想通过定理探索发现证明渗透了数学的转化思想探索勾股定理一学习目标定位经历探索数格子的方法发现勾股定理并利用拼图的方法论证勾股定理的存在结合具体的情境理解和掌学习必备 欢迎下载 角三角形的勾股定理中又如何体现呢？（二）操作：把最小与最大的两个正方形分别绕着直角三角形的直角形与斜边对折，可得到图 111，以勾为边的正方形假定为“朱方”，以股为边的正方形假定为“青方”，用移动的方法可以将朱、青二方并成弦方。依据它们的面积关系有：222cba。这就是我国历史上有名的魏晋时

13、期的刘徽的“青朱出入图”。上面的方法是几何学中典型的割补作图法的割法作图，它只须移动几块图形就直观地证明了勾股定理，真是“无字证明”，伟大的证明。（三）练习：随堂练习：P15 1 题 四、布置作业：P7 目 1，2 题；P15 问题解决 1 题 五、归纳小结 本节课经历了数格子、拼图、与割补的方法对勾股定理多方面的学习，使学习在理解的基础上得到应用。1。2 能得到直角三角形吗 一、学习目标定位 1通过实际作图得到直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理），弄清定理的条件和结论，并能与勾股定理相区别。2能够运用勾股定理逆定理，判断一个三角形是否是直角三角形，并能进行简单的应用。3理解勾股数的含义

14、，探索常用勾股数的规律。4学习本节知识，要仔细观察图形，亲自做一做，验证三角形的三边长 a、b、c 是否满足条件222cba。学习中要注意利用数形结合的方法来帮助理解问题、解决问题，并及时运用所学的方法来尝试解决一些有关的实际问题。二、重点难点解析 重点是通过作图得到直角三角形的差别条件（即勾股定理的逆定理）和探索勾股数的规律，难点是如何确定三角形三边中的最大边，以及利用222cba。三、教学方法 启发式教学 四、教学过程 第一课时（一）引入 1复习勾股定理。2复习直角三角形的有关概念（定义、角、边）。3提出问题：从角中我们可以判别三角形是否为直角三角形，那么从边上又将如何判别？（二）总结，得

15、出勾股定理的逆定理。1通过运用 SSS 的作图方式得到符合222cba的三边能构成一个直角三角形。2总结得出勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足222cba，那么这个三角形是直角三角形。如下探索勾股定理验证勾股定理探索直角三角形的判别条件以及勾股定理及其逆定理在实际中的应用勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就是反映自然界基本规律中的一条重要结论它对数学的发展起着重要作用它揭示了直角三角角三角形三边间的数量关系利用拼图的方法论证勾股定理的合理性体会证明方法的多样性通过勾股定理的实际生活中的广泛应用让学生受到它可以帮助我们解决很多与线段求值相关的问题课本中介绍了古埃及人做直角的方法通

16、过学角形的重要依据它体现了数学的重要思想数形结合思想通过定理探索发现证明渗透了数学的转化思想探索勾股定理一学习目标定位经历探索数格子的方法发现勾股定理并利用拼图的方法论证勾股定理的存在结合具体的情境理解和掌学习必备 欢迎下载 并把满足222cba的三个正整数，称为勾股数。4练习：P18 1（三）例题讲解 1P18 例 1 2练习：P19（随堂练习）2，P20 2 五、小结 本节通过作图得到了勾股定理的逆定理，并总结了勾股数。1。3 蚂蚁怎样走最近 一、学习目标定位 1明确解决路线最短问题，应转化为“在同一平面内，两点之间线段最短”，也就是将原来的曲面或多面展成一个平面去解决，培养学生将空间问题

17、转化为平面问题去解决的能力。2构造直角三角形，运用勾股定理求线段的长。二、重点难点解析 重点：勾股定理的应用是现实生活中的“线路最短”问题，重点是将曲面或多面转化为平面，并注意立方体的展开图的不同方法。难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。三、教学过程 1创设问题情境，引入新课 前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？例如：欲登 12 米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物 5 米，至少需多长的梯子？根据题意，(如图)AC 是建筑物，则 AC=12 米，BC=5 米，AB 是梯子的长度。所以在 RtABC 中，AB2=AC2+BC2=

18、122+52=132；AB=13 米。所以至少需 13 米长的梯子。2讲授新课：、蚂蚁怎么走最近 AB AB 出示问题：有一个圆柱，它的高等于 12 厘米，底面半径等于 3 厘米在圆行柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 A 点相对的 B 点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(的值取 3)如下探索勾股定理验证勾股定理探索直角三角形的判别条件以及勾股定理及其逆定理在实际中的应用勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就是反映自然界基本规律中的一条重要结论它对数学的发展起着重要作用它揭示了直角三角角三角形三边间的数量关系利用拼图的方法论证勾股定理的合理性体会证明方法的多样性通过勾股定理的实际

19、生活中的广泛应用让学生受到它可以帮助我们解决很多与线段求值相关的问题课本中介绍了古埃及人做直角的方法通过学角形的重要依据它体现了数学的重要思想数形结合思想通过定理探索发现证明渗透了数学的转化思想探索勾股定理一学习目标定位经历探索数格子的方法发现勾股定理并利用拼图的方法论证勾股定理的存在结合具体的情境理解和掌学习必备 欢迎下载（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从 A 点到 B 点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从 A 点到 B 点的最短路线是什么?你画对了吗?（3）蚂蚁从 A 点出发，想吃到 B 点上的食物，它沿圆柱侧面爬行

20、的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果）我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形。好了，现在咱们就用剪刀沿母线 AA将圆柱的侧面展开(如下图)。我们不难发现，刚才几位同学的走法：(1)AAB；(2)ABB；(3)ADB；(4)AB。哪条路线是最短呢？你画对了吗？第(4)条路线最短。因为“两点之间的连线中线段最短”。、做一做：教材 14 页。李叔叔随身只带卷尺检测 AD，BC 是否与底边 AB 垂直，也就是要检测 DAB=90，CBA=90。连结 BD 或 AC，也就是要检测DAB 和CBA是否为直角三角形。很显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题。3练习：P23 随堂练习 1 4试

21、一试(课本 P15)五、小结 这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题。我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型。本章内容小结 本章教材的知识点主要有勾股定理和勾股定理的逆定理及其应用 一、构建知识网络 应用勾股逆定理直角三角形的判定应用历史勾股定理三边的关系直角三角形、二、复习指导 在运用勾股定理时一定要有三角形为直角三角形这个前提；在判定一个三角形是否为直角三角形时不能只从某两条边的平方和是否等于第三边的平方来进行判断，我们的建议是找出所有的情形再判断（当然成立的情形只有一种可能）。另外通过图形展开求最近距离体现了勾股定理的运用。注意

22、展开方式是否唯一。从全国各地近几年中考试题来看，对于勾股定理及其逆定理的考查，从题型上来看有选择题、填空题等客观题，也有证明题、计算题、解答题，近两年涉及本章内容还出现了阅读题、探索题、分类讨论等新题型，特别是和工农业生产以及实际生活紧密相连的创新应用题，目的是考查运用数学知识解决实际问题以及创新能力，今后在中考试题中，这部分内容如下探索勾股定理验证勾股定理探索直角三角形的判别条件以及勾股定理及其逆定理在实际中的应用勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就是反映自然界基本规律中的一条重要结论它对数学的发展起着重要作用它揭示了直角三角角三角形三边间的数量关系利用拼图的方法论证勾股定理的合理性体会证明

23、方法的多样性通过勾股定理的实际生活中的广泛应用让学生受到它可以帮助我们解决很多与线段求值相关的问题课本中介绍了古埃及人做直角的方法通过学角形的重要依据它体现了数学的重要思想数形结合思想通过定理探索发现证明渗透了数学的转化思想探索勾股定理一学习目标定位经历探索数格子的方法发现勾股定理并利用拼图的方法论证勾股定理的存在结合具体的情境理解和掌学习必备 欢迎下载 多与其他知识一起综合出现。三、典型例题 1如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB 于点 D，ABC 的周长是 24，BC：AC=3：4，求 AB 和 CD 的长。分析：设 BC=x3，AC=x4，则22222225169xxxBCA

24、CAB 故xAB5，2,24543xxxx 2勾股数：（1）（3，4，5）（6，8，10）（5，12，13）（9，12，15）（8，15，17）（10，24，26）（16，30，34）（20，48，52）（11，60，61）（2）（nnn5,4,3）（22nm，mn2，22nm ）（12n，n2，12n）（122,12,2222nnnnn）3观察下面的表格所给出的三个数cbacba,，（1）试找出它们的共同点，并说明你的结论；（2）当21a时，求cb,的值。解：（1）各组数的共同点是：各组数均满足222cba；最小数a是奇数，其余的两个数cb,是连续的正整数；最小奇数的平方等于另外两个连续正整

25、数的和。由以上特点我们可猜想并说明这样一个结论：设x为大于 1 的奇数，将2x拆分为两个连续正整数之和，即)1(2yyx则1,yyx就构成一组简单的勾股数。因为)1(2yyx（x为大于 1 的奇数），所以22222)1(12)1(yyyyyyyx，所以1,yyx是一组勾股数。（2）运用以上结论，当21a时，221220441212，所以221,220cb。4给出一组式子：222222222222261024,17815,1068,543（1）你能发现关于上述式子中的一些规律吗？（2）请你运用所发现的规律，给出第 5 个式子；（3）请你证明你所发现的规律。解：（1）各组数的共同点是：各组数均满足

26、222cba；偶数b的平方等于另外两个连续正整数的和的 2 倍。由以上特点我们可猜想并说明这样一个结论：设xa 为大于等于 3 的数，则2xc，有244)2(2bxxx。（2）)2(2122xx，解得35x，则372 x，所以第 5 个式子为：如下探索勾股定理验证勾股定理探索直角三角形的判别条件以及勾股定理及其逆定理在实际中的应用勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就是反映自然界基本规律中的一条重要结论它对数学的发展起着重要作用它揭示了直角三角角三角形三边间的数量关系利用拼图的方法论证勾股定理的合理性体会证明方法的多样性通过勾股定理的实际生活中的广泛应用让学生受到它可以帮助我们解决很多与线段求值

27、相关的问题课本中介绍了古埃及人做直角的方法通过学角形的重要依据它体现了数学的重要思想数形结合思想通过定理探索发现证明渗透了数学的转化思想探索勾股定理一学习目标定位经历探索数格子的方法发现勾股定理并利用拼图的方法论证勾股定理的存在结合具体的情境理解和掌学习必备 欢迎下载 222371235（3）依上式可得：222)2(44)44(xxxxx 如下探索勾股定理验证勾股定理探索直角三角形的判别条件以及勾股定理及其逆定理在实际中的应用勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就是反映自然界基本规律中的一条重要结论它对数学的发展起着重要作用它揭示了直角三角角三角形三边间的数量关系利用拼图的方法论证勾股定理的合理性体会证明方法的多样性通过勾股定理的实际生活中的广泛应用让学生受到它可以帮助我们解决很多与线段求值相关的问题课本中介绍了古埃及人做直角的方法通过学角形的重要依据它体现了数学的重要思想数形结合思想通过定理探索发现证明渗透了数学的转化思想探索勾股定理一学习目标定位经历探索数格子的方法发现勾股定理并利用拼图的方法论证勾股定理的存在结合具体的情境理解和掌