高考题含参不等式恒成立问题中学教育高考_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 高考题含参不等式恒成立问题 一 分离参数，转化为求函数的确界 如果分离参数后相应的函数不存在最值，为了能够利用分离参数思想解决含参不等式恒成立问题，我们利用如下的函数确界的概念：函数()yf x()xD的上确界为min(),M f xM xD，记作M上；函数()yf x()xD的下确界为max(),M f xM xD，记作M下。于是，有如下结论：（1）若()f x无最大值，而有上确界，这时要使()()f xg a恒成立，只需M上()g a。（2）若()f x无最小值，而有下确界M下，这时要使()()f xg a恒成立，只需M下()g a。例 2（20XX 年湖南卷理）已知函

2、数2()f xxbxc，(,)b cR对任意的xR，恒有()()fxf x（）证明：当0 x 时，2()()f xxc（）若对满足题设条件的任意b，c，不等式22()()()f cf bM cb恒成立，求M的最小值。解析：（）略。（）由()()fxf x即2(2)0 xbxcb 恒成立，得2(2)4()0bcb 从而2212144bbcb ，等号当且仅当214b，即2b 时成立（1）当cb 时，22()()2f cf bcbMcbbc，令btc，则11t，则2121cbbct 因为函数1()21g tt （11t）的最大值不存在，但易知其上确界为32 32M （2）当cb2时，()()8f c

3、f b 或 0，220cb，从而223()()()2f cf bcb恒成立 综合（1）（2）得M的最小值为32 例 3（20XX 年全国卷理）设函数2()1xf xexax （）若0a，求()f x的单调区间。（）若0 x 时，()0f x，求a的取值范围。解析：（）由()0f x 对所有的0 x 成立，可得（1）当0 x 时，aR；（2）当0 x 时，21xexax，设21()xexg xx，问题转化为求()g x的最小值或下确界。学习必备 欢迎下载 22422()xxx exexxg xx，令22()22xxh xx exexx，因为2()222xxh xx eex，0 x，又()h x的

4、二阶导数2()222xxxh xxex ee，()h x的三阶导数(3)2()(4)0 xhxexx，所以()h x是增函数，故()(0)0h xh，所以()h x增函数，故()(0)0h xh，所以()h x是增函数，故()(0)0h xh，从而()0g x，于是()g x在(0,)上单调递增，故()g x无最小值，此时，由于(0)g无 意 义，但 运 用 极 限 知 识 可 得0()lim()xg xg x。由 洛 必 达 法 则 可 得：20000111lim()limlimlim222xxxxxxxexeeg xxx 故0 x 时，1()2g x。因而12a，综合（1）（2）知a取值范

5、围为1,2。评析：用分离参数法求解本题，最大的难点在于求分离参数后所得函数的下确界，应用洛必达法则求0lim()xg x 超出了中学所学知识范围。显然，这不是命题者的意图。因此，我们应该探求这类问题的另一种更为一般地思考途径。二 分离参数，转化为求函数的最值 对于变量和参数可分离的不等式，可将参数分离出来，先求出含变量一边的式子的最值，再由此推出参数的取值范围。例 1（20XX 年全国卷 1 理）已知函数()(1)ln1f xxxx （）若2()1xfxxax，求a的取值范围（）证明:(1)()0 xf x 解析：（）11()ln1lnxfxxxxx (0)x ()ln1xfxxx，由2()1

6、xfxxax得lnaxx，令()lng xxx，于是，问题化为求函数()g x的最大值。1()1g xx，当01x 时，()0g x；当1x 时，()0g x。当1x 时，()g x有最大值，max()(1)1g xg 1a （）略。评析：含参不等式分离参数后的形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：（1）()()f xg a恒成立max()()f xg a；（2）()()f xg a恒成立max()()f xg a；（3）()()f xg a恒成立min()()f xg a。（4）()()f xg a恒成立min()()f xg a。三 从研究函数的性质入手，转化

7、为讨论函数的单调性和极值 对于不能分离参数或分离参数后求最值或确界较困难的问题，如例 3，我们可以把含参不等式整理成(,)0f x a 或(,)0f x a 的形式，然后从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值。在解在最值为了能够利用分离参数思想解决含参不等式恒成立问题我们利用如下的函数确界的概念函数的上确界为记作上函数的下确界为记作下于是有如下结论若无最大值而有上确界这时要使恒成立只需上若无最小值而有下确界下这时值解析略由即恒成立得从而等号当且仅当即时成立当时令则则因为函数的最大值不存在但易知其上确界为当时或从而恒成立合得的最小值为例年全国卷理设函数若求的单调区间若时求的取值范围解

8、析由对所有的成立可得当时当时设所以是增函数故从而于是在上单调递增故无最小值此时由于无意义但运用极限知识可得由洛必达法则可得故时因而综合知取值范围为评析用分离参数法求解本题最大的难点在于求分离参数后所得函数的下确界应用洛必达法则求超出学习必备 欢迎下载 题过程中常常要用到如下结论：（1）如果(,)fx a有最小值()g a，则(,)0fx a 恒成立()0g a，(,)0f x a 恒成立()0g a；（2）如果(,)fx a有最大值()g a，则(,)0fx a 恒成立()0g a，(,)0f x a 恒成立()0g a。例 4（20XX 年天津文）已知函数323()12f xaxx()xR

9、其中0a （）若1a，求曲线()yf x在点(2(2)f处的切线方程，（）若在区间1 1,2 2上，()0f x 恒成立，求a的取值范围 解析：（）略。（）2()33fxaxx，令()0fx，解得0 x 或1xa（1）若02a，则112a，于是当102x 时，()0fx；当102x 时，()0fx。所以当0 x 时，()f x有极大值。于是1 1,2 2x时，()0f x 等价于1()021()02ff解得 02a （2）若2a，则112a，于是当102x 时，()0fx；当10 xa 时，()0fx，当112xa 时，()0fx。所以，当0 x 时，()f x有最大值，当1xa时，()f x

10、有最小值。于是1 1,2 2x时，()0f x 等价于1()021()0ffa解得252a 或52a ，因此，25a 综合（1）（2）得 05a 例 5：内容同例 3 解析：（）略（）()12xfxeax，由方程()0fx 不能求出极值点。显然，用例 4 的解法是行不通的，但我们注意到(0)0f，故问题转化为()(0)f xf在0 x 时恒成立，即函数()f x在0,为不减函数，于是可通过求导判断()f x的单调性，再求出使()(0)f xf成立的条件。由（）有1xex，当且仅当0 x 时成立，故()122(12)xfxeaxxaxa x ，而当在最值为了能够利用分离参数思想解决含参不等式恒成

11、立问题我们利用如下的函数确界的概念函数的上确界为记作上函数的下确界为记作下于是有如下结论若无最大值而有上确界这时要使恒成立只需上若无最小值而有下确界下这时值解析略由即恒成立得从而等号当且仅当即时成立当时令则则因为函数的最大值不存在但易知其上确界为当时或从而恒成立合得的最小值为例年全国卷理设函数若求的单调区间若时求的取值范围解析由对所有的成立可得当时当时设所以是增函数故从而于是在上单调递增故无最小值此时由于无意义但运用极限知识可得由洛必达法则可得故时因而综合知取值范围为评析用分离参数法求解本题最大的难点在于求分离参数后所得函数的下确界应用洛必达法则求超出学习必备 欢迎下载 1 20a，即12a

12、时()0f x (0)x ()f x是0,上的不减函数，()(0)0f xf 当12a 时，由1xex 0 x 可得1xex ()12(1)(1)(2)xxxxxfxea eeeea 故当(0,ln 2)xa时，()0fx，而(0)0f，于是当(0,ln 2)xa时()0f x 综合得12a 评析：函数、不等式、导数既是研究的对象，又是解决问题的工具。本题抓住(0)0f这一重要的解题信息，将问题转化为()(0)f xf在0 x 时恒成立，通过研究函数()f x在0,)上是不减函数应满足的条件，进而求出a的范围。隐含条件(0)0f对解题思路的获得，起到了十分重要的导向作用。从以上高考题的解法可知

13、：以函数的观点作指导，用导数知识作工具，从研究函数的单调性、最值（极值）等问题入手，将含参不等式恒成立问题转化为研究函数的性质问题，是确定恒不等式中参数取值范围问题的重要思考方法。对这类问题的处理，需要考生具备过硬的导数、不等式知识，并能灵活运用这些知识研究函数的性质等问题。在高三复习课教学中，有意识地给学生这方面的训练，对培养他们的数学综合素质是大有好处的。在最值为了能够利用分离参数思想解决含参不等式恒成立问题我们利用如下的函数确界的概念函数的上确界为记作上函数的下确界为记作下于是有如下结论若无最大值而有上确界这时要使恒成立只需上若无最小值而有下确界下这时值解析略由即恒成立得从而等号当且仅当即时成立当时令则则因为函数的最大值不存在但易知其上确界为当时或从而恒成立合得的最小值为例年全国卷理设函数若求的单调区间若时求的取值范围解析由对所有的成立可得当时当时设所以是增函数故从而于是在上单调递增故无最小值此时由于无意义但运用极限知识可得由洛必达法则可得故时因而综合知取值范围为评析用分离参数法求解本题最大的难点在于求分离参数后所得函数的下确界应用洛必达法则求超出