次函数与相似三角形综合题中学教育中考_中学教育-中考.pdf

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1、二次函数与相似三角形综合题 黄陂区实验中学 邓静 教学目标：1、会求二次函数解析式；2、根据条件寻找或构造相似三角形，在二次函数的综合题中利用其性质求出线段的长度，从而得出点的坐标。教学重点：1、求二次函数解析式；2、相似三角形的判定与性质在二次函数综合题中的运用。教学难点：根据条件构造相似三角形解决问题。情感与态度：1、培养学生积极参与教学学习活动的兴趣，增强数学学习的好奇心和求知欲。2、使学生感受在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心。3、培养学生科学探索的精神。教学过程：一、复习巩固 如图，抛物线 y=ax2+bx2 与 x 轴交于点 A（1，0），B（m，0

2、）两点，与 y 轴交于 C点，且ACB=90，求抛物线的解析式.分析：OC2=OAOB 4=1m，m=4 B（4，0）设抛物线解析式为 y=a(x+1)(x4)代入 C点（0，2）抛物线解析式为213222yxx.二、新授 例题、如图，直线y=x+3与x 轴、y轴分别相交于B、C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与 x 轴另一交点为 A，顶点为 P，且对称轴是直线 x=2，（1）求抛物线解析式；（2）连结 AC，请问在 x 轴上是否存在点 Q，使得以点 P、B、Q为顶点的三角形与ACB相似，若存在，请求出 Q点坐标；若不存在，说明理由.（3）D点为第四象限的抛物线上一点，过点 D作

3、DE x 轴，交 CB于 E，垂足于 H，过 D作 DFCB，垂足为 F，交 x 轴于 G，试问是否存在这样的点 D，使得DEF的周长恰好被 x轴平分？若能，请求出 D点坐标；若不能，请说明理由.解（1）Q直线3yx 与x轴相交于点B，当0y 时，3x，点B的坐标为(3 0)，又Q抛物线过x轴上的A B，两点，且对称轴为2x，根据抛物线的对称性，点A的坐标为(1 0)，3yx Q过点C，易知(0 3)C，3c 又Q抛物线2yaxbxc过点(1 0)(3 0)AB，(1)(3)ya xx，经过C点(0,3)243yxx （2）连结PB，由2243(2)1yxxx，得(21)P，设抛物线的对称轴交

4、x轴于点M，在RtPBM中，1PMMB，452PBMPBo，由点(3 0)(0 3)BC，易得3OBOC，在等腰直角三角形OBC中，45ABC o，由勾股定理，得3 2BC 假设在x轴上存在点Q，使得以点PBQ，为顶点的三角形与ABC相似 当BQPBBCAB，45PBQABCo时，PBQABC 即223 2BQ，3BQ，又3BO Q，点Q与点O重合，1Q的坐标是(0 0)，当QBPBABBC，45QBPABCo时，QBPABC 即223 2QB，23QB A B C P O x y 2x 在二次函数的综合题中利用其性质求出线段的长度从而得出点的坐标教学重点求二次函数解析式相似三角形的判定与性质

5、在二次函数综合题中的运用教学难点根据条件构造相似三角形解决问题情感与态度培养学生积极参与教学学习志建立自信心培养学生科学探索的精神教学过程一复习巩固如图抛物线与轴交于点两点与轴交于点且求抛物线的解析式分析设抛物线解析式为代入点抛物线解析式为二新授例题如图直线与轴轴分别相交于经过两点的抛物线与轴另一请求出点坐标若不存在说明理由点为第四象限的抛物线上一点过点作轴交于垂足于过作垂足为交轴于试问是否存在这样的点使得的周长恰好被轴平分若能请求出点坐标若不能请说明理由解直线与轴相交于点当时点的坐标为又抛物线273333OBOQOBQB Q，2Q的坐标是703，18045135135PBxBACPBxBAC

6、ooooQ，点Q不可能在B点右侧的x轴上 综上所述，在x轴上存在两点127(0 0)03QQ，能使得以点PBQ，为顶点的三角形与ABC相似 （3）设 D（a，a24a+3），则 E（a，a+3）DFE BOC DE：BC=LDEF：LBOC 233 2aa=63 2DFEL LDEF=(21)(a2+3a)DH+DG=12DFEL=(21)DH=2(21)(43)aa g=12(21)(a2+3a)243aa=21(3)2aa a1=2，a2=3(舍)D（2，1）应用变式：1、在此抛物线上是否存在 P 点？使得1+2=45，若存在，请求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由.分析：（1）延长 C

7、P与 x 轴交于 E点，1+2=45=ABC=E+2 1=E，在二次函数的综合题中利用其性质求出线段的长度从而得出点的坐标教学重点求二次函数解析式相似三角形的判定与性质在二次函数综合题中的运用教学难点根据条件构造相似三角形解决问题情感与态度培养学生积极参与教学学习志建立自信心培养学生科学探索的精神教学过程一复习巩固如图抛物线与轴交于点两点与轴交于点且求抛物线的解析式分析设抛物线解析式为代入点抛物线解析式为二新授例题如图直线与轴轴分别相交于经过两点的抛物线与轴另一请求出点坐标若不存在说明理由点为第四象限的抛物线上一点过点作轴交于垂足于过作垂足为交轴于试问是否存在这样的点使得的周长恰好被轴平分若能

8、请求出点坐标若不能请说明理由解直线与轴相交于点当时点的坐标为又抛物线又COA公共 OCA OEC OC2=OA OE OC2=9=1OE OE=9 E（9，0）直线解析式133yx 联立直线与抛物线 P的坐标为（113，169）（2）P点与 A点重合，P（1，0），综上所述，P的坐标为（11 16,39），（1，0）.2、在上题抛物线中，P为抛物线上一点，PEBC于 E，且 CE=3PE，求 P点坐标.分析：连 AC、PC，证PEC OAC，OCA=PCE，PCA=45.延长 CP交 x 轴于 N，ACB ANC，AC2=AB AN，N（6，0），1:32CNyx，联立抛物线，得 P（7 5,

9、2 4）.三、小结 点的坐标是综合题的立足点（求解析式），又是综合题的制高点（求满足条件的点的坐标或存在性探求），求点的坐标一般历经下面两个关键步骤：（1）定位（2）计算 四、作业练习 1、如图，抛物线22yxxx 交 轴于A、B两点（A点在 B点左侧），交 y 轴于 C（0,2），过 A、C画直线，点 M在 y 轴右侧的抛物线上，从 M为圆心的圆与直线 AC相切，切点为 H，且CHM AOC,求 M点坐标.在二次函数的综合题中利用其性质求出线段的长度从而得出点的坐标教学重点求二次函数解析式相似三角形的判定与性质在二次函数综合题中的运用教学难点根据条件构造相似三角形解决问题情感与态度培养学生积极参与教学学习志建立自信心培养学生科学探索的精神教学过程一复习巩固如图抛物线与轴交于点两点与轴交于点且求抛物线的解析式分析设抛物线解析式为代入点抛物线解析式为二新授例题如图直线与轴轴分别相交于经过两点的抛物线与轴另一请求出点坐标若不存在说明理由点为第四象限的抛物线上一点过点作轴交于垂足于过作垂足为交轴于试问是否存在这样的点使得的周长恰好被轴平分若能请求出点坐标若不能请说明理由解直线与轴相交于点当时点的坐标为又抛物线