八年级数学勾股定理的证明中学教育中考_中学教育-中学课件.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 勾股定理的证明【证法 1】（课本的证明）做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，再做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a+b，所以面积相等.即 abcabba214214222，整理得 222cba.【证法 2】（邹元治证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B 三点在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C、G、D 三点在一条直线上.RtHAE Rt

2、EBF,AHE=BEF.AEH+AHE=90,AEH+BEF=90.HEF=180 90=90.四边形 EFGH 是一个边长为 c 的 正方形.它的面积等于 c2.RtGDH RtHAE,HGD=EHA.HGD+GHD=90,EHA+GHD=90.又 GHE=90,DHA=90+90=180.ABCD 是一个边长为 a+b 的正方形，它的面积等于2ba.22214cabba.222cba.DGCFAHEBabcabcabcabcbabababacbacbacbacbacbacba学习必备 欢迎下载 ababccABCDE【证法 3】（赵爽证明）以 a、b 为直角边（ba），以 c 为斜 边作四

3、个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于ab21.把这四个直角三 角形拼成如图所示形状.RtDAH RtABE,HDA=EAB.HAD+HAD=90，EAB+HAD=90，ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c2.EF=FG=GH=HE=ba,HEF=90.EFGH 是一个边长为 ba 的正方形，它的面积等于2ab.22214cabab.222cba.【证法 4】（1876年美国总统 Garfield 证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B 三点在一条直线上.

4、RtEAD RtCBE,ADE=BEC.AED+ADE=90,AED+BEC=90.DEC=180 90=90.DEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c.又 DAE=90,EBC=90,ADBC.ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 221ba.222121221cabba.222cba.bacGDACBFEH再做三个边长分别为的正方形把它们像上图那样拼成两个正方形从图上可以看到这两个正方形的边长都是所以面积相等即整理得证法邹元治证明以为直角边以为斜边做四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直形它的面积等于又是一个边长为的正方形它的面积等于学习必备欢迎下载证法赵爽证

5、明以为直角边以为斜边作四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示形状是一个边长为的正方形它的面为直角边以为斜边作两个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于在一条直线上是一个等腰直角三角形它的面积等于又是一个直角梯形它的面积等于学习必备欢迎下载证法梅文鼎证明做四个全等的直角三角形设它们的两条直学习必备 欢迎下载 PHGFEDCBAabcabcabcabccccbacbaABCEFPQMN【证法 5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D、E、F 在一条直线上.过 C 作 A

6、C的延长线交 DF 于点 P.D、E、F 在一条直线上,且 RtGEF RtEBD,EGF=BED，EGF+GEF=90，BED+GEF=90，BEG=180 90=90.又 AB=BE=EG=GA=c，ABEG 是一个边长为 c 的正方形.ABC+CBE=90.RtABC RtEBD,ABC=EBD.EBD+CBE=90.即 CBD=90 .又 BDE=90，BCP=90，BC=BD=a.BDPC 是一个边长为 a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形.设多边形 GHCBE 的面积为 S，则,21222abSba abSc2122,222cba.【证法 6】（项明达证明）做两

7、个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba），斜边长为 c.再做一个边长为 c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C 三点在一条直线上.过点 Q 作 QPBC，交 AC 于点 P.过点 B 作 BMPQ，垂足为 M；再过点 F 作 FNPQ，垂足为 N.BCA=90，QPBC，MPC=90，BMPQ，BMP=90，BCPM 是一个矩形，即MBC=90 .QBM+MBA=QBA=90，ABC+MBA=MBC=90，QBM=ABC，又 BMP=90，BCA=90，BQ=BA=c，RtBMQ RtBCA.同理可证 RtQNF RtAEF.从而将问题转化为【证法 4】

8、（梅文鼎证明）.再做三个边长分别为的正方形把它们像上图那样拼成两个正方形从图上可以看到这两个正方形的边长都是所以面积相等即整理得证法邹元治证明以为直角边以为斜边做四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直形它的面积等于又是一个边长为的正方形它的面积等于学习必备欢迎下载证法赵爽证明以为直角边以为斜边作四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示形状是一个边长为的正方形它的面为直角边以为斜边作两个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于在一条直线上是一个等腰直角三角形它的面积等于又是一个直角梯形它的面积等于学习必备欢迎下载证法梅文鼎证明做四个全等的直

9、角三角形设它们的两条直学习必备 欢迎下载 【证法 7】（欧几里得证明）做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B 三点在一条直线上，连结 BF、CD.过 C 作 CLDE，交 AB 于点 M，交 DE 于点 L.AF=AC，AB=AD，FAB=GAD，FAB GAD，FAB 的面积等于221a，GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半，矩形 ADLM 的面积=2a.同理可证，矩形 MLEB 的面积=2b.正方形 ADEB 的面积 =矩形 ADLM 的面积+矩形 MLEB 的面积 222bac，即 222cba.【证法 8】（利用相似三角形性质证明）如图

10、，在 RtABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作 CDAB，垂足是 D.在ADC 和ACB 中，ADC=ACB=90，CAD=BAC，ADC ACB.ADAC=AC AB，即 ABADAC2.同理可证，CDB ACB，从而有 ABBDBC2.222ABABDBADBCAC，即 222cba.【证法 9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba），斜边长为 c.再做一个边长为 c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过 A 作 AFAC，AF 交 GT 于 F，AF 交 DT 于 R.过 B 作 BPA

11、F，垂足为 P.过 D 作 DE与 CB 的延长线垂直，垂足为 E，DE 交 AF 于 H.BAD=90，PAC=90，DAH=BAC.又 DHA=90，BCA=90，AD=AB=c，RtDHA RtBCA.DH=BC=a，AH=AC=b.ABDCacbcbacbaABCDEFGHMLK987654321PQRTHGFEDCBAabcabccc再做三个边长分别为的正方形把它们像上图那样拼成两个正方形从图上可以看到这两个正方形的边长都是所以面积相等即整理得证法邹元治证明以为直角边以为斜边做四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直形它的面积等于又是一个边长为的正方形它的面积等于学习

12、必备欢迎下载证法赵爽证明以为直角边以为斜边作四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示形状是一个边长为的正方形它的面为直角边以为斜边作两个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于在一条直线上是一个等腰直角三角形它的面积等于又是一个直角梯形它的面积等于学习必备欢迎下载证法梅文鼎证明做四个全等的直角三角形设它们的两条直学习必备 欢迎下载 由作法可知，PBCA 是一个矩形，所以 RtAPB RtBCA.即 PB=CA=b，AP=a，从而 PH=ba.RtDGT RtBCA,RtDHA RtBCA.RtDGT RtDHA.DH=DG=a，GDT=HDA.又 DGT=

13、90，DHF=90，GDH=GDT+TDH=HDA+TDH=90，DGFH 是一个边长为 a 的正方形.GF=FH=a.TFAF，TF=GTGF=ba.TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=ba，下底 BP=b，高 FP=a+（ba）.用数字表示面积的编号（如图），则以 c 为边长的正方形的面积为 543212SSSSSc abaabbSSS21438=abb212，985SSS，824321SabbSS=812SSb.把代入，得 98812212SSSSbSSc=922SSb=22ab.222cba.【证法 10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（ba），斜边的长为 c.做

14、三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A、E、G 三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.TBE=ABH=90，TBH=ABE.又 BTH=BEA=90，BT=BE=b，RtHBT RtABE.HT=AE=a.GH=GTHT=ba.又 GHF+BHT=90，DBC+BHT=TBH+BHT=90，GHF=DBC.DB=EBED=ba，HGF=BDC=90，RtHGF RtBDC.即 27SS.过 Q 作 QMAG，垂足是 M.由BAQ=BEA=90，可知 ABE MHQRTGFEDCBAcba87654321再做三个边长分别为的正方形把它们像上图那样拼成两个正

15、方形从图上可以看到这两个正方形的边长都是所以面积相等即整理得证法邹元治证明以为直角边以为斜边做四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直形它的面积等于又是一个边长为的正方形它的面积等于学习必备欢迎下载证法赵爽证明以为直角边以为斜边作四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示形状是一个边长为的正方形它的面为直角边以为斜边作两个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于在一条直线上是一个等腰直角三角形它的面积等于又是一个直角梯形它的面积等于学习必备欢迎下载证法梅文鼎证明做四个全等的直角三角形设它们的两条直学习必备 欢迎下载=QAM，而 AB=AQ=c

16、，所以 RtABE RtQAM.又 RtHBT RtABE.所以 RtHBT RtQAM.即 58SS.由 RtABE RtQAM，又得 QM=AE=a，AQM=BAE.AQM+FQM=90，BAE+CAR=90，AQM=BAE，FQM=CAR.又 QMF=ARC=90，QM=AR=a，RtQMF RtARC.即64SS.543212SSSSSc，612SSa，8732SSSb，又 27SS，58SS，64SS，8736122SSSSSba=52341SSSSS=2c，即 222cba.【证法 11】（利用切割线定理证明）在 RtABC 中，设直角边 BC=a，AC=b，斜边 AB=c.如图，

17、以 B 为圆心 a 为半径作圆，交 AB 及 AB 的延长线分别于 D、E，则 BD=BE=BC=a.因为BCA=90，点 C 在B 上，所以 AC 是B 的切线.由切割线定理，得 ADAEAC2=BDABBEAB=acac=22ac，即222acb，222cba.【证法 12】（利用多列米定理证明）在 RtABC 中，设直角边 BC=a，AC=b，斜边AB=c（如图）.过点 A作 ADCB，过点 B 作 BDCA，则 ACBD 为矩形，矩形 ACBD 内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有 BDACBCADDCAB，AB=DC=c，AD=BC=a，AC=

18、BD=b，222ACBCAB，即 222bac，222cba.【证法 13】（作直角三角形的内切圆证明）在 RtABC 中，设直角边 BC=a，AC=b，斜边 AB=c.作 RtABC 的内切圆O，切点分别为 D、E、F（如图），设O 的半径为 r.AE=AF，BF=BD，CD=CE，abaaBACEDcbacabcACBD再做三个边长分别为的正方形把它们像上图那样拼成两个正方形从图上可以看到这两个正方形的边长都是所以面积相等即整理得证法邹元治证明以为直角边以为斜边做四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直形它的面积等于又是一个边长为的正方形它的面积等于学习必备欢迎下载证法赵爽

19、证明以为直角边以为斜边作四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示形状是一个边长为的正方形它的面为直角边以为斜边作两个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于在一条直线上是一个等腰直角三角形它的面积等于又是一个直角梯形它的面积等于学习必备欢迎下载证法梅文鼎证明做四个全等的直角三角形设它们的两条直学习必备 欢迎下载 BFAFCDBDCEAEABBCAC=CDCE=r+r=2r,即 rcba2，crba2.222crba，即 222242crcrabba，abSABC21，ABCSab42，又 AOCBOCAOBABCSSSS=brarcr212121=rcba

20、21=rccr221=rcr2，ABCSrcr442，abrcr242，22222cababba，222cba.【证法 14】（利用反证法证明）如图，在 RtABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作 CDAB，垂足是 D.假设222cba，即假设 222ABBCAC，则由 ABABAB2=BDADAB=BDABADAB 可知 ADABAC2，或者 BDABBC2.即 AD：ACAC：AB，或者 BD：BCBC：AB.在ADC 和ACB 中，A=A，若 AD：ACAC：AB，则 ADCACB.在CDB 和ACB 中，B=B，若 BD：BCBC：

21、AB，则 CDBACB.又 ACB=90，ADC90，CDB90.这与作法 CDAB 矛盾.所以，222ABBCAC的假设不能成立.222cba.【证法 15】（辛卜松证明）cbarrrOFEDCBAABDCacb再做三个边长分别为的正方形把它们像上图那样拼成两个正方形从图上可以看到这两个正方形的边长都是所以面积相等即整理得证法邹元治证明以为直角边以为斜边做四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直形它的面积等于又是一个边长为的正方形它的面积等于学习必备欢迎下载证法赵爽证明以为直角边以为斜边作四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示形状是一个边

22、长为的正方形它的面为直角边以为斜边作两个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于在一条直线上是一个等腰直角三角形它的面积等于又是一个直角梯形它的面积等于学习必备欢迎下载证法梅文鼎证明做四个全等的直角三角形设它们的两条直学习必备 欢迎下载 设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为 c.作边长是 a+b 的正方形ABCD.把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 abbaba2222；把正方形 ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的面积为 22214cabba=22cab.22222cababba,222cba.【证法 16】（陈杰

23、证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（ba），斜边的长为 c.做两个边长分别为 a、b 的正方形（ba），把它们拼成如图所示形状，使 E、H、M 三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.在 EH=b 上截取 ED=a，连结 DA、DC，则 AD=c.EM=EH+HM=b+a,ED=a，DM=EM ED=aba=b.又 CMD=90，CM=a，AED=90，AE=b，RtAED RtDMC.EAD=MDC，DC=AD=c.ADE+ADC+MDC=180，ADE+MDC=ADE+EAD=90，ADC=90 .作 ABDC，CBDA，则 ABCD 是一个边长为 c 的正方形.BAF+

24、FAD=DAE +FAD=90，BAF=DAE.连结 FB，在ABF 和ADE 中，AB=AD=c，AE=AF=b，BAF=DAE，ABF ADE.AFB=AED=90，BF=DE=a.点 B、F、G、H 在一条直线上.在 RtABF 和 RtBCG 中，AB=BC=c，BF=CG=a，RtABF RtBCG.54322SSSSc，6212SSSb，732SSa，ab21ab21ab21ab212c2b2aAADDBBCCbababababaccccbaababbabaABCDEFGHMabcabcacabc1234567再做三个边长分别为的正方形把它们像上图那样拼成两个正方形从图上可以看到这

25、两个正方形的边长都是所以面积相等即整理得证法邹元治证明以为直角边以为斜边做四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直形它的面积等于又是一个边长为的正方形它的面积等于学习必备欢迎下载证法赵爽证明以为直角边以为斜边作四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示形状是一个边长为的正方形它的面为直角边以为斜边作两个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于在一条直线上是一个等腰直角三角形它的面积等于又是一个直角梯形它的面积等于学习必备欢迎下载证法梅文鼎证明做四个全等的直角三角形设它们的两条直学习必备 欢迎下载 76451SSSSS，6217322SSSSS

26、ba=76132SSSSS=5432SSSS=2c 222cba.再做三个边长分别为的正方形把它们像上图那样拼成两个正方形从图上可以看到这两个正方形的边长都是所以面积相等即整理得证法邹元治证明以为直角边以为斜边做四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直形它的面积等于又是一个边长为的正方形它的面积等于学习必备欢迎下载证法赵爽证明以为直角边以为斜边作四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示形状是一个边长为的正方形它的面为直角边以为斜边作两个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于在一条直线上是一个等腰直角三角形它的面积等于又是一个直角梯形它的面积等于学习必备欢迎下载证法梅文鼎证明做四个全等的直角三角形设它们的两条直